− ≤ = 0 1 0 0 )( xdla e xdla xF

Studia dzienne magisterskie, zajecia nr 3
Teoria
Zmienna losowa dyskretna i jej dystrybuanta.
Rozkłady: równomierny(jednostajny), jednopunktowy, zero-jedynkowy, Bernouliego, Poissona, geometryczny,
hipergeometryczny.
Zmienna losowa ciąg i jej dystrybuanta
Rozkłady: równomierny, wykładniczy, Laplace’a, Cauchy’ego normalny (przeczytać także o rozkładzie Erlanga
i gamma i beta)
Zadania
Zad1 Dana jest funkcja prawdopodobieństwa w postaci tabelki:
xi
0
2
4
pi
0.15
0.3
0.15
Należy
a)
b)
c)
d)
e)
5
c
7
0.4
wyznaczyć stałą c
narysować wykres funkcji prawdopodobieństwa
narysować histogram funkcji prawdopodobieństwa
wyznaczyć dystrybuantę (zapis w postaci tabelki) oraz narysować jej wykres
wyznaczyć prawdopodobieństwa P(X=4), P(X<4), P(X>=5), P(1<=X<3)
- korzystając z danej funkcji prawdopodobieństwa
- korzystając z wyznaczonej dystrybuanty
f) zaznaczyć (zilustrować) na wykresie dystrybuanty wyznaczone prawdopodobieństwa
Zad2 Dana jest funkcja
 C
dla x ≥ 1

f ( x) =  x 6
 0 dla x < 1
Dla jakiej wartości C funkcja jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X?
Dla wyznaczonego C znaleźć dystrybuantę oraz prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje
wartość większą od 3.
Zad3 Funkcja:
 0 dla x ≤ 0
F ( x) = 
jest dystrybuanta zmiennej losowej X. Wyznaczyć funkcję gęstości zmiennej
−x
 1 − e dla x > 0
losowej X.
Zad4 Sprawdzić, czy funkcja
 0 dla x < 0
f ( x) =  − x
 e dla x ≥ 0
jest gęstością prawdopodobieństwa. Znaleźć dystrybuantę F(x). Obliczyć prawdopodobieństwo P(X<1/2) i
P(1<X<2). Zinterpretować te prawdopodobieństwa na wykresie gęstości i dystrybuanty.
Zad5 Urządzenie składa się z trzech niezależnie pracujących elementów. Prawdopodobieństwo awarii dla
każdego elementu w jednym doświadczeniu jest równe 0.1. Podać prawdopodobieństwo tego, że jeden z
elementów jest awaryjny i podać także rozkład i dystrybuantę liczby niedziałających elementów. Obliczyć
P(X>=2), P(X=1).
Zad6 Mamy daną zmienna losową X o rozkładzie N(0, 1). Oblicz P(X>1), P(-1<X<3), P(|X|<2)
Zad7 Mamy daną zmienna losowa X o rozkładzie normalnym N(4, 2). Oblicz
- P(|X|)<2
- P(X>4)
- P(X>-2)
Podaj rozkład po jej standaryzacji.
Zad8 Rzucamy 4 monetą. Znajdź rozkład i dystrybuantę liczby orłów.
Zad9 Fabryka produkuje telewizory. Na 100 sztuk trafiają się 2 telewizory wadliwe. Obliczyć
prawdopodobieństw, że w partii liczącej 300 sztuk znajdą się:
a) co najwyżej 4 sztuki wadliwe
b) co najmniej 5 sztuk wadliwych
c) dokładnie 3 sztuki wadliwe
zad10 Ile średnio powinno przypadać rodzynek na bułeczkę, aby prawdopodobieństwo, że w bułeczce znajdzie
się choćby jedna rodzynka nie było mniejsze niż 0.99?
Zad11 Z partii 250 sztuk towaru, zawierającej 20 sztuk wadliwych wylosowano bez zwrotu próbę 10elementową. W procesie kontroli partia zostanie odrzucona jeśli znajdą się co najmniej 3 sztuki wadliwe. Oblicz
prawdopodobieństwo przyjęcia danej partii towaru.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad1 Mamy zadaną dystrybuantę F zmiennej losowej X w postaci następującej tabelki
X
F(x)
(-∞, -2>
0
(-2, 1>
0.2
(1, 7>
0.7
Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej
Zad2 Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem:
0 dla x ≤ 1

 (1 / 36) x 2 dla 0 < x ≤ 6
f ( x) = 
 1 dla x > 6

Dla jakich wartości x0∈<0, 6) spełnione jest równanie P(x0<X≤4)=1/3?
(7, ∞ )
0.1