Analiza zdania Kªamcy na gruncie Russellowskiej koncepcji s¡du

Analiza zdania Kªamcy na gruncie Russellowskiej koncepcji s¡du
Konferencja Historii Logiki, Kraków 2016
Antynomia kªamcy znana jest ju» od czasów staro»ytnych. Antynomia ta powstaje, gdy pewna
wypowied¹ odnosi si¦ do siebie samej. Samoodniesienie nie musi by¢ zawsze antynomiogenne. Na
przykªad nie mamy nic do zarzucenia samoodnosz¡cemu si¦ zdaniu
(p)
(p) postaci:
Zdanie (p) jest prawdziwe.
Jednak zdanie
(k) prowadzi ju» do sprzeczno±ci:
(k)
Zdanie (k) nie jest prawdziwe.
Wypowied¹
(k) nazywamy zdaniem Kªamcy. Zaªo»enie prawdziwo±ci zdania (k) implikuje jego
faªszywo±¢, natomiast zaªo»enie faªszywo±ci zdania
(k) implikuje jego prawdziwo±¢.
Na przestrzeni lat próbowano upora¢ si¦ z antynomi¡ kªamcy na ró»ne sposoby. Jedno z najpopularniejszych rozwi¡za« mie±ci si¦ w semantycznej koncepcji prawdy, sformuªowanej przez
polskiego logika i matematyka Alfreda Tarskiego.
Najwa»niejszym rezultatem tej koncepcji jest
wprowadzenie hierarchii j¦zyków, to znaczy odró»nienie j¦zyka przedmiotowego, w którym mówi
si¦ o ±wiecie, od metaj¦zyka (metaj¦zyków), w którym mówi si¦ o wyra»eniach j¦zyka przedmiotowego.
To wªa±nie w metaj¦zyku (i tylko w nim), dzi¦ki temu, »e jest bogatszy od j¦zyka
przedmiotowego, mo»emy wydawa¢ s¡dy na temat prawdziwo±ci zda« j¦zyka przedmiotowego. Jak
powiedzieli±my, koncepcja Tarskiego nie jest jedynym rozstrzygni¦ciem problemu Kªamcy.
Do modelowania tego, co nazywamy
prawd¡, dowodem czy te» niesko«czon±ci¡ wspóªcze±ni
logicy ch¦tnie stosuj¡ równie» metody matematyczne. Celem niniejszego referatu jest omówienie
ciekawego i niestandardowego rozwi¡zania antynomii kªamcy, zaproponowanego przez Barwise'a
i Etchemendy'ego w monograi
The Liar. An Essay on Truth and Circularity (1987). Rozwi¡zanie
to, w odró»nieniu od koncepcji Tarskiego, unika hierarchizacji j¦zyka. Nazywamy je niestandardowym, poniewa» osadzone jest w niestandardowej teorii mnogo±ci teorii zbiorów nieufundowanych
ZFA
, sformalizowanej przez Petera Aczela.
Otó», okazuje si¦, »e ±wiat mo»emy traktowa¢ jako
zbiór pewnych sytuacji (stanów rzeczy), a te sytuacje równie» mog¡ by¢ reprezentowane przez
zbiory.
Autorzy wspomnianej monograi rozwa»aj¡ dwie koncepcje s¡du i prawdziwo±ci koncepcj¦
Russella oraz Austina. Zdanie
(k) wyra»a pewien specyczny s¡d
f,
zwany
ten mo»e posiada¢ teoriomnogo±ciow¡ reprezentacj¦ w postaci obiektu
nale»aªoby odczytywa¢: s¡d
dokªadnie jeden s¡d
f,
f
to s¡d, który gªosi, »e
f
s¡dem Kªamcy. S¡d
f = [F a f ].
Zapis ten
jest faªszywy. W uj¦ciu Russella istnieje
natomiast w koncepcji Austina mamy do czynienia z wieloma ró»nymi
s¡dami, które mog¡ by¢ wyra»one za pomoc¡ zdania
(k).
Ze wzgl¦du na zªo»ono±¢ problemu, wyniki prac Barwise'a i Etchemendy'ego nie zostan¡ przedstawione tutaj w caªo±ci. Referat omawia jedynie koncepcj¦ Russella i jej konsekwencje, a w szczególno±ci istot¦ paradoksu. Rozumowanie osadzone w koncepcji Russella opiera si¦ na wyra¹nym
odró»nieniu dwóch wªasno±ci, jakie mog¡ posiada¢ s¡dy:
prawdziwo±¢
T rueM (p)
s¡du
M oraz uprawdziwienie M |= p s¡du p przez ±wiat M. Analogicznie mówimy o
F alseM (p) i ufaªszywieniu M 2 p. Okazuje si¦, »e mo»na skonstruowa¢ takie modele,
cie
s¡d Kªamcy jest ufaªszywiony, ale nie jest w nich faªszywy, tzn.
¬F alseM (f ),
ale
M 2 f.
p
w ±wie-
faªszywo±ci
przez które
istniej¡ takie modele
M,
»e: