I KOLOKWIUM Z MATEMATYKI A 20.11.2012 godz. 11.40 - E-SGH

I KOLOKWIUM Z MATEMATYKI
Czas rozwiązywania 90 min
A
20.11.2012 godz. 11.40
IMIĘ I NAZWISKO................................................................ NR INDEKSU........................
Zadanie 1. (6 punktów)
Wyznaczyć granice w zależności od parametru t, o ile istnieją, lub uzasadnić brak granicy:
tn  1
a) (2 punkty) lim
n   2n  3
 tn  1 
b) (4 punkty) lim 

n   2n  3


n 1
Zadanie 2. (6 punktów)
Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f danej wzorem
 xe x  2 gdy x  2

f ( x)   x 2
.
 x  2 gdy x  2
Zadanie 3. (6 punktów)
Funkcja f : R  R dana jest wzorem

ex

gdy x  0
f ( x)  
.
x
2

 ln( x  x  1) gdy x  0
a) (2 punkty) Zbadać ciągłość funkcji.
b) (3 punkty) Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne.
c) (1 punkt) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f na przedziale [-2,0].
Zadanie 4. (6 punktów)
Funkcja f : R  R dana jest wzorem
| x 2  x | 1 gdy x  1

,
f ( x)   a
 b gdy x  1

 x 1
gdzie a i b są pewnymi stałymi.
a) (3 punkty) Wyznacz a i b tak, aby funkcja f była różniczkowalna w punkcie
.
b) (3 punkty) Czy istnieje punkt o odciętej
, w którym styczna do wykresu jest
równoległa do prostej o równaniu
. Jeśli tak, wyznacz równanie tej stycznej.
Zadanie 5. (6 punktów)
Funkcja f określona jest wzorem f ( x)  x 2 
4
, a funkcja g określona jest wzorem
x2
g ( x)  x  1 .
a) (2 punkty) Wyznaczyć dziedziny funkcji f, g i funkcji h  f  g .
b) (4 punkty) Wyznaczyć tempo zmian funkcji h w dziedzinie wyznaczonej w punkcie
a).
I KOLOKWIUM Z MATEMATYKI
Czas rozwiązywania 90 min
B
20.11.2012 godz. 11.40
IMIĘ I NAZWISKO................................................................ NR INDEKSU........................
Zadanie 1. (6 punktów)
Wyznaczyć granice w zależności od parametru t, o ile istnieją, lub uzasadnić brak granicy:
3n  1
a) (2 punkty) lim
n   tn  3
 3n  1 
b) (4 punkty) lim 

n   tn  3


n2
Zadanie 2. (6 punktów)
Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f danej wzorem
  1
 x ln 1  x  gdy x  2
.
f ( x)    2 
x

gdy x  2
 2  x
Zadanie 3. (6 punktów)
Funkcja f : R  R dana jest wzorem

e x
 
gdy x  0
f ( x)  
.
x
2

ln( x  x  1) gdy x  0
a) (2 punkty) Zbadać ciągłość funkcji.
b) (3 punkty) Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne.
c) (1 punkt) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f na przedziale [0,1].
Zadanie 4.
Funkcja f : R  R dana jest wzorem
x

gdy x  1

,
f ( x)   1 | x |
a x  3  b gdy x  1

gdzie a i b są pewnymi stałymi.
a) (3 punkty) Wyznacz a i b tak, aby funkcja f była różniczkowalna w punkcie
.
b) (3 punkty) Czy istnieje punkt o odciętej
, w którym styczna do wykresu jest
równoległa do prostej o równaniu
. Jeśli tak, wyznacz równanie tej stycznej.
Zadanie 5. (6 punktów)
Funkcja f określona jest wzorem g ( x)   x 2 
1
, a funkcja g określona jest wzorem
x2
f ( x)  x  2 .
a) (2 punkty) Wyznaczyć dziedziny funkcji f, g i funkcji h  g  f .
b) (4 punkty) Wyznaczyć tempo zmian funkcji h w dziedzinie wyznaczonej w punkcie
a).