Zadania #5

LISTA ZADA NR 5 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Kombinatoryka (do samodzielnego rozwi zania)
1. Ile liczb naturalnych ze zbioru S = {1, 2, 3,...,1000} dzieli si przez 3 lub 5?
2. W pewnej grupie składaj cej si ze 150 osób 45 regularnie pływa, 40 je dzi na rowerze, a 50
uprawia jogging. Wiemy ponadto, e s 32 osoby, które uprawiaj jogging, ale nie je d na
rowerze, 27 takich, które uprawiaj jogging i pływaj i 10 uprawiaj cych wszystkie trzy
dyscypliny.
a) Ile osób uprawia jogging, ale nie pływa i nie je dzi na rowerze?
b) Je li wiemy dodatkowo, e 21 osób je dzi na rowerze i pływa, to ile nie uprawia adnej z
wymienionych dyscyplin?
3. Na ile sposobów mo na ustawi 10 osób w rz d?
4. Ile liczb pi ciocyfrowych mo na utworzy z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, w taki sposób, aby adna z cyfr
w liczbie nie powtarzała si ?
5. Ile jest liczb pi ciocyfrowych, w których adna cyfra nie powtarza si ?
6. Do turnieju szachowego rozgrywanego systemem „ka dy z ka dym” zgłoszono n
zawodników. Ile partii zostanie rozegranych w turnieju?
7. W trójwymiarowej przestrzeni danych jest n punktów, z których adne cztery nie le
jednej płaszczy nie. Ile prostych i ile płaszczyzn wyznaczaj te punkty?
na
8. Pewna grupa studencka składa si z 12 m czyzn i 16 kobiet. Ile da si z nich utworzy
komisji, składaj cych si z:
a) siedmiu osób?
b) trzech m czyzn i czterech kobiet?
c) siedmiu kobiet lub siedmiu m czyzn?
9. Niech S = {a, b, c, d } i T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} .
a) Ile jest funkcji ró nowarto ciowych z T do S?
b) Ile jest funkcji ró nowarto ciowych z S do T?
c) Ile jest funkcji z S do T?
10. Niech P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i Q = { A, B, C , D, E} .
a) Ile jest czteroelementowych podzbiorów zbioru P?
b) Ile jest permutacji zbioru Q?
c) Ile jest numerów rejestracyjnych składaj cych si z trzech liter ze zbioru Q i nast puj cych po
nich dwóch cyfr ze zbioru P? Zakładamy, e zarówno litery, jak i cyfry mog si powtarza .
11. Z tali 52 kart losujemy karty ze zwracaniem.
a) Na ile osób sposobów mo na wylosowa kolejno dziesi
wyst piła wcze niej?
b) Na ile osób sposobów mo na wylosowa kolejno dziesi
wyst piła wcze niej?
kart, tak aby dziesi ta z nich nie
kart, tak aby dziesi ta z nich
12. Niech = {a, b, c, d , e} b dzie alfabetem i k b dzie zbiorem słów o długo ci k
utworzonych ze znaków alfabetu . Ile elementów maj zbiory?
a) k , dla dowolnego k ∈ N ?
b) { s ∈ 3 : adna litera nie wyst puje w s wi cej ni raz}?
c) { s ∈ 4 : litera c wyst puje w s dokładnie raz}?
d) { s ∈ 4 : litera c wyst puje w s co najmniej raz}?
13. Na ile sposobów mo na ustawi litery a, b, c, d, e, f w takiej kolejno ci, aby
a) litery a i b s siadowały ze sob ?
b) litery a i b nie s siadowały ze sob ?
c) litery a i b s siadowały ze sob , a litery a i c nie?
14. Udowodni to samo ci kombinatoryczne:
a)
b)
c)
n
k
n
k
n
k
n
=
n−k
n −1
=
=
k
- symetria symbolu Newtona,
+
n −1
k −1
- trójk t Pascala,
n n −1
⋅
- pochłanianie.
k k −1
15. Ile sze ciocyfrowych liczb parzystych mo na utworzy z cyfr: 1, 1, 1, 2, 3, 4?
16. Danych jest n kart ponumerowanych i k bez numerów. Karty te układamy w rz d jedna po
drugiej. Ile istnieje ró nych uło e kart, przy zało eniu, e karty nienumerowane s
nierozró nialne?
17. Na ile sposobów mo na rozło y 7 ponumerowanych kul w 5-ciu szufladach, je li porz dek
uło enia kul w szufladzie jest istotny?
Odpowiedzi
1.
467
2.
a) 15 b) 71
3.
3628800
4.
120
5.
27216
6.
n (n − 1) / 2
7.
n (n − 1) / 2 prostych, n (n − 1) (n − 2) / 6 płaszczyzn
8.
a) 1184040,
b) 400400,
c) 12232
9.
a) 0,
b) 840,
c) 2401
10.
a) 126,
b) 120,
c) 6125
11.
a) 52 ⋅ 519 ,
b) 5210 − 52 ⋅ 519
12.
a) 5 k ,
b) 60,
c) 256,
13.
a) 240,
b) 480,
c) 192
15.
40
16.
(n + k )!
k!
17.
1663200
d) 369
Dorota Majorkowska-Mech