Algebra z geometrią analityczną A - MAP 1140 Algebra z geometrią

Algebra z geometrią analityczną A - MAP 1140
Algebra z geometrią analityczną B - MAP 1141
Lista uzupełniająca
1. Uprościć wyrażenia:
a3 − 1
4x2 − y 2
a) 2
; b)
;
a − 2a + 1
4x2 + 4xy + y 2
c)
u2 + 3uv
.
u2 v + 3uv 2
2. Pokazać indukcyjnie, że jeżeli
1
n+1
dla n ­ 1;
a) a1 = 2 oraz an = 1 − 2 an−1 dla n ­ 2, to an =
n
n
b) a1 = 0 oraz an = an−1 + 2n − 3 dla n ­ 2, to an = (n − 1)2 dla n ­ 1.
3. Wyznaczyć równanie prostej w postaci parametrycznej, która zawiera podane punkty P , Q:
a) P = (4, 3), Q = (5, 6);
b) P = (−1, 0), Q = (2, −1);
c) P = (−2, 1), Q = (−2, 3);
d) P = (3, 1), Q = (5, 1).
4. Wyznaczyć w postaci ogólnej równanie prostej przechodzącej przez punkt P = (2, −1) i równoległej do
prostej l, jeżeli:
a) l : y = 3x − 1;
b) l : 2x − y + 11 = 0;
x y
c) l : − = 1;
2 3
d) l :
(
x = −1 + 2t,
y = 2 − t.
5. Wyznaczyć równania ogólne prostych zawierających punkt P = (1, 1) i prostopadłych do prostych z poprzedniego zadania.
6. Wyznaczyć te wartości parametru α, dla których proste l1 , l2 są równoległe oraz te, dla których są prostopadałe:
α−1
(α − 1)x
α
αx
+
, l2 : y =
+
; b) l1 : αx − 2y + 3 = 0, l2 : y = αx + 2αy − 1 = 0;
a) l1 : y =
α+1 α+3
α+1
α+3
c) l1 :
(
x = 1 + αt,
l :
y = 3 + 4t, 2
(
x = −2 + t,
y = 1 − t;
d) l1 :
(
x = 2 + t,
y = 3 − 2t,
l2 : 2x − 3αy + 4 = 0.
Wyznaczyć te wartości parametru α, dla których proste z podpunktu a) przecinajaą się pod kątem
π
.
4
7. Dla podanych punktów P , Q napisać równanie symetralnej odcinka P Q:
a) P = (−2, 2), Q = (2, 10);
b) P = (1, 3), Q = (5, 0).
8. Obliczyć odległość punktu P = (1, 2) od podanych prostych oraz wyznaczyć punkty symetryczne do punktu
P względem tych prostych:
a) y = x − 1;
b) y − 2x + 5 = 0;
c)
(
x = 6 + 3t,
y = 3 − 2t.
9. Uzasadnić, że podane proste są równoległe, a następnie wyznaczyć odległości między nimi:
a) l1 : y = −2(x + 1), l2 : y = −2x − 1;
b) l1 : y = 3 − 4x, l2 : y = −4x + 2;
c) l1 : 2x − 3y + 2 = 0, l2 : 4x − 6y − 1 = 0;
e) l1 :
(
x = 1 + 2t,
l :
y = 2 − 3t, 2
(
x = −3 + 4t,
y = 1 − 6t;
d) l1 : 2x − 3y + 2 = 0, l2 : −4x + 6y − 1 = 0;
f ) l1 :
(
x = 1 + 8t,
l : 3x − 4y − 2 = 0.
y = 3 + 6t, 2
10. Wyznaczyć pole kwadratu, którego jednym z wierzchołków jest punkt P = (1, −3), a jego przekątna leży
na prostej o równaniu y = 2x.
1
11. Wyznaczyć miarę kąta, jaki tworzą wersory ~u , ~v , jeżeli wektory ~p = 2~u +~v , ~q = −4~u + 5~v są prostopadłe.
12. Wyznaczyć punkt P , który jest względem prostej l : x + 2y = 2 symetryczny do punktu Q = (−1, −3).
13. Dla jakiej wartości parametru a, prosta y = ax + 4 jest równoległa do prostej
l:
(
x = 1 + 3t,
y = 2 − t, gdzie t ∈ R.
√ 14. a) Znaleźć równanie krzywej zawierającej punkty, których suma odległości od punktów A = 2 − 2 3, 0
√ i B = 2 + 2 3, 0 jest stała i równa 8. Sporządzić rysunek.
b) Jaką krzywą stożkową opisuje równanie x2 − 2x − y 2 + 4y − 7 = 0? Narysować ją. Wyznaczyć współrzędne
ognisk.
15. Rozwiązać równanie macierzowe 2
"
2 −1
0
1
#
+ 2X =
"
4 1
−2 0
#
16. Które z iloczynów macierzy A2 B T , BA2 , B 2 A, B T A2 istnieją, jeżeli A jest macierzą stopnia 3, a B macierzą
wymiaru 3 × 2? Obliczyć te z podanych iloczynów, które istnieją, jeżeli




1 02
1 −1




A =  0 −1 3  , B =  0 1  .
2 −2 0
−1 2
"
#

1
1



2X − Y =


−1 0
17. Rozwiązać ukad równań macierzowych
"
# . Następnie obliczyć XY.


0
1


 −4X + Y =
10
18. Obliczyć wyznaczniki:
4
1
a) 1
1
1
3
1
1
1
1
2
1
1 1 ;
1 1
2
1
b) 1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
2 1 ;
1 2
c) 1
2 0
0 0
0 −1 2
0 0
0
0 1
2 0
0
0 0 −1 2
2
0 0
0 1
19. Sprawdzić, że
sin2 a cos2 a 1 a) sin2 b cos2 b 1 = 0 dla dowolnych a, b, c ∈ R;
sin2 c cos2 c 1 .
1 a
b b) 1 a + x b = xy dla dowolnych a, b, x, y ∈ R.
1 a b+y
20. Korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej, obliczyć macierz odwrotną do macierzy


−2 4 10


0 .
 3 2
−1 1 3
21. Metodą bezwyznacznikową obliczyć macierz odwrotną do macierzy:




123
111




a)  1 1 2  ; b)  2 1 2  .
321
123




22. Dla jakich wartości parametru q, macierz 
0
q
q
3

0
0 −2
0
1
1 

 ma macierz odwrotną?
1 −1
4 
1
q
2
2
23. Znaleźć macierz A spełniającą równanie:

−1
1
0 0


2 0 
a) 2  −4
8 −4 1


3
1


A = A +  4 ;
2
−11
b)


0 −1 A  11 01 00  = −1 0 0 .
221
1 0
111
24. Dla jakich wartości parametru p podany układ równań jest układem Cramera?

2x − y + z + 2t = 2






 px
 px − 2y − z = p
+ z
= 0
.
− y + 2z = −1 ; b)
a)
2


p x+y + z
= 1




−x
+ pz = 1

x + y + pz
= −1
25. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań:




2x + y − z + t = 5
2x + 7y + 3z + t = 5




 x + y + z − 2t = −1
 x + 3y + 5z − 2t = 3
a)
; b)
;


x − 2y + z + t = 2
x + 5y − 9z + 8t = 1






x
+z
= 3
5x + 18y + 4z + 5t = 12


3x + 2y + z = 5



x+ y − z =0
c)
;

6x
+ 7z = 8



4x − y + 5z = 3


2x +



3z
4x + y + 4z
d)

− 4y + 4z



2x − 4y + 5z
26. Dla jakich wartości paremtru m układ równań
=
=
=
=
7
10
.
4
5


 x + my − 3z = 0
2x +
y + z = 0 ma niezerowe rozwiązanie?

 3x + my − z = 0


 2x + y − z = p
27. Wyznaczyć te wartości parametru p, dla których układ równań
x + py + z = 0 ma jedno rozwiazanie.

 3x + y − az = p
28. Określić liczbę rozwiązań podanego układu równań liniowych w zależności od parametru p :




4z = 6
 px + 2y + 2z = 10
 x+
a)
x + py + z = 4 ; b) 2x + y + 10z = 14 .


 x+ y + z = 4
 3x + y + pz = 20
29. Niech ~u = (1, 0, −1), ~v = (0, −2, 1), ~
w = (1, 1, −1) . Obliczyć:
a) (2~u − ~v ) × ~
w;
b) (~u ◦ ~
w ) (~
u×~
w ); c) (~
u ,~v , ~
w) ~
u;
w) ;
d) ~u × (~v × ~
e) ~u × ~v − ~u × ~
w;
f ) ~u × ~v + [~
w × ~v ◦ 2~
u ]~v .
30. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez:
a) punkt P = (3, −1, 2) i prostopadłej do wektora ~
n = (3, −1, 2);
b) punkt P = (−4, −1, −2) i równoległej do płaszczyzny 2x − 3y + 4z = 0;
c) punkty P = (2, −1, 3), Q = (3, 1, 2) i równoległej do wektora ~v = (−3, 1, 4);
d) punkt P = (1, 5, 1) i równoległej do wektorów ~u = (2, 1, 6), ~v = (−3, 5, 6);
e) punkty P = (3, 1, 2), Q = (0, −1, 1), R = (1, 0, 2);
f ) punkt P = (−1, −2, −3) i prostopadłej do płaszczyzn x − 3y + 2z − 7 = 0, 2x − 2y − z + 3 = 0;
g) punkty P = (2, −1, 4), Q = (1, −1, 5) i prostopadłej do płaszczyzy x − 2y + z − 1 = 0.
31. Wyznaczyć te wartości parametru p, dla których płaszczyzny
przecinają się
π1 : x + 2y − z − 1 = 0,
π2 : px − y − z − p = 0,
a) w jedyn punkcie (wyznaczyć ten punkt);
b) wzdłuż jednej prostej (podać równanie tej prostej).
3
π3 : x − py + z − 1 = 0
32. Dana jest prosta l :
parametru α, dla którego:


x =
t,
y =
at, oraz płaszczyzna π : 3a2 x + ay + z − 4a = 0. Wyznaczyć wartości

z = 2 − t
a) prosta l przecina płaszczyznę π;
b) prosta l jest równoległa do płaszczyzny π;
c) prosta l leży w płaszczyźnie π.
33. Prostą l zadaną w postaci krawędziowej (parametrycznej) zapisać w postaci parametrycznej (krawędziowej),
jeżeli:
a) l :
(
2x − 2y + 4z − 2 = 0,
3x + y − 5z − 1 = 0;


x =
2 + t,
c) l : y = −3 − 2t,

 z = 1 + 3t;
b) l :
(
d) l :


 x = −2 + 4t,
4x
+ z − 1 = 0,
x − 2y
+ 3 = 0;
y =
1 − 2t,

 z = −2 + 3t.
34. Wyznaczyć punkt przecięcia prostej l i płaszczyzny π: jeżeli:


 x = −1 + 2t,
a) l : y = 3 + 4t, π : 3x − 3y + 2z − 5 = 0;

x =
3t,
b) l :
(
2x + y − 3z
= 0,
x + 2y + 3z + 1 = 0,
π : x + y + z + 1 = 0.
35. Napisać równanie płaszczyzny zawierającej proste l1 , l2 , jeżeli:




 x = 2 + 4t,
 x = 2 − 6s,
a) l1 : y =
− 5t, l2 : y =
9s,


 z = −1 + 8t,
 z = −1 + 12s;
b) l1 :


 x = 3 − 2t,
y = 1 + 3t,

 z = 2 + t,
l2 :
(
3x + 2y
− 3 = 0,
− y + 3z − 9 = 0.
36. Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P = (−1, 2, 2) oraz:
a) równoległej do wektora ~v = (−1, 2, 2);
b) punkt Q = (−2, 0, 3);
c) prostopadłej do płaszczyzny 3x − y + 2z − 5 = 0;
d) prostopadłej do wektorów ~v 1 = (2, 0, −3), ~v 2 = (−1, 2, 0);


x =
1 + 2t,
y
=
−1
+ 4t,
e) prostopadłej do prostych l1 :

z =
t,
l1 :
(
2x − y + z − 1 = 0,
x
+z
= 0.
37. a) Sprawdzić, czy punkty P = (1, 2, −3), Q = (2, 5, −3) leżą po tej samej stronie płaszczyzny 2x−y−z+6 =
0.
b) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (4, −1, 6) względem płaszczyzny 2x − y + 3z − 7 = 0.
c) Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów, które są w równej odległości od punktów P = (2, 1, 4), Q =
(−4, −3, 2).
d) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (6, 2, 9) względem prostej l :


 x = −7 + 5t,
y = −7 + 2t,

 z = −6 + 4t.
38. Sprawdzić, że podane proste l1 , l2 oraz płaszczyzny π1 , π2 są równoległe i następnie obliczyć odległość
między nimi:




 x = 1 + t,
 x = 2s,
a) l1 : y = 2 + 2t, l2 : y = 4s,


 z = −3 + 3t,
 z = 6s;
4
b) l1 :
(
c) l1 :
(
x − 5y + 6z − 3 = 0,
2x + y − z + 5 = 0,
x + y + z = 0,
2x − y + 2z = 0,
l2 :
(
13x + y
+ 1 = 0,
11x
+ z − 1 = 0;


x =
1 − 6t,
l2 : y = −8,

z =
2 + 6t;
d) π1 : x − 2y + 3z − 8 = 0, π2 : 2x − 4y + 6z + 21 = 0.
39. Niech A(−1, 0, 1), B(0, 0, 0), C(1, y, 0) będą wierzchołkami trójkata ABC. Wyznaczyć y, jeżeli pole trójkąta
1
ABC wynosi .
2
40. Obliczyć część rzeczywistą i urojoną liczb:
1 + 3i
4
√ ;
; c)
a) (2 + 5i)(−1 + 2i) − i; b)
2i − 1
1 − 2i
d)
3+i
2+i
−
.
1 − 2i 3 − i
41. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowiete wielomianu 2x3 − 9x2 − 38x + 21.
42. Nie wykonując dzielenia wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian Q(x), jeżeli:
√
a) P (x) = x3 − x2 − x + 2, Q(x) = x − 5;
b) P (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1, Q(x) = x − 2;
c) P (x) − x8 − 16x4 + 3x2 − x + 1, Q(x) = x2 + 3x + 2;
d) P (x) = x5 + 11x − 13, Q(x) = x3 − 3x2 − x + 3.
43.
a) Wielomian P (x) przy dzieleniu przez dwumiany x − 1 i x + 3 daje odpowiednio reszty 3 i −1. Wyznaczyć
resztę z dzielnia wielomianu P (x) przez trójmian x2 + 2x − 3.
b) Wielomian P (x) przy dzieleniu przez wielomian x4 − x3 + x − 1 daje resztę x3 + 2. Wyznaczyć resztę z
dzielenia wielomianu P (x) przez x2 − 1.
44. Liczba z1 jest pierwiastkiem wielomianu W (z). Znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu, jeżeli:
√
3
1
4
3
4
3
2
;
a) W (z) = z + iz − z − i, z1 = −i;
b) W (z) = z − z + 4z + 3z + 5, z1 = − + i
2 √2
√
1
3
c) W (z) = z 5 + z 4 − 3z 3 + 3z 2 − 18z, z1 = i 3; d) W (z) = z 4 + z 3 + 5z 2 + 4z + 4, z1 = − −
i.
2
2
45. Wiemy, że liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu W (z). Rozłożyć wielomian W (z) na nierozkładalne czynniki rzeczywiste, jeżeli:
√
√
1 i 3
, W (z) = z 4 − z 3 + 4z 2 + 3z + 5; b) z1 = 2i, W (z) = z 4 + z 3 + 3z 2 + 2z + 2.
a) z1 = − +
2
2
5