Mechanika Kwantowa

Mechanika Kwantowa
Zagadnienia egzaminacyjne po drugim semestrze kursu
1. Symetrie w mechanice kwantowej.
(a) Tranlacje przestrzenne i ich reprezentacja w przestrzeni Hilberta. Kiedy układ ma
symetrię ze względu na translacje przestrzenne?
(b) Związek symetrii układu z degeneracją wartości własnych energii.
(c) Niezależny jawnie od czasu operator Hamiltona jako generator translacji czasowej.
(d) Operator momentu pędu jako generator obrotu. Przypadek cząstki skalarnej i wektorowej.
2. Operator całkowitego momentu pędu.
(a) Definicja, zwyczajowy wybór maksymalnego zbioru komutujących obserwabli i ich
równania własne.
(b) Definiujemy operatory J± ≡ J1 ± iJ2 , gdzie J1 i J2 są składowymi operatora całkowitego momentu pędu. Udowodnić następujące relacje komutacji:
[J3 , J+ ] = h̄J+ ,
[J3 , J− ] = −h̄J− ,
[J+ , J− ] = 2h̄J3 ,
h
i
J~ 2 , J± = 0.
(c) Przyjmijmy równania własne operatorów J~ 2 i J3 w fromie:
J~ 2 |jmi = f (j)h̄2 |jmi ,
J3 |jmi = mh̄ |jmi ,
gdzie j, m są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a f (j) jest rzeczywistą funkcją
różnowartościową. W oparciu o relacje komutacji z punktu (b) udowodnić, że w
reprezentacji wyznaczonej przez wektory |jmi
′
i. operatory J± są diagonalne
w
i j, tzn. tylko elementy hjm|J± |jm i są niezerowe
h
(skorzystać z relacji J~ 2 , J± = 0),
ii. operatory J± spełniają równania (m − m′ ∓ 1) hj, m|J± |jm′ i = 0 (skorzystać z
relacji [J3 , J± ] = ±h̄J± ),
iii. hj, m + 1|J+ |jmi = λm h̄, hjm|J− |j, m + 1i = λ∗m h̄, a |λm |2 spełnia równanie
różnicowe: |λm−1 |2 − |λm |2 = 2m (skorzystać z relacji [J+ , J− ] = 2h̄J3 ), którego
rozwiązanie ogólne ma postać |λm |2 = C − m(m + 1).
(d) Pokazać, że z równań z punktów (c)ii oraz (c)iii wynika, że −j ¬ m ¬ j, gdzie
j = 0, 12 , 1, 32 , 2, ... jest maksymalną możliwą wartością m, dla której |λm |2 ­ 0, a
f (j) ma postać f (j) = j(j + 1) (skorzystać z przedstawienia J~ 2 przez operatory J3
i J± ).
(e) Reprezentacja macierzowa dla spinu 1/2.
(f) Reprezentacja macierzowa dla spinu 1.
(g) Składanie stanów własnych momentu pędu.
3. Symetrie dyskretne w mechanice kwantowej.
(a) Inwersja przestrzenna.
(b) Odwrócenie w czasie.
4. Stacjonarny rachunek zaburzeń. Wyprowadzenie wzorów na pierwszą i drugą poprawkę
do energii i funkcji falowej.
(a) Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu.
(b) Zjawisko Starka pierwszego rzędu w atomie wodoru.
5. Metoda wariacyjna.
(a) Oddziaływanie van der Waalsa pomiędzy dwoma atomami wodoru w stanach podstawowych.
6. Cząstki identyczne.
(a) Równanie Schrödingera dla układu n cząstek identycznych. Jakie warunki musi
spełniać funkcja falowa układu n cząstek identycznych?
(b) Konstrukcja wektorów stanu dla układu 2 identycznych bozonów i 2 identycznych
fermionów.
(c) Zakaz Pauliego i jego konsekwencje na przykładzie układu okresowego pierwiastków.
(d) Podać i objaśnić przykłady zjawisk fizycznych, w których istotną rolę odgrywa
kondensacja Bosego–Einsteina.
7. Stany czyste i mieszane.
(a) Operator gęstości i jego reprezentacje macierzowe.
(b) Udowodnić wzór na wartość oczekiwaną obserwabli kwantowomechanicznej z wykorzystaniem reprezentacji macierzowej operatora gęstości.
8. Elementy relatywistycznej mechaniki kwantowej; równanie Diraca.
(a) Równanie Kleina–Gordona i problemy z jego kwantowomechaniczną interpretacją.
(b) Konstrukcja hamiltonianu Diraca. Własności definicyjne macierzy αi , i = 1, 2, 3 i
β.
(c) Przejście od równania Diraca z macierzami αi , i = 1, 2, 3 i β do równania Diraca z
macierzami γµ .
(d) Relatywistyczna współzmienniczość równania Diraca.
(e) Pokazać, że każda ze składowych ψa (x), a = 1, 2, 3, 4, spinora Diraca ψ(x) spełnia
równanie Kleina-Gordona.
(f) Równanie sprzężone do równania Diraca; prąd Diraca i interpretacja fizyczna jego
zerowej składowej.
(g) Algebra macierzy Diraca. Macierz γ5 i jej własności.
P
(h) Udowodnić, że macierze ΓS ≡ I, ΓVµ ≡ γµ , ΓTµν ≡ σµν , ΓA
µ ≡ γ5 γµ , Γ ≡ γ5 tworzą
bazę przestrzeni wektorowej macierzy 4 × 4 nad ciałem liczb zespolonych.
2
(i) Własności transformacyjne przy transformacjach Lorentza form bliliniowych postaci ψ̄(x)Γa ψ(x), gdzie Γa , a = S, V, T, A, P są macierzami zdefiniowanymi powyżej.
(j) Równanie Diraca dla cząstki i antycząstki w przestrzeni pędowej.
(k) Konstrukcja spinorów Diraca dla cząstki i antycząstki w przestrzeni pędowej.
(l) Operatory rzutujące na stany o określonej energii i na stany o określonej polaryzacji.
(m) Uzasadnić postać równania Diraca dla cząstki w zewnętrznym polu elektromagnetycznym.
(n) Granica nierelatywistyczna równania Diraca dla cząstki w zewnętrznym polu elektromagnetycznym; równanie Pauliego.
3