1 Zadanie 1 Dla jakich wartości x podane niżej wyrażenie traci sens

Zadanie 1
Dla jakich wartości x podane niżej wyrażenie traci sens liczbowy? Uzasadnij odpowiedź.
1
1
1
1
x
Zadanie 2
Datę urodzenia nauczyciela matematyki określają trzy liczby: jedno- lub dwucyfrowe.
Pierwsza liczba określa dzień, druga miesiąc a trzecią liczbę stanowią dwie ostatnie cyfry
roku urodzenia. Iloczyn tych liczb jest równy 2010. Podaj możliwe daty urodzenia tego
nauczyciela
Zadanie 3
Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg: |<DAB| = 83º, |<ABC| = 48º. Podaj miary
pozostałych kątów tego czworokąta. Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 4
Oblicz, o ile procent robotnik zwiększył swoją wydajność pracy, jeżeli pracę, która wcześniej
zajmowała mu 9 godzin, wykonał w ciągu 8 godzin?
Zadanie 5
Prostokątną działkę o obwodzie 182 m podzielono na cztery grządki o jednakowych
wymiarach (jak na rysunku). Jakie jest pole działki?
Zadanie 6
Krótsza przekątna równoległoboku o długości 2 5 cm tworzy z krótszym bokiem tego
2
równoległoboku kąt prosty. Krótszy bok stanowi 66 % dłuższego boku. Oblicz długość
3
drugiej przekątnej tego równoległoboku.
Zadanie 7
Czy liczba postaci 318  617 jest podzielna przez 5?
Uzasadnij odpowiedź.
1
Zadanie 8
1
W dużych pudełkach jest 180 batonów, a w małych 13 % tego, co w dużych. Liczba małych
3
pudełek stanowi 20% liczby dużych pudełek. W każdym dużym pudełku jest o 6 batonów
więcej niż w każdym małym. Ile jest dużych, a ile małych pudełek?
Zadanie 9
Boki czworokąta wklęsłego są parami równe. Dwa kąty tego czworokąta mają miary równe
60º i 270º. Krótsze boki mają długość 4 cm. Oblicz pole tego czworokąta.
Zadanie 10
Jedno z ramion trójkąta równoramiennego ABC przecięto prostą prostopadłą do podstawy
AB, która na przedłużeniu boku AC wyznaczyła punkt D, na ramieniu BC – punkt E, a na
podstawie AB – punkt F. Udowodnij, że trójkąt DEC jest równoramienny.
Zadanie 11
Oblicz objętość wielościanu, którego krawędzie są odcinkami łączącymi środki ścian
sześcianu o krawędzi długości a.
Zadanie12
Reklama świetlna składa się z czterech części – każda w innym kolorze. Gdy reklama
świetlna zostaje włączona, to najpierw jest ciemno, potem świeci jeden kolor, potem dwa,
potem trzy, potem cztery, następnie gasną po kolei i cały proces zaczyna się od początku.
Każdy stan reklamy trwa 2 sekundy.
Sporządź wykres funkcji, która określa liczbę barw świecących w reklamie (n) w zależności
od czasu (t). Określ dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.
Ile kolorów świeci się w tej reklamie w 157 sekundzie od momentu jej włączenia?
Zadanie13
Uczestników konkursu matematycznego postanowiono umieścić w salach tak, aby w każdej
sali była ta sama liczba osób ale nie więcej niż 32 uczniów. Kiedy początkowo w każdej sali
umieszczono po 22 osoby, to dla jednego ucznia zabrakło miejsca. Wówczas zrezygnowano
z jednej sali i wtedy miejsc w pozostałych salach wystarczyło dla wszystkich uczestników
konkursu.. Ilu uczniów wzięło udział w tym konkursie? W ilu salach zamierzano początkowo
umieścić uczestników konkursu?
Zadanie 14.
Punkt O leży wewnątrz sześciokąta foremnego ABCDEF i nie jest środkiem okręgu
wpisanego w ten sześciokąt. Oblicz sumę pól trójkątów ABO, CDO, i EFO , jeżeli bok
sześciokąta foremnego ma długość a.
Zadanie 15.
Droga z miejscowości A do miejscowości B biegnie po terenie płaskim (równym), pod górę
i z góry. Średnia prędkość, z jaką pokonuje drogę rowerzysta po terenie płaskim jest równa
km
km
km
12 h , pod górę – 8h , a z góry – 15 h . Drogę z A do B rowerzysta przejechał w ciągu
5 godzin, a drogę powrotną przebył w 4 godziny i 39 minut. Długość drogi po terenie płaskim
jest równa 28 km. Oblicz, jaka jest odległość pomiędzy miejscowościami A i B.
4. Równania i nierówności.
Liczba rozwiązań równania 1-go stopnia z jedną niewiadomą:
równanie (*)
-
ax = b posiada następujące rozwiązania:
jedno rozwiązanie gdy a  0
nieskończenie wiele rozwiązań ( x  R ) gdy a=0  b=0 (równanie
tożsamościowe)
brak rozwiązań ( x  O ) gdy a=0  b  0 (sprzeczne)
Przykład.1 Przedyskutuj liczbę rozwiązań równania mx +x = m-3 w
zależności od parametru m.
Przekształcamy równanie do ogólnej postaci (*)
(m+1)x = m-3
- jedno rozwiązanie gdy m+1  0 to znaczy dla m  -1
- nieskończenie wiele rozwiązań gdy m+1=0  (czytaj i)
m - 3= 0 czyli m= -1  m=3 jest to niemożliwe aby
jednocześnie m przyjmowało dwie wartości. Zatem
równanie nie jest tożsamościowym nigdy.
- brak rozwiązania gdy m+1=0  m - 3  0 czyli musi
m= - 1  m  3 warunek zachodzi dla m = -1 i wówczas
równanie jest sprzeczne.
Odp. Równania ma jedno rozwiązanie gdy m
równaniem sprzecznym.
 -1 , zaś dla m = -1 jest
Przykład.2 Przedyskutuj liczbę rozwiązań układu równań
ax + y = 1
x – 8y = b
- wyznaczamy y z pierwszego równania y = 1 – ax i wstawiamy do drugiego
otrzymując x – 8(1 – ax) = b doprowadzamy równanie do postaci ogólnej (*)
x( 1+ a) = 8 + b
i dyskutujemy jak w poprzednim zadaniu:
- gdy
a  -1 układ ma jedno rozwiązanie ( jest układem oznaczonym)
- gdy
a = -1  b = -8 układ ma wiele rozwiązań (jest nieoznaczony)
- gdy
a = -1  b  -8 układ nie ma rozwiązań ( jest sprzeczny).
Przykład.3 Rozwiąż równania :
a) (x + 3)(x-5)x=0
c) 9x2 +4=0
b) 4x2 - 9=0
a) iloczyn kilku liczb jest równy zero jeżeli przynajmniej jedna z nich jest równa 0
dlatego należy zapisać:
x+3=0 lub (  ) x-5=0 lub (  ) x=0
rozwiązaniem równania są : x= -3  x = 5  x = 0
b) korzystając ze wzoru skróconego mnożenia przekształcamy równanie do
postaci iloczynowej :
(2x – 3)( 2x + 3)= 0
- co jest równoważne warunkowi
2x – 3 = 0  2x +3 = 0
zatem równanie ma dwa pierwiastki :
x= 1,5  x = -1,5
c) nie można zastosować wzoru skróconego mnożenia więc przekształcamy do
postaci 9x2 = - 4 równanie to nie posiada rozwiązań jest sprzeczne z uwagi
na to, że lewa jego strona jest iloczynem liczby 9 i kwadratu pewnej liczby
jest więc zawsze  0, a prawa strona jest liczbą ujemną (-4).