Historia matematyki, Lista 6

Historia matematyki, Lista 6
Zadanie 1. Jak sprowadzić równanie
xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0
do równania, w którym nie występuje wyraz xn−1 ?
Zadanie 2 Szwedzki profesor historii i matematyk Erland Bring (1736-1798) wykazał, że
każde równanie piątego stopnia można sprowadzić do postaci x5 + px + q = 0. Wywnioskuj
stąd, że każde równanie piątego stopnia można sprowadzić do postaci
x5 + x = a.
Zadania 3. Znajdź przybliżone rozwiązanie równania x5 + x = 3 za pomocą metody
Newtona. Przypomnijmy
f (xn )
.
xn+1 = xn − 0
f (xn )
Zadanie 4. Udowodnij, że jeżeli a jest wspólnym pierwiastkiem tego wielomianu i jego
pochodnej, to a jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu w(x).
Zadanie 5. Twierdzenie Huddego mówi, jeśli w(a) = 0 oraz a jest pierwiastkiem wielomianu powstałego z w(x) przez pomnożenie jego współczynników przez kolejne wyrazy ciągu
arytmetycznego, to a jest pierwiastkiem wielokrotnym w(x).
a) Wywnioskuj z twierdzenia Huddego poprzednie twierdzenie.
b)* Udowodnij twierdzenie Huddego.
Zadanie 6.* Rozwiąż równanie
32x5 − 40x3 + 10x = 1.
Zadanie 7. Pokaż, ze trygonometryczna metoda Viety pozwala rozwiązać równanie x3 +
px + q = 0 dokładnie wówczas, gdy wyróżnik jest niedodatni.
Zadanie 8. Dla sinusa hiperbolicznego sinh a = (ea − e−a )/2 zachodzi wzór
sinh 3a = 3 sinh a + 4 sinh3 a.
a) Wykorzystaj ten wzór do rozwiązania równania x3 + px + q = 0.
b) Przy jakich założeniach odnośnie p, q ta metoda działa?
Zadanie 9.
Wyraź poniższe wielomiany symetryczne za pomocą klasycznych wielomianów Viety.
a) x21 − x1 x2 + x22 ;
b) x21 + x22 + x23 ;
c) x31 + x32 + x33 − 3x1 x2 x3 .
Zadanie 10. Rozwiąż za pomocą podstawień y1 = (x1 + x2 )(x3 + x4 ) itd. równania:
a) x4 + 4x + 3 = 0; b) x4 + 2x2 + 4x + 2 = 0.
Uwaga: Rozwiązując pomocnicze równanie trzeciego stopnia możesz stosować wszystkie
środki. Ale samo równanie musisz rozwiązywać narzuconą metodą, choć w a) łatwo odgadnąć x = −1.
Zadanie 11.* Udowodnij, że jeśli równanie x5 − x + a = 0 ma pierwiastek wielokrotny, to
a4 =
44
.
55
Zadanie 12. Lagrange wykazał, że liczba wartości funkcji f (x1 , x2 , ...xn ) otrzymywanych
przez permutację argumentów jest zawsze dzielnikiem n!.
a) Ile wartości przyjmuje funkcja f (a, b, c, d) = ab + cd?
b) Czy istnieje funkcja czterech zmiennych, która przy permutacjach daje dokładnie 4
wartości?
c) Wywnioskuj rezultat Lagrange’a ze współczesnej wersji twierdzenia Lagrange’a bądź
odpowiednio modyfikując jego dowód.