STATYSTYKA B

STATYSTYKA B
LISTY ZADAŃ
opracowanie M. Bogdan
Literatura podstawowa
Hogg/McKean/Craig, Introduction to Mathematical Statistics, 6th Edition
LISTA 7, Podstawy testowania, Statystyki dostateczne
1. Niech zmienna X ma rozkład o gȩstości
(
f (x) =
θxθ−1 dla x ∈ [0, 1]
0
dla x ∈
/ [0, 1]
gdzie θ ∈ {1, 2}. Aby przetestować prosta̧ hipotezȩ H0 : θ = 1 przeciwko prostej alternatywie H1 : θ =
2 pobrano dwuelementowa̧ próbȩ X1 , X2 i zdefiniowano obszar krytyczny C = {(x1 , x2 ) : x1 x2 > 3/4}.
Wyznacz poziom istotności i moc tego testu.
2. X ma rozkład dwumianowy B(n, p) gdzie p ∈ {1/4, 1/2}. Hipoteza H0 : p = 1/2 jest
odrzucana na korzyść alternatywy H1 : p = 1/4, gdy X ¬ 3. Wyznacz poziom istotności i moc tego
testu.
3. Niech X1 , X2 bȩdzie dwu-elementowa̧ próba̧ losowa̧ z rozkładu wykładniczego o gȩstości
f (x, θ) = 1θ e−x/θ dla x ­ 0 i 0 dla x < 0. Załóżmy, że θ ∈ {1, 2} i testujemy H0 : θ = 2 przeciwko H1 : θ = 1. H0 jest odrzucane na korzyść H1 gdy
f (x1 , 2)f (x2 , 2)
¬ 1/2 .
f (x1 , 1)f (x1 , 1)
Wyznacz poziom istotności i moc tego testu.
4. Niech X1 , . . . , Xn bȩdzie próba̧ prosta̧ z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ). Skonstruuj test do
testowania hipotezy σ 2 = 5 przeciwko alternatywie σ 2 > 5. Wyznacz i wykreśl funkcjȩ mocy tego
testu dla poziomu istotności α = 0.05 i n = 25.
5. Niech X1 , . . . , Xn bȩdzie prosta̧ próba̧ losowa̧ z rozkładu jednostajnego U (0, θ), θ > 0. Wyznacz minimalna̧ statystykȩ dostateczna̧ dla parametru θ. Uogólnij na przypadek gdy próba losowa
jest generowana z rozkładu o gȩstości f (x, θ) = Q(θ)M (x), x ∈ [0, θ], θ > 0.
6. Niech X1 , . . . , Xn bȩdzie prosta̧ próba̧ losowa̧ z rozkładu Beta (α, β = 2). Wyznacz minimalna̧
statystykȩ dostateczna̧ dla parametru α.
7. Niech X1 , . . . , Xn bȩdzie prosta̧ próba̧ losowa̧ z rozkładu Gamma Γ(α, β = 6). Wyznacz
minimalna̧ statystykȩ dostateczna̧ dla parametru α.
8. Niech X1 , . . . , Xn bȩdzie prosta̧ próba̧ losowa̧ z rozkładu Beta (α = β = θ). Wyznacz minimalna̧ statystykȩ dostateczna̧ dla θ.
9. Niech Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 bȩda̧ statystykami porza̧dkowymi z piȩcioelementowej próby
losowej z rozkładu jednostajnego U (0, θ), θ > 0. Udowodnij, że 2Y3 jest nieobcia̧żonym estymatorem
dla θ. Ustal ła̧czny rozkład Y3 i statystyki dostatecznej Y5 . Wyznacz warunkowa̧ wartość oczekiwana̧
E(2Y3 |Y5 = y5 ) = φ(y5 ). Wyznacz wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ φ(Y5 ). Porównaj z odpowiednimi
parametrami 2Y3 . Który estymator jest lepszy : 2Y3 czy φ(Y5 ) ?
10. Niech X1 , X2 bȩdzie prosta̧ próba̧ losowa̧ z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
E(Xi ) = θ. Zauważ, że Y2 = X2 jest nieobcia̧żonym estymatorem dla θ. Wyznacz rozkład ła̧czny
statystyk Y1 = X1 + X2 i Y2 i warunkowa̧ wartość oczekiwana̧ E(Y2 |Y1 = y1 ) = φ(y1 ). Który z
estymatorów jest lepszy Y2 czy φ(Y1 ) ?
1