Zestaw 05
Transkrypt
Zestaw 05
Ćwiczenia do wykładu Zjawiska falowe Grupa 2, poniedziałek g. 14-16 Grupa 3, czwartek g. 8-10 Zestaw 5 Zadanie 1 Wykaż, że rozwiązaniem jednowymiarowego równania falowego 1 ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = 2 2 ∂x v ∂t2 jest dowolna kombinacja liniowa typu c1 f1 (x − vt) + c2 f2 (x + vt), gdzie funkcje f1 (z) i f2 (z) są dwukrotnie różniczkowalne. Jaki jest sens fizyczny obu składników? Zadanie 2 Równanie falowe w trzech wymiarach ma następującą postać: ∆u(~x, t) = 1 ∂ 2 u(x, t) . v2 ∂t2 Jaki musi być związek między wielkościami ω, ~k i v, by u(~x, t) = f (~k·~x −ωt) , (~k 6= 0) było rozwiązaniem tego równania? Zakładamy, że funkcja jednej zmiennej f (z) jest dwukrotnie różniczkowalna. Operator Laplace’a ∂2 ∂2 ∂2 (laplasjan) ma postać ∆ = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 . Zadanie 3 W niektórych zagadnieniach rozważany układ charakteryzuje się jakimś rodzajem symetrii. W szczególności może to być symetria sferyczna. Wygodniej jest wtedy rozważać równanie falowe we współrzędnych sferycznych. Zatem, wyrażając laplasjan we współrzędnych sferycznych x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ , z = r cos θ gdzie r 0, 0 < θ < π, 0 < φ < 2π, otrzymujemy ∂ ∂2u 1 ∂ 1 ∂u 1 2 ∂u ∆u = 2 . r + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 Stąd lewa strona naszego trójwymiarowego równania falowego będzie miała powyższą postać, prawa strona pozostaje bez zmian. Wykaż, że możemy niezależne od θ i φ, czyli sferycznie symetryczne, rozwiązania równania falowego zapisać w postaci c1 1r f1 (r − vt) + c2 1r f2 (r + vt), gdzie funkcje f1 (z) i f2 (z) są dwukrotnie różniczkowalne. Jaki jest sens fizyczny obu składników? Zadanie 4 Innym rodzajem symetrii jest symetria walcowa, gdy w odróżnieniu od sytuacji rozważanej w poprzednim zadaniu istnieje jakiś wyróżniony kierunek. Wtedy, korzystne jest stosowanie współrzędnych walcowych. Laplasjan we współrzędnych walcowych (cylindrycznych) x = ρ cos φ y = ρ sin φ , z = z0 gdzie ρ 0, 0 < φ < 2 π, z 0 ∈ R, ma postać 1 ∂ ∆u = ρ ∂ρ ∂u 1 ∂2u ∂2u ρ + 2 + . ∂ρ ρ ∂φ2 ∂z 0 2 Rozważmy następującą funkcję niezależną od φ i z 0 A w(ρ, t) = √ sin(kρ − ωt), ρ gdzie A jest wielkością stałą. Czy w(ρ, t) spełnia równanie falowe ∆w − 1 ∂2w = 0? v 2 ∂t2 Zadanie 5 Rozważmy interferencję dwóch skalarnych fal harmonicznych o równych częstościach f1 (~r, t) = A1 cos ~k1 · ~r − ωt + 1 f2 (~r, t) = A2 cos ~k2 · ~r − ωt + 2 Wylicz średnią po okresie T (T = 2π ω ) 1 I(x, y, z) ≡ T ZT (f1 + f2 )2 dt. 0 Przyjmując, że A1 =2, A2 =1, ~k1 = (1, 2, 1), ~k2 = (0, 1, 3), 1 =0, 2 = dla x ∈ [−4, 4] i y ∈ [−4, 4]. π 3 proszę narysować I(x, y, z = 0) Zadanie 6 Rozważmy interferencję dwóch wektorowych fal harmonicznych o równych częstościach ~ 1 cos ~k1 · ~r − ωt + 1 f~1 (~r, t) = A ~ 2 cos ~k2 · ~r − ωt + 2 f~2 (~r, t) = A Wylicz średnią po okresie T (T = 2π ω ) 1 I(x, y, z) ≡ T ZT f~1 + f~2 2 dt. 0 Piotr Cyganik Jakub S. Prauzner-Bechcicki