Wyznacz pęd ( ), kręt względem środka masy ( ) oraz energię

Wyznacz pęd ( p ), kręt względem środka masy ( K o ) oraz energię kinetyczną ( E k )
jednorodnego sześcianu o boku a i gęstości ρ obracającego się wokół krawędzi ze stałą
prędkością kątową ω .
Rozwiązanie
ϕ = ωt
⎛
⎞
2
2
ro = ⎜⎜ a
cos(ωt ), a
sin(ωt ),0 ⎟⎟
2
⎝ 2
⎠
T
⎛
⎞
2
2
v o = r&o = ⎜⎜ − aω
sin(ωt ), aw
cos(ωt ),0 ⎟⎟
2
2
⎝
⎠
Wektor pędu
układ nieruchomy
o początku na osi obrotu
.
p = m vo =
ρ a 4ω
2
T
( − sin( ω t ), cos( ω t ),0 )T
Wektor krętu względem punktu A
wektor krętu względem punktu A (A leży na osi obrotu) wynosi:
K A = I Aω
Wyznaczenie tensora bezwładności IA w układzie współrzędnych poruszającym się wraz z
ciałem ,w którym oś z pokrywa się z osią obrotu (układ III) .
•
Najpierw wyznaczamy tensor bezwładności w układzie o początku w środku
masy i osiach równoległych do krawędzi (układ I).
układ I
a/2 a/2 a/2
I =
I
x
∫ ∫ ∫ ρ( y
2
+ z )dxdydz = ρx
2
a/2
−a / 2
−a / 2 −a / 2 −a / 2
y3
⋅
3
a/2
a/2
⋅ z −a / 2
−a / 2
z3
+ ⋅ x −a / 2 ⋅ y −a / 2 ⋅
3
a/2
a/2
a/2
=
−a / 2
⎛a
a ⎞
a
1
⎟⎟ ⋅ 2 = ρ
= ρ ⋅ ⋅ a ⋅ a ⋅ ⎜⎜
+
3
8 ⎠
6
⎝ 8
a5
I xyI = I xzI = I yzI = 0
I yI = I zI = ρ
6
5
5
5
⎛ 1 0 0⎞
⎟
I =
⎜ 0 1 0⎟
6 ⎜
⎟
⎝ 0 0 1⎠
I
ρa 5 ⎜
•
Ponieważ wartości własne tensora I I są takie same, więc w każdym układzie
współrzędnych o początku w punkcie 0 tensor ma taką samą postać. Więc w
układzie wsp. II postać tensora jest taka sama I II = I I
układ II
•
Następnie przesuwamy równolegle układ współrzędnych do pozycji III i
wyznaczamy IA z twierdzenia Steinera . Punkt 0 ma w układzie III współrzędne
⎞
⎛
⎜ a 2 ,0 ,0 ⎟
⎟
⎜ 2
⎠
⎝
układ III
I xIII = I xII = ρ
5
a
6
2
I
III
y
=I
II
y
I
III
z
=I
II
z
⎛a 2⎞
a5
a5 2 5
⎟
⎜
+ m⎜
⎟ = ρ 6 + ρ 2 = 3 ρa
⎝ 2 ⎠
2
I xyIII = I xyII
I
III
5
5
⎛a 2⎞
⎟ = ρ a + ρ a = 2 ρa 5
+ m ⎜⎜
⎟
6
2
3
⎝ 2 ⎠
2
2
+ m⋅a
⋅ 0 = 0 , I xzIII = I xzII + m ⋅ a
⋅0 = 0,
2
2
⎛1
⎜
⎜6
=⎜0
⎜
⎜
⎜0
⎝
0
2
3
0
⎞
0⎟
⎟
0 ⎟ ⋅ ρa 5 ,
⎟
2⎟
⎟
3⎠
I yzIII = I yzII + m ⋅ 0 ⋅ 0 = 0
⎛0⎞
⎜ ⎟
ω =⎜0⎟
⎜ω ⎟
⎝ ⎠
Kręt w układzie III
2
⎞
⎛
III
K A = ⎜ 0,0, ρa 5 ⎟
3
⎠
⎝
Aby wyznaczć kręt w układzie wyjściowym nieruchomym (x,y,z) (którego oś z pokrywa się
z osią obrotu ) należy go przetransformować do tego układu.
Macierz przejścia z układu III do układu (x,y,z) ma potać
⎛ cos ϕ
⎜
Q = ⎜ sin ϕ
⎜ 0
⎝
− sin ϕ
cos ϕ
0
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
⎛
⎞ ⎛
⎞
0 ⎞⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟
K A = Q ⋅ K AIII
cos ϕ 0 ⎟⎜⎜ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟
2
2
0
1 ⎟⎠⎜ ρa 5 ⎟ ⎜ ρa 5 ⎟
⎝3
⎠ ⎝3
⎠
Ponieważ oś z 3 układu związanego z poruszającym się ciałem pokrywa się z osią obrotu, więc
wektor krętu ma tą samą postać w oby układach.
⎛ cos ϕ
⎜
= ⎜ sin ϕ
⎜ 0
⎝
− sin ϕ
Kręt w układzie nieruchomym związanym ze środkiem masy.
1
K o = K A + p × ro = ( 0,0, ρa 5ω )
6
Energia kinetyczna układu
Ek =
1
1
I zAω 2 = ρa 5ω 2
2
3