MAP 1091 – ANALIZA MATEMATYCZNA 1.3 Listy zadań Lista 1

MAP 1091 – ANALIZA MATEMATYCZNA 1.3
Zadania z listy oznaczone gwiazdką (∗) są nieco trudniejsze albo mają charakter teoretyczny. Jednak nie wychodzą one poza ramy programu kursu. Odpowiedzi do zadań z listy można zweryfikować za pomocą programów komputerowych. Istnieje wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Programy te
można wykorzystać np. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, wyznaczania całek
i pochodnych, rozwiązywania równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych. Polecamy stronę
internetową Wolfram Alpha oraz darmowe programy: Maxima, Microsoft Mathematics, Octave, pakiet
R, Sage, Scilab, a także programy płatne: Derive, Mathematica, Matlab, Maple, Scientific WorkPalce.
Uzdolnionych studentów zachęcamy do udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z
tych egzaminów można znaleźć na stronie internetowej
http://www.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujace.html
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Wrocław, wrzesień 2012
Listy zadań
Lista 1
1.1. Określić i narysować dziedziny funkcji:
a) f (x) =
d) f (x) =
x2
x
;
− 2x − 3
p
−(x + 3)4 ;
b) f (x) =
x−2
;
x2 + 4
x−1
;
e) f (x) = √
x−1
1.2*. Wyznaczyć zbiory wartości funkcji:
√
a) f (x) = x2 + 2x;
b) f (x) = − x + 2;
d) f (x) = 1 +
1
;
x+1
c) f (x) =
e) f (x) =
x2 − 1
;
x+1
f) f (x) =
p
16 − x2 ;
x−4
.
x2 − 8x + 16
x2
;
x2 + 1
x4 − 9
f) f (x) = 2
.
x −3
c) f (x) =
1.3. Na podanych przedziałach uzasadnić monotoniczność funkcji:
√
a) f (x) = x2 , (−∞, 0] ;
b) f (x) = x − 1, [1, ∞);
1
c) f (x) =
, [0, ∞) ;
d*) f (x) = x + |x|, R.
1 + x2
1.4. Wyznaczyć współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b funkcji liniowych y = ax + b:
a) y = 1;
b) y − x = 0;
c) y = −x + 4;
d) y + 2x = 2;
e) 3x + 4y − 2 = 0;
1.5. W podanych przedziałach uprościć wyrażenia:
a) x + |2 − x| + 3|1 − x|, gdzie x ∈ (1, 2);
b)
|x − 1|
− |2 − 3x|, gdzie x ∈ (−∞, −1);
d)
c)
|x + 1|
f) x − 5y = 3.
|2x| − |x + 1| + 2|x − 2|, gdzie x ∈ (2, ∞);
|1 − x| − 1 − 2|x − 2|, gdzie x ∈ (0, 1).
1.6. Sprowadzić do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) funkcje kwadratowe i naszkicować ich wykresy:
1
a) f (x) = −x2 + x;
b) f (x) = 2x2 + 1;
c) f (x) = x2 + x + ;
4
9
3
2
2
2
f) f (x) = −x − 3x − .
d) f (x) = x + 2x − 3;
e) f (x) = −2x − 2x + ;
2
4
1
1.7. Wyznaczyć współczynniki oraz określić stopień funkcji wielomianowych:
a) W (x) = (x + 1)3 − x(x − 1)2 ;
b) W (x) = x4 + 4x3 − x2 (x + 2);
c) W (x) = (x + 2)3 − (x − 2)2 ;
d) W (x) = (x + 1)2 − (2x + 3)3 − 2x.
1.8*. Naszkicować przykład wykresu funkcji wielomianowej, dla której podano jej pierwiastki, ich krotności
oraz znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x:
a) x1 = −2 (2–krotny), x2 = 0, x3 = 2, a4 > 0;
b) x1 = −2, x2 = 1 (3–krotny), x3 = 2, a5 < 0;
c) x1 = −2 (4–krotny), x2 = 0 (2–krotny), x3 = 2 (2–krotny), a8 > 0;
d) x1 = −2 (3–krotny), x2 = 0 (3–krotny), x3 = 2 (2–krotny), a8 > 0.
1.9. Rozwiązać równania wymierne:
a)
d)
4x − 6
= 0;
2x2 − x + 4
b)
3
2
21
+
= 2
;
x+1 x−2
x −x−2
e)
3
2
1
+
= ;
4x − 6 2x − 3
5
2x − 1
3
=
+ 1;
x
x+1
1.10. Rozwiązać nierówności wymierne:
x2 − 3x
(x + 1)(x + 2)
a)
< 0;
b)
­ 0;
x+3
(x + 3)(x + 4)
d)
x2 + 5x
> x;
x−3
e)
c)
c) 2 +
x2 − 3x + 2
> 0;
x2 + 3x + 2
f)
f)
9x
3
=
+ 2;
3x − 1
3x + 1
x−4
2
x − 21
−
= 2
.
x−2 x+3
x +x−6
3
2
> ;
x+1
x
−x2 + 2x + 4
¬ 1.
x−2
Lista 2
2.1. Określić funkcje złożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g, jeżeli
√
1
b) f (x) = x, g(x) = x4 ;
a) f (x) = , g(x) = x2 ;
x
√
1
1
c) f (x) =
, g(x) =
;
d) f (x) = |x|, g(x) = x + 1.
x+1
x+2
Wyznaczyć dziedziny tych funkcji złożonych.
2.2. Znaleźć funkcje f i g takie, że h = f ◦ g, jeżeli:
|x| + 1
x2 + 2x + 1
; b) h(x) = 2
; c) h(x) =
|x| − 1
x + 2x − 1
*Czy funkcje f i g są wyznaczone jednoznacznie?
a) h(x) =
r
x+1
;
x
d) h(x) = x4 + 2x2 − 2.
2.3. Korzystając z wykresu funkcji f przedstawionego na rysunku
y
y
A)
B)
y=f (x)
2
−2
2
x
naszkicować wykresy funkcji:
a) f (x) + 1;
b) f (−x) − 1;
d) −f (x) + 1;
e) −f (x − 1);
2.4. Przekształcając wykresy funkcji y = x2 , y =
y=f (x)
2
2
4
c) f (x + 1);
f) f (1 − x) − 1.
1
, y = |x| naszkicować funkcje:
x
2
x
1
y = − x2 ,
2
2
y= ,
x
1
y = |x|,
3
a) y = x2 − 2,
1
b) y = − ,
x
c) y = |x − 2|,
y = (x + 3)2 ,
y=
y = x2 − 4x + 7;
1
,
x+3
y=
y = 1 − |x|,
3
;
x−1
y = |x + 4| − 2.
2.5. Podany jest wykres funkcji y = f (x)
y
4
2
y=f (x)
3
x
1
Naszkicować wykresy funkcji:
a) y = f (x + 1);
b) y = f (x) − 2;
1
f (x);
2
g) y = f (−x);
c) y = f (x − 1) + 3;
e) y = f (3x);
d) y =
f) y = −f (x);
h) y = |f (x)|;
i) y = f (|x|).
2.6. Kąty wyrażone w stopniach zapisać w radianach, kąty wyrażone w radianach zapisać w stopniach: :
a) 10◦ ,
24◦ ,
45◦ ,
135◦ ,
350◦ ,
1080◦;
b) 1,
π
,
24
7π
,
12
4π
,
3
35
π,
36
21π
.
12
2.7. Na płaszczyźnie narysować w położeniu standardowym kąty:
a)
π
;
8
b) 120◦ ;
π
c) − ;
5
d) −270◦ ;
e)
7π
;
4
f) −
7π
.
3
2.8. Korzystając
ze wzorów redukcyjnych zapisać podane wyrażenia w postaci funkcji trygonometrycznych kąta
π
α ∈ 0,
:
2
π
3π
5π
a) sin
− α ; b) cos
+ α ; c) tg (π − α); d) ctg
+α .
2
2
2
2.9. Zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta z pierwszej ćwiartki wyrażenia:
π
9
95
14
a) sin − ; b) cos π; c) tg − π ; d) ctg π.
3
2
3
9
Lista 3
3.1. Obliczyć wartości wyrażeń:
19
5π
21
13π
a) cos − π + cos
;
;
b) cos − π − sin −
6
6
4
4
7
5
13
17
c) tg − π − ctg − π ;
d) ctg π + ctg − π .
3
3
6
6
3
3.2. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:
1 + tg α
1
= tg α;
b) sin4 α+cos4 α = 1− sin2 2α;
1 + ctg α
2
α
1 − cos α
d) tg =
;
e) sin4 α−cos4 α = sin2 α−cos2 α;
2
sin α
Dla jakich kątów α są one prawdziwe?
c) tg α + ctg α =
a)
f)
2
;
sin 2α
1
− cos α = sin α tg α.
cos α
3.3*. Wyprowadzić wzory:
α
2 ;
a) sin α =
α
1 + tg2
2
2 tg
α
2
b) cos α =
α;
1 + tg2
2
1 − tg2
α
2 ;
c) tg α =
α
1 − tg2
2
2 tg
α
1 − tg2
2
d) ctg α =
α .
2 tg
2
3.4. Korzystając z wykresu funkcji y = sin x naszkicować w przedziale [−π, π] wykresy funkcji:
π
x
;
c) y = sin x +
a) y = sin 2x;
b) y = sin ;
3
4
h π i
1
d) y = sin 2 x −
;
e) y = 1 + sin x;
f) y = sin x − 1.
6
2
3.5. Naszkicować wykresy funkcji:
1
π
;
b) y = sin x − sin x ;
a) y = cos 2 x −
4
2
d) y = tg x + | tg x|;
π
;
c) y = 1 + ctg x +
4
e) y = sin x + cos x;
f) y = |tg x| ctg x.
3.6. Rozwiązać równania trygonometryczne:
x
b) cos 4x = sin ;
2
π
π
d) sin
;
− 2x = cos x +
6
3
a) sin x = − sin 2x;
π
π
;
− 2x = cos x +
c) cos
4
3
π
π
= tg
−x ;
e) tg x −
4
6
π
g) ctg 2x +
= ctg x;
3
f) ctg 2x = tg 2x;
π
π
h) tg 2x +
= ctg 3x +
.
4
6
3.7. Rozwiązać równania trygonometryczne:
a) sin2 x + cos x sin x = 0;
b) sin x − 2 = cos 2x;
c) tg2 x − 2 tg x + 1 = 0;
√
e) sin x = 0;
d) tg x + tg 2x = tg 3x;
3.8. Rozwiązać nierówności trygonometryczne:
x π √
π
< −1;
− x ­ 3; b) 2 cos
−
a) 2 sin
3
2
6
f) cos
c) tg
x
4
+
π
> −1;
3
3.9. Rozwiązać nierówności trygonometryczne:
r
h π πi
x
3
a) cos x ¬ sin , x ∈ − ,
;
b) cos x + sin x ­
;
2
2 2
2
1
π π
c) ctg x −
.
< 0;
d) tg x tg 2x ¬ 1, x ∈ − ,
ctg x
2 2
1
= 1.
x
d)
√
π
¬ 1.
3 ctg 2x +
4
Lista 4
4.1. Rozwiązać równania wykładnicze:
2x−3
1
= 8;
b) 2 · 42x − 3 · 4x = −1;
a)
2
d) 9x + 3x+1 = 4;
e) 5
8−3x
x
=5
2x
2−x
·5
x+5
3−x
c)
;
4
f)
√ x √
3
5 − 25 = 0;
1
+ 31−x = 0.
3x − 4
4.2. Rozwiązać nierówności wykładnicze:
a) 34x−2 < 92−x ;
b) 0.25
3
d) 2x − 2−x ¬ ;
2
i)
x+1
x
< 0.0625;
c) 2x
−1
2
− 3x > 3x
2
x + 2x −
1
j) √ ¬ 2
2
2
1
1
< 2x
;
−1
e +1
ex
2
−1
1
2
− 2x
<
2
+2
;
√
2.
4.3. Rozwiązać równania logarytmiczne:
a) 4 log2 x = log2 81;
b) log4 (x + 4) − log4 (x − 1) = 2;
c) log 12 (x − 3) + log 12 x = −2;
d) log2 x2 − 6 = 3 + log2 (x − 1).
4.4. Rozwiązać nierówności logarytmiczne:
a) log5 (5 − 3x) > 1;
b) log(3x − 1) − log(x − 1) > log 2;
c)
2
­ 1 − log3 x;
log 13 x
d) ln x +
1
> 0.
ln x
4.5. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
1
a) f (x) = ,
x
R \ {0};
4
b) f (x) = x ,
[0, ∞);
√
c) f (x) = x − 3,
[0, ∞);
4.6. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji:
√
x+1
a) f (x) =
;
b) f (x) = 3 − 3 x + 2;
x(− 1
−x2 dla x < 0,
d*) f (x) =
e) f (x) = 2x−1 ;
2 + x dla x ­ 0;
c*) f (x) = x6 sgn x;
1
x
f) f (x) = 4 ;
f) f (x) = log32 (x + 1).
e) f (x) = log 12 2x;
g) f (x) = log(x + 2);
4.7*. Obliczyć wartości wyrażeń:
1
1
a) tg arccos
; b) ctg arcsin
;
2
3
√
d*) f (x) = x − x,
3
8
c) sin arcsin + arcsin
;
5
17
d) sin (arc tg 1 + arc tg 2).
4.8*. Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:
π 3π
;
b) f (x) = cos x, x ∈ [π, 2π];
,
a) f (x) = sin x, x ∈
2 2
3π
π
;
d) f (x) = ctg x, x ∈ (π, 2π).
c) f (x) = tg x, x ∈ − , −
2
2
Lista 5
5.1. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej uzasadnić równości:
a) lim
n→∞
3−n
= −1;
n+4
b) lim
n→∞
2n + 1
= 0;
n2
c) lim ln (2n − 5) = ∞.
n→∞
5.2. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
n+1
;
n→∞ 2n2 + 1
3n − 1
;
n→∞ n + 4
b) lim
a) lim
d) lim
n20 + 2
n→∞ (n3
3
20
;
+ 1)
n + 1 n! + 1
;
g) lim
n→∞ (2n + 1)(n + 1)!
p
4
n4 + 16 − n ;
j) lim
2
n→∞
n3 + 2n2 + 1
;
n→∞
n − 3n3
c) lim
1 + 3 + . . . + (2n − 1)
;
n→∞
2 + 4 + . . . + 2n
p
p
h) lim
n2 + 4n + 1 − n2 + 2n ;
e) lim
n→∞
√
n3 + 1
;
k) lim √
3
n→∞
n5 + 1 + 1
log2 (n + 1)
;
n→∞ log3 (n2 + 2n + 1)
q
√
√
i) lim
n+6 n+1− n ;
f) lim
n→∞
l) lim
n→∞
5
√
3
8n+1 + 3
.
2n + 1
"
!
1
,∞ .
4
5.3. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice:
2n + (−1)n
;
n→∞
3n + 2
⌊nπ⌋
;
n→∞ n
a) lim
b) lim
r
3
2
1
+ 3;
+
d) lim
n→∞
n n2
n
√ n 2
g) lim √ ;
n→∞ n 3
h) lim
n→∞
n
f) lim
n→∞
n→∞
r
√
n
3 + sin n;
n→∞
√
e) lim n n2n + 1;
n
c) lim
3n + 2n
;
5n + 4n
i) lim
1
1
1
;
+
+ ...+ 2
n2 + 1 n2 + 2
n +n
p
3n + 4n+1 .
n+2
n→∞
5.4. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:
a) lim
d) lim
n→∞
n→∞
1
n
3n−2
n+4
n+3
5−2n
1+
;
b) lim
5n + 2
5n + 1
e) lim
n2
n2 + 1
n→∞
;
n→∞
15n
n2
n
3n
;
n→∞ 3n + 1
n n 5n + 3
3n + 2
.
·
f*) lim
n→∞
5n + 2
3n + 1
;
c) lim
;
5.5. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:
n2 + 1
a) lim
;
b) lim n4 − 3n3 − 2n2 − 1 ; c) lim (1 + 2n − 3n );
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
√
n+1
1 − (n + 1)!
π n
3 − cos
d) lim
;
; e) lim
;
f) lim
n→∞
n→∞
n→∞
2n
n! + 2
n
arc tg n
;
n→∞ arc ctg n
g) lim
n+1
;
n→∞ n ln(n + 1) − ln n
h*) lim
Lista 6
arc tg 2n
.
n→∞
2n
i) lim
6.1. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:
1
= ∞.
a) lim (x − 2)5 = 1;
b) lim+ ⌊x⌋ = 4;
c) lim+
x→3
x→π
x→ 2 x − 2
6.2. Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnić, że podane granice nie istnieją:
√
x2
c) lim sin x;
;
b) lim x2 ;
a) lim
x→∞
x→2
x→3 x − 3
1
sgn x
d) lim cos 2 ;
e) lim
;
f) lim (x−⌊x⌋) .
−
x→0 sgn (x+1)
x→5
x
x→0
6.3. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:
√
x2 − 1
x2 − 4
x+ x
√
a) lim 2
;
b) lim 2
;
c) lim
;
x→0 x − x + 1
x→2 x − x − 2
x→0
x
x3 − 1
;
x→1 x4 − 1
√
x−2−2
g) lim
;
x→6
x−6
p
j) lim
x2 + 1 + x ;
d) lim
x→−∞
m) lim
π
x→ 2 −
tg2 x + 1
;
tg2 x + 5
x6 − 1
;
x→1 1 − x2
√
3
x−4
h) lim √
;
x→64
x−8
√
1 + x2
k) lim √
;
3
x→∞
1 − x3
x2 − 5x + 4
;
x→∞ x(x − 5)
√
√
1+x− 1−x
;
i) lim
x→0
2x
f) lim
e) lim
2x + 1
;
x→∞ 3x + 2
o) limπ tg x −
l) lim
sin2 x
;
x→0 1 − cos x
n) lim
x→ 2
6.4. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:
6
1
.
cos x
1
x2 − 4
;
x→2 |x − 2|
3
a) lim x sgn x;
b) lim 2 x ;
d) lim sgn x 1 − x2 ;
e) lim
x→0
c) lim
x→0
x→−1
x→0
1
f) lim x arc tg .
x→0
x
⌊x⌋
;
x
6.5. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:
√
1
x cos 2 = 0;
x
x→0
2−x + sin x
c) lim −x
= 1;
x→−∞ 2
+ cos x
⌊3ex ⌋+2
3
h) lim
= ;
x→∞ ⌊2ex ⌋+1
2
e) lim+
a) lim x3 arc tg
x→0
1
= 0;
x
d) lim ⌊x⌋ sin(xπ) = 0;
x→2
x + sin2 x
g) lim e
= 0;
x→−∞
1
j*) lim sin x+ −sin x = 0.
x→∞
x
2+sin x
= 0;
x→∞
x2
1
= 0;
i) lim x3
x→0
x
f) lim
6.6. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:
tg
d) lim
arcsin 2x
;
arc tg x
1
e) lim x2 arc tg ;
x→∞
x
g) limπ
cos 5x
;
cos 3x
h) lim
x→0
x→ 2
1
x
c) lim
;
2
x→∞
tg
x
cos 3x − cos 7x
f*) lim
;
x→0
x2
√
ln (1 + 3 x)
i) lim
;
x→0
x
x
2
b) lim
x;
x→0
sin
3
sin
sin2 3x
;
a) lim
x→0
x2
e3x − 1
;
x→0 sin 2x
ln (1 + 2x )
;
x→−∞
3x
2x−1
1
;
m) lim 1 +
x→∞
x+2
j*) lim
k) lim
x→0+
2x − 1
√
;
4 x−1
m) lim [1 + tg(2x)]
1
x
l) lim (1 + 2x) ;
x→0
ctg x
x→0
√
√
3
1+x− 61−x
o) lim
.
x→0
x
;
Lista 7
7.1. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
a) f (x) =
x3 + x2
;
x2 − 4
x3
;
(x + 1)2
√
1 + x2
;
e) f (x) =
x
sin2 x
;
h) f (x) =
x3
b) f (x) =
x−3
;
d) f (x) = √
x2 − 9
sin x
g) f (x) =
;
x−π
c) f (x) =
f) f (x) =
1 − x2
;
x+1
ex
1
;
−1
i) f (x) = x − arc tg x.
7.2. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:
a) lim f (x) = ∞, lim− f (x) = 1, f (2) = 0, lim f (x) = −1;
x→−∞
x→∞
x→0
b) lim f (x) = e, lim f (x) = 0, funkcja f jest parzysta;
x→∞
x→2
c) prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji f w −∞, prosta y = x − 1 asymptotą ukośną w ∞, a prosta
x = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;
d)
e)
f)
lim f (x) = 0, lim f (x) = 3, lim f (x) = −∞;
x→−∞
x→1
x→∞
lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = 1, lim f (x) = 5;
x→−∞
x→0−
x→∞
x→0+
lim f (x) = −4, lim f (x) = ∞, lim f (x) = 4;
x→−∞
x→−1
x→∞
g) lim f (x) = ∞, lim f (x) = 0, funkcja f jest okresowa i ma okres T = 3;
x→1
h)
x→2
lim f (x) = 4, lim f (x) = ∞, funkcja f jest nieparzysta.
x→−∞
x→1
7
Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.
7.3. Dobrać parametry a, b ∈ R tak, aby podane funkcje były ciągłe na R:

 2
π
(a


,
sin
x
dla
|x|
­

 ax + 1 dla x < −1,
+ 1 dla x < −1,
2
dla −1 ¬ x ¬ 0,
a) f (x) = x
b) f (x) =
π c) f (x) =  2x

b − 2x dla x ­ −1;
 ax + b dla |x| < ;
 3
x
+
bx
dla
x > 0;
2


( 2

dla x < π,
 bx
 a sin x + b cos x dla |x| >
x +ax+b dla |x| < 2,
e) f (x) = sin x
f) f (x) =
d) f (x) =
√


dla x ­ π.
x x2 − 4 dla |x| ­ 2;
 1 + tg x
dla |x| ¬
ax
π
,
4
π
.
4
7.4. Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie a (jeżeli istnieją) dla funkcji o podanych wykresach:
a)
b)
y
c)
y
y=f (x)
a
d)
y=f (x)
x
a
e)
y
y
y=f (x)
x
a
f)
y
x
y
y=f (x)
y=f (x)
a
x
y=f (x)
a
x
a
x
7.5. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj:

x+2
 2

(

x −1
1
 x2 + x + 2 dla x 6= 1, 2
√
dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),
arc tg dla x 6= 0,
a) f (x) = 0
c)
f
(x)
=
b)
f
(x)
=
x−1
x
dla x = 1,



0
dla x = 0;

3
dla x = 1;
1
dla x = 2;


1
 |x| + x

h
i
1 − cos dla x 6= 0,
dla x 6= 0,
d) f (x) =
e) f (x) = sgn x(x − 1) ;
f) f (x) =
x
x2
0
0
dla x = 0.
dla x = 0;
7.6. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:
h πi
sin x
5π
3
;
c) 1 =
;
+ x, 0,
a) x + 6x − 2 = 0, [0, 1];
b) x sin x = 7, 2π,
2
2
2
1
d) x100 + x − 1 = 0,
,1 ;
e) 3x + x = 3, [0, 1];
f) x2x = 1, [0, 1].
2
Wyznaczyć rozwiązania równania a) 0.125.
Lista 8
8.1*. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania:
a) wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość;
b) wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma największy obwód;
c) wśród prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o boku a istnieje ten, który ma największe pole (założyć,
że dwa wierzchołki prostokąta należą do ustalonego boku trójkąta).
8
8.2. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f (x) = |x − 1|, x0 = 1;
b) f (x) = 2x − |x|, x0 = 0;

π
(

2
 sin x dla x ¬ ,
x dla x ¬ 2,
2
d*) f (x) =
e*) f (x) =
π

2x dla x > 2,
1
dla x > ,
2
π
x0 = 2;
x0 = ;
2
Naszkicować wykresy funkcji a), b), d) i e).
c) f (x) = |x − π|3 sin x, x0 = π;

1
 2
x arc tg
dla x 6= 0,
f*) f (x) =
x
0
dla x = 0,
x0 = 0.
8.3. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji:
a) f (x) = x2 − 3x, gdzie x ∈ R;
c) f (x) =
√
x, gdzie x > 0;
1
, gdzie x 6= −1;
x+1
π
d) f (x) = tg x, gdzie x 6= + kπ dla k ∈ Z.
2
b) f (x) =
8.4. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych
punktach:
a) f (x) = x2 − x , x0 = 1;
b) f (x) = sin x · sgn (x), x0 = 0;


 tg x dla − π < x ¬ 0,
 x(x − 1)
dla x < 1, x = 1.
2
c) f (x) =
x0 = 0;
d) f (x) =
0
π
 sin x dla 0 < x < ,
√ 2
x
−
1
dla
x
­
1,
2
Naszkicować wykresy tych funkcji.
8.5. Zbadać z definicji, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x0 = 0:
√
√
b) f (x) = tg 3 x;
a) f (x) = 3 − 5 x;
q
p
p
d*) f (x) = |x| + |x|.
c) f (x) = | sin x|;
8.6. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
x2 + 1
a) y =
;
b) y = 3 cos x + tg x;
x − 1
√ √ 1
d) y = x3 + 2 ex ;
e) y = 1 + 4 x tg x ;
x
p
g) y = ln sin2 x + 1 ;
h) y = 3 arcsin (x2 );
2
2sin x
j) y = cos2 x ;
3
tg x
k*) y = x
;
c) y =
ex+1
;
sin x
f) y = ex arc tg x;
x
i) y = ee ;
l*) y =
√
x
x.
Lista 9
9.1. Obliczyć f ′ , f ′′ , f ′′′ funkcji:
2
;
x
a) f (x) = 4x7 − 5x3 + 2x;
b) f (x) = x3 −
d) f (x) = arc tg x;
e) f (x) = sin3 x + cos3 x;
c) f (x) =
ex
;
x
f) f (x) = x3 ln x.
9.2. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
π π x
;
b) f (x) = ln x2 + e , (0, f (0));
c) f (x) = etg x ,
,f
a) f (x) = arcsin , (1, f (1));
2
4
4
√ √
√
√
2x
f*) f (x) = x x, (e, f (e)).
d) f (x) = 2x + 1, (3, f (3));
,
e) f (x) =
2, f
2 ;
2
1+x
9
9.3. a) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x4 − 2x + 5, która jest równoległa do prostej
y = 2x + 3.
√
π
b) Znaleźć styczną do wykresu funkcji f (x) = x, która tworzy kąt
z dodatnią częścia osi Ox.
4
c) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x ln x, która jest prostopadła do prostej 2x+6y−1 =
0.
1
d) Znależć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x arc tg , w punkcie jego przecięcia z prostą πx = 4y.
x
e) Wyznaczyć równanie prostej, która jest wspólną styczną wykresów funkcji f (x) = x2 i g(x) = (x − 2)2 + 4.
9.4. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:
√
1
2001
3
b) √
;
c) ln
;
a) 7.999;
2000
3.98
e) e0.04 ;
d) ln 0.9993;
g)
1
1
33π
+ sin
2
200
;
h)
f) arccos 0.499;
2
;
1 + e0.005
i*) ln 0.2 +
√
1 + 0.04 .
9.5. a) Fragment terenu ma kształt trójkąta równoramiennego o boku b = 200 m. Kąt przy wierzchołku tego
π
trójkata, zmierzony z dokładnością 0.01 rad wynosi . Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole
3
tego terenu?
b) Objętość kulki metalowej, wyznaczona z dokładnością 1 cm3 , wynosi 36π cm3 . Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć średnicę tej kuli?
c) Do szybu puszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością 0.1 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można wyznaczyć głębokość sztolni, jeżeli czas spadania kamienia wyniósł 4.1 s? Przyjąć
g = 9.8 m/s2 .
d) Średnica kuli zmierzona z dokładnością 0.1 mm wynosi 21.7 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można
obliczyć objętość tej kuli?
e) Przekątna sześcianu zmierzona z dokładnością 1 mm wynosi 14.3 cm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością
można obliczyć pole powierzchni całkowitej tego sześcianu?
f) W biegu na 100 m czas mierzy się z dokładnością 0.01 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć
średnią prędkość zawodniczki, jeśli uzyskała ona czas 12.50 s?
9.6*. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:
y
a) |arc tg x − arc tg y| ¬ |x − y| dla x, y ∈ R; b) ln < y − x dla 1 ¬ x < y;
x
x
c) x ¬ arcsin x ¬ √
dla 0 ¬ x < 1;
d) ex > ex dla x > 1.
1 − x2
Lista 10
10.1. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:
a) f (x) = x3 − 30x2 + 225x;
d) f (x) =
x3
;
3 − x2
g) f (x) = x ln2 x;
x4
x3
−
− x2 ;
4
3
√
e) f (x) = x − 3 3 x;
b) f (x) =
h) f (x) =
x
;
ln x
c) f (x) = 4x +
1
;
x
f) f (x) = xe−3x ;
i) f (x) =
1
.
x ln x
10.2. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:
a) f (x) = x3 − 4x2 ;
d) f (x) =
1
;
x2 − x
g) f (x) = x ln x;
1
;
x
√
e) f (x) = x − x;
p
h) f (x) = 3x − x3 ;
2x2 − 1
;
x4
f) f (x) = x2 − 5x − 6 ;
b) f (x) = x +
c) f (x) =
i) f (x) = 2 arc tg x − ln 1 + x2 .
10
10.3. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
1−x
, [0, 1];
a) u(x) = 2x3 − 15x2 + 36x, [1, 5];
b) v(x) = arc tg
1+x
c) w(x) = (x − 3)2 e|x| , [−1, 4];
d) z(x) = 1 − 9 − x2 , [−5, 1];
√
3
e) g(x) = x − 2 x, [0, 5];
f) h(x) = 2 sin x + sin 2x, 0, π .
2
10.4. a) Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie
dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego
platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200 000 euro, a na lądzie – 100 000 euro. Do
którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
b
Platforma
wiertnicza
10 km
b
x
b
b
Rafineria
16 km
b) Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień
koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?
α
r
c) Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność 22.50 m3 i kwadratową podłogę. Koszt 1 m2 blachy potrzebnej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych – 30 zł. Jakie powinny być wymiary
kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
d) Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem
jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki?
rzeka
S
a
b
e) Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak, aby suma pól kwadratów zbudowanych na tych częściach
była najmniejsza.
10.5. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granice:
π
ln sin x
ln (2x + 1)
2 ;
a) lim
;
b) lim
x→∞
x→1
x
ln x
ln cos x
x10 − 10x + 9
;
e) lim
;
d) lim 5
x→0 ln cos 3x
x→1 x − 5x + 4
x
g) lim x ln x;
h) lim− (π − x) tg ;
+
2
x→0
x→π
x
1
2
k) lim
j) lim (cos x) x ;
arc tg x ;
x→∞ π
x→0
11
c) lim
x→0
x − arc tg x
;
x2
f) lim x arc ctg x;
x→∞
1
i) lim−
− ctg x ;
x
x→0
l) lim (1 + x)ln x .
x→0+
Lista 11
11.1. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:
x3
a) f (x) = xe−x ;
b) f (x) = 2
;
c) f (x) = ln 1 + x2 ;
x + 12
2
1
1
;
e) f (x) = x − x3 − 4 ln |x|;
f) f (x) = sin x + sin 2x;
d) f (x) =
2
1−x
3
8
ln x
arc tg x
g) f (x) = e
;
h) f (x) = √ .
x
11.2. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:
√
x3
x
a) f (x) = (x − 1)2 (x + 2);
b) f (x) =
;
c) f (x) =
;
x−1
x−1
p
x
4
4
f) f (x) =
d) f (x) = 3 − − 2 ;
e) f (x) = x 1 − x2 ;
.
x x
ln x
11.3. Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’a dla podanych funkcji f , punktów x0 oraz n :
1
c) f (x) = sin 2x, x0 = π, n = 3;
a) f (x) = x3 , x0 = −1, n = 4;
b) f (x) = 2 , x0 = 1, n = 2;
x
1
f) f (x) = ln x, x0 = e, n = 4.
d) f (x) = e−x , x0 = 0, n = 5;
e) f (x) = , x0 = 2, n = 3;
x
11.4. Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange’a dla funkcji:
x
a) f (x) = sin ;
3
b) f (x) = ch x;
c) f (x) = cos x;
x
.
ex
d) f (x) =
11.5. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:
π
;
b) cos2 x ≈ 1 − x2 , |x| ¬ 0.1;
a) tg x ≈ x, |x| ¬
12
√
x2
x3
x x2
d) ln(1 − x) ≈ −x −
− , |x| < 0.1.
c) 1 + x ≈ 1 + − , |x| ¬ 0.25;
2
8
2
3
11.6. Stosując wzór Maclaurina obliczyć:
√
1
3
b) 0.997 z dokładnością 10−3 ;
a) z dokładnością 10−3 ;
e
c) ln 1.1 z dokładnością 10−4 ;
d) sin 0.1 z dokładnością 10−5 .
Lista 12
12.1. Obliczyć podane całki nieoznaczone:
Z √
Z
√
(1 − x) dx
1
3
2
√ ;
3 x + 3 − 2x x dx;
a)
b)
x
1− 3x
Z 3 √
Z
3
x + x2 − 1
cos 2x dx
√
;
e)
d)
dx;
cos x − sin x
x
c)
Z
x4 dx
;
x2 + 1
f)
Z
2x − 5x
dx.
10x
12.2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:
a)
Z
e)
Z
i)
Z
xe−3x dx;
2
x sin x dx;
e
2x
sin x dx;
b)
Z
x2 2x dx;
f)
Z
arccos x dx
√
;
x+1
j)
Z
sin x sin 3x dx;
c)
Z
g)
Z
k)
Z
12
√
x arc tg
√
x dx;
ln(x + 1) dx;
sin 3x cos x dx;
d)
Z
x dx
;
cos2 x
h)
Z
arccos x dx;
l)
Z
cos x cos 5x dx.
12.3. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone:
√
cos x
√
dx;
x
b)
Z √
f)
j)
a)
Z
e)
Z
dx
;
ch x
i)
Z
ln x
dx;
x
1 + 4x
dx;
x
c)
Z
(x+1) sin x2 +2x+2 dx;
Z
(5−3x)10 dx;
g)
Z
x2
Z
ex dx
;
e2x + 1
k)
Z
5 sin x dx
;
3−2 cos x
p
5
5x3 +1 dx;
d)
Z
cos x dx
√
;
1 + sin x
h)
Z
dx
√ ;
2+ x
l)
Z
2
x3 ex dx.
12.4. Obliczyć podane całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju:
Z
Z
Z
Z
dx
dx
8 dx
5 dx
a)
; b)
; d)
; c)
.
7
3
(x − 3)
x+5
(2 − 7x)
9x + 20
12.5. Obliczyć podane całki z ułamków prostych drugiego rodzaju:
Z
Z
Z
(6x + 3) dx
(4x + 2) dx
dx
;
b)
;
c)
;
a)
2
2
2
x + 4x + 29
x +x+4
x − 10x + 29
Z
Z
Z
dx
(x − 1) dx
5 dx
; e*)
d)
; f*)
.
2
2
2
2
9x + 6x + 2
(x − 4x + 5)
(x + 2)3
12.6. Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:
Z 2
Z
Z
x dx
dx
(x + 2) dx
;
;
b)
;
c)
a)
x(x − 2)
x+1
(x − 1)x2
Z
Z
Z
(4x + 1) dx
(3x − 1) dx
dx
e)
; f)
; g)
;
2x2 + x + 1
x2 − x + 1
x2 + 2x + 8
Z
Z
Z
x2 dx
x(x + 2) dx
(5 − 4x) dx
;
j)
;
k)
;
i)
x2 − 4x + 20
x2 + 2x + 5
x2 + 2x + 2
d)
Z
dx
;
(x2 + 1) (x2 + 4)
h)
Z
2 dx
;
x2 + 6x + 18
l)
Z
dx
.
x (x2 + 4)
Lista 13
13.1. Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:
Z
Z
Z
3
4
3
a) sin x dx;
b) sin x cos x dx;
c) cos4 x dx;
d)
Z
3
6
sin x cos x dx;
e)
13.2. Obliczyć podane całki z
Z
Z
dx
a)
;
b)
sin x + tg x
Z
Z
sin2 x dx
d)
;
e)
1 + cos x
Z
Z
dx
;
h)
g)
cos x
Z
2
cos x cos 2x dx;
f*)
Z
sin2 2x sin2 x dx.
funkcji trygonometrycznych:
Z
1 + tg x
dx
dx;
c)
;
cos x
1 + 2 cos2 x
Z
dx
sin5 x dx
;
f)
;
1 − tg x
cos3 x
Z
dx
dx
;
i)
.
sin x + cos x
3 sin x + 4 cos x + 5
13.3. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki:
a)
Z2
x 1+x
Z1
x−1
dx;
x+1
−1
d)
0
3
dx;
b)
Z2 √
1
x+ √
x
1
e)
Z9
0
dx;
c)
Z2 1
1
2
1
− 2+ 4
x3
x
x
1
dx
;
2
x +9
f)
Z2
− 12
13
dx
;
−1
x2
dx;
Z2π
g) (sin x + cos2 x) dx;
h)
Zπ
2
sin x cos x dx;
i)
0
π
Ze
x ln x dx.
1
13.4. Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
a)
d)
0
Z3
Z6
Ze
Zπ
1
sin xe
cos x
dx, cos x = t;
b)
1
1+
dx
√
, 3x − 2 = t2 ;
3x − 2
e)
x dx
√
, 1 + x = t;
x+1
c)
1
ln x dx, ln x = t;
1
2
g)
0
√
√
x 1 + x dx, 1 + x = t;
0
f)
1
Z3 p
9 − x2 dx, x = 3 sin t;
g)
Z1
Zln 3
Z4
0
ex dx
, ex = t;
1 + e2x
i)
0
dx
√
, x = t2 ;
x(1 − x)
Ze2 √
3
x − x3 dx
1
, x= .
x4
t
e
13.5. Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone:
a)
Z1
xe
2x
dx;
b)
−1
π
4
d)
Z
x sin 2x dx;
e)
Z1
√
e
ln x
dx;
x2
0
Ze
Zπ
Z1
arcsin x dx.
2 2x
x e
dx;
c)
x(1 + cos x) dx;
f)
0
0
0
13.6. Obliczyć całki oznaczone:
a)
Z2
(x − 1)sgn (ln x) dx;
b)
0
1
e
c)
Z2
−2
e)
Z2
−2
||x| − 1| dx;
Z3
d)
Z4
|x − 1| dx
;
|x − 2| + |x − 3|
f)
Z3
x ⌊x⌋ dx.
0
sgn x − x2 dx;

dla 0 ¬ x ¬ 1,
 1−x
dla 1 < x ¬ 2,
f (x) dx, gdzie f (x) = 1

(2−x)2 dla 2 < x ¬ 3;
1
Lista 14
14.1. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
a) y = 2x − x2 , x + y = 0;
d) 4y = x2 , y =
8
;
x2 + 4
g) y = πx2 , x = πy 2 ;
b) y = x2 , y =
1 2
x , y = 3x;
2
c) y =
1
, y = x, y = 4;
x2
e) y = x + sin x, y = x, (0 ¬ x ¬ 2π);
f) y = 2x , y = 2, x = 0;
h) yx4 = 1, y = 1, y = 16;
i) y 2 = −x, y = x − 6, y = −1, y = 4.
14.2. Obliczyć pola trapezów krzywoliniowych:
a)
y
b)
y
c)
y
y=−4x2 +4x+6
y=x
y=3
y=3x2 −6x+1
x
x
y=4x2 −8x
14
x
y=−3x2 +3x+7
d)
y
e)
y
f)
x=y
x=8−y 2
x=3
y
2
x=y 2 −2y
y=2−x
x=y 2
x
x
x
14.3. Obliczyć długości krzywych:
√
a) y = 2 x3 , gdzie 0 ¬ x ¬ 11;
c) y = ln
ex + 1
, gdzie 2 ¬ x ¬ 3;
ex − 1
b) y = ch x, gdzie 0 ¬ x ¬ 1;
d) y = 1 − ln cos x, gdzie 0 ¬ x ¬
π
.
4
14.4. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu figur T wokół wskazanych osi:
√
2
, Oy;
a) T : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2x − x2 , Ox;
b) T : 0 ¬ x ¬ 5, 0 ¬ y ¬ √
2
x +4
√
1
c) T : 0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬ x, Oy;
d) T : 1 ¬ x ¬ 3, 0 ¬ y ¬ , Oy;
x
4
π
e) T : 1 ¬ x ¬ 4,
¬ y ¬ 5−x, Ox;
f) T : 0 ¬ x ¬ , 0 ¬ y ¬ sin x+cos x, Ox.
x
2
14.5. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych osi:
√
x−1
a) f (x) =
, 1 ¬ x ¬ 10, Oy;
b) f (x) = 4 + x, −4 ¬ x ¬ 2, Ox;
9
p
c) f (x) = 4 − x2 , −1 ¬ x ¬ 1, Ox;
d) f (x) = |x − 1| + 1, 0 ¬ x ¬ 2, Oy;
e) f (x) =
√
x2
, 0 ¬ x ¬ 3, Oy;
2
f) f (x) = cos x, 0 ¬ x ¬
π
, Ox.
2
Lista 15
15.1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
a)
Z∞
dx
;
(x + 2)2
Z0
dx
;
x2 + 4
b)
1
d)
−∞
Z∞
x sin x dx;
c)
e)
dx
√
;
3
3x + 5
Z∞
dx
.
x2 −4x + 13
1
π
Z∞
Z∞
2 −x3
x e
dx;
−∞
f)
−∞
15.2. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞ √
x dx
√
;
a)
x + x2
b)
1
d)
Z0
−∞
x−1
;
3
x +x+1
e)
Z∞
5
x dx
√
;
x5 − 3
Z∞
x2 dx
;
x3 − sin x
1
c)
Z∞
sin2
1
dx;
x
1
f*)
Z−1
−∞
e2x + 1 dx
.
ex − 1
15.3. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego
rodzaju:
15
a)
Z∞
10
d)
Z∞
0
Z∞
(x − 1) dx
;
x4 + x + 1
dx
√
;
x−3
b)
x dx
√
;
3
x7 + 1
Z∞ √
2 + cos x dx
√
e)
;
x−1
2
2
c)
Z∞
(1 + sin x) dx
;
x3
π
f*)
Z0
−∞
16
2x dx
.
x−1