otwórz

Wzory Cardano na lekcjach matematyki
Rafał Świetlicki
Rozwiązując pewne zadanie z zakresu wyrażeń algebraicznych można, w dosyć prosty sposób,
wyprowadzić wzór na pierwiastek rzeczywisty równania wielomianowego trzeciego stopnia (oczywiście
o współczynnikach rzeczywistych) w przypadku, gdy równanie to ma dokładnie jeden pierwiastek
rzeczywisty albo dwa pierwiastki rzeczywiste, w tym jeden podwójny.
Oto jeden z przykładów tego zadania.
Zadanie. 1. Wykaż równość:
3
20 + 392 + 3 20 − 392 = 4 .
Zanim rozwiążemy to zadanie, zajmijmy się równaniami wielomianowymi stopnia trzeciego, tj.:
x 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1)
gdzie b, c, d - dowolne liczby rzeczywiste.
W przypadku równania wielomianowego trzeciego stopnia, wzory Cardano wyprowadza się po
wyeliminowaniu z tego równania niewiadomej w drugiej potędze, czyli dla równań postaci:
y 3 + py + q = 0 (2 )
Okazuje się, że każde równanie postaci (1) można sprowadzić do postaci (2).
Zadanie. 2. Wykaż, że poprzez podstawienie x = y −
b
równanie postaci (1) można sprowadzić do
3
postaci (2).
Dowód:
3
2
b
b
b



x + bx + cx + d =  y −  + b y −  + c y −  + d =
3
3
3



yb 2 b 3
2b 2 y b 3
bc
= y 3 − by 2 +
−
+ by 2 −
+
+ cy − + d =
3
27
3
9
3
2
3

b 
2b
bc
= y 3 + y c −  + d +
− .
3 
27
3

3
2
Wszelkie dalsze rozważania odnośnie pierwiastków równania będą odbywały się wyłącznie w dziedzinie
rzeczywistej.
Załóżmy teraz, że t, w są dowolnymi, niezerowymi liczbami rzeczywistymi, których suma jest równa s,
zaś iloczyn jest równy r. Niech y 0 = 3 t + 3 w . Wówczas:
( y 0 )3 = (3 t + 3
w
)
3
= t + 33 t 2 w + 33 tw 2 + w = 33 tr + 33 wr + t + w = 33 r
(
3
)
t +3 w +t +w =
= 33 r y 0 + s
Jeżeli zatem w równaniu (2) p, q są takimi liczbami, że p = −33 r , q = − s , to liczba y 0 jest
pierwiastkiem tego równania.
Żeby więc rozwiązać równanie (2), należy wyznaczyć liczby t, w takie, że
p3
. Uwzględniając wzory Viete'a łatwo zauważyć, że liczby t, w będą
27
pierwiastkami równania kwadratowego
p3
z 2 + qz −
= 0 (3)
27
t + w = s = − q, t ⋅ w = r = −
pod warunkiem, że równanie to będzie miało rozwiązania, czyli gdy:
4 3
∆ = q2 +
p ≥ 0 (4 )
27
Reasumując, jeżeli spełniony jest warunek (4), to jednym z rozwiązań równania (2) jest liczba
y 0 = 3 t + 3 w , gdzie liczby t, w są pierwiastkami równania (3).
Rozpatrzmy przykładowo następujące równanie postaci (2): y 3 − 33 10 y − 7 = 0 , w którym
p = −33 10 , q = −7 . Odpowiadające mu równanie (3) będzie postaci z 2 − 7 z + 10 = 0 . Rozwiązaniem
tego równania są liczby 2 oraz 5. Zatem pierwiastkiem równania y 3 − 33 10 y − 7 = 0 na pewno będzie
liczba y 0 = 3 2 + 3 5 .
Rozwiążmy wreszcie zadanie 1. Przyjmijmy y 0 = 3 20 + 392 + 3 20 − 392 . Wtedy
t = 20 + 392 , w = 20 − 392 , s = 40, r = 8, p = −6, q = −40 . Zatem liczba y 0 jest pierwiastkiem
równania y 3 − 6 y − 40 = 0 . Jak łatwo sprawdzić, pierwiastkiem tego równania, i w dodatku jedynym
rzeczywistym, jest liczba 4. Stąd wynika równość będąca przedmiotem zadania 1.
Przyjrzyjmy się teraz bliżej wielomianowi w( y ) = y 3 + py + q pod kątem przebiegu zmienności, a więc
również jego pochodnej w' ( y ) = 3 y 2 + p .
Jeżeli p > 0 , to ∀y ∈ R, w' ( y ) > 0 oraz ∆ > 0 . Zatem w tym przypadku równanie (2) ma dokładnie jeden
pierwiastek postaci y 0 .
Przypadek p = 0 wyeliminowaliśmy założeniem (jest on oczywisty).
−p
, w których
3
2
−p
2
−p
wielomian w( y ) osiąga ekstrema lokalne równe: w( y1 ) = q − p
, w( y 2 ) = q + p
. Zaś
3
3
3
3
iloczyn tych wartości, którego znak decyduje o ilości miejsc zerowych wielomianu w( y ) , jest równy:
Jeżeli p < 0 , to funkcja w' ( y ) ma dwa różne miejsca zerowe y1 = −
−p
,
3
y2 =

− p 
−p
2
2
4 3
 q + p
 = q2 +
w( y1 ) ⋅ w( y 2 ) =  q − p
p = ∆.



3
3 
3
3 
27

Jeżeli iloczyn ten jest liczbą dodatnią, czyli jeżeli ∆ > 0 , to równanie (2) ma dokładnie jeden pierwiastek
postaci y 0 .
Jeżeli iloczyn ten jest równy 0, czyli jeżeli ∆ = 0 , to jednym z pierwiastków wielomianu w( y ) jest
q
miejsce zerowe jego pochodnej. Wtedy równanie (3) ma jedno rozwiązanie t = w = − . Zatem
2
q
y 0 = 3 t + 3 w = 23 − = −3 4q . Rozkładając wielomian w( y ) na czynniki dostaniemy:
2
(
)
2
1


w( y ) = y + 4q  y − 3 4q  .
2


3
Czyli w tym przypadku równanie (2) ma dwa rozwiązania:
y ' = −3 4q - pierwiastek pojedynczy;
1
1
y ' ' = 3 4q = − y ' - pierwiastek podwójny.
2
2
Zadanie 3. Rozwiąż równanie y 3 − 3 y + 2 = 0 .
Równanie to można w bardzo prosty sposób rozwiązać wykorzystując twierdzenie o całkowitych
pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych oraz twierdzenie Bezout. Dostajemy dwa
rozwiązania: -2 oraz 1.
4
Z drugiej strony, skoro p = −3 < 0, ∆ = 2 2 +
(− 3)3 = 0 , to można zastosować powyższe wzory
27
1
i otrzymać również y ' = −3 4q = −3 4 ⋅ 2 = −2 , y ' ' = − y ' = 1 .
2
2 3
= 0.
9
Tutaj sprawa nie jest tak oczywista, jak w zadaniu 3. Ale skoro
Zadanie 4. Rozwiąż równanie y 3 − y +
2
2 3
4
4
4
3
 +
p = −1 < 0, ∆ = 
(
−
1
)
=
−
= 0 , to można jak najbardziej ponownie zastosować

9
27
27
27


powyższe wzory i otrzymać rozwiązania: y ' = −3 4q = −3 4 ⋅
y' ' = −
2 3
2
2 3
=− 3 3 3 =−
,
9
3
3
1
3
y' =
.
2
3
A jeżeli ∆ < 0 ? Wówczas równanie (2) ma trzy różne pierwiastki, na które wzory wykorzystują w swojej
postaci liczby zespolone.