pobierz

Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej
Wykład 0
ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE’A
0.1. Logika – podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły
wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy je
aksjomatami), definicji i twierdzeń, które wynikają z innych, już
otrzymywanych przy użyciu wnioskowania logicznego. Logika leży zatem u
podstaw matematyki.
0A1 (Definicja: zdania). Przez zdanie (w sensie logicznym) rozumiemy
wyłącznie zdanie orzekające, które jest prawdziwe albo fałszywe. O zdaniu
prawdziwym mówimy, że ma ono wartość logiczną 1, natomiast o zdaniu
fałszywym mówimy, że ma ono wartość logiczną 0.
0A2 (Przykłady). Zdanie
„  jest liczbą niewymierną”
jest prawdziwe to jest ma wartość logiczną 1;
natomiast zdanie
„  jest liczbą naturalną”
jest fałszywe, czyli ma wartość logiczną 0.
Zdanie gramatyczne (pytania): „Jaka jest liczba  ?” nie będziemy uważali za
zdanie w sensie logicznym . Ono nie jest prawdziwe ani fałszywe.
0A+B3 (Ćwiczenie). Zbadać, czy następujące wypowiedzi są zdaniami:
1) „1000 jest dużą liczbą”,
2) „ile pierwiastków stopnia n ma liczba zespolona 1?”,
3) „ x  2 ”,
4) „ x  5  12 ”,
5) „nieprawda, że  jest liczbą naturalną”.
Zdania będziemy oznaczali małymi literami alfabetu. Jeżeli zdanie p jest
prawdziwe, to piszemy p  1 ; jeżeli zdanie q jest fałszywe, to piszemy q  0 .
0A+B4 (Funktory). Niech p i q będą dwoma zdaniami. Z tych zdań można
utworzyć zdanie złożone, korzystając ze spójników, zwanych w logice
funktorami.
Funktory te przedstawiamy w tabeli:
Zdania złożone
Funktor
Symbol
Nazwa
~ czyli
┐, -
Negacja
(zaprzeczenie)

Koniunkcja
(iloczyn logiczny)

Alternatywa
(suma logiczna)
Czytamy Symbol
Nazwa
~p
negacja
zdania p
i
pq
Koniunkcja
zdań p i q
lub
pq
alternatywa
zdań p i q
nie
Czytamy
nie p
0 (nieprawda,
1 że p)
0 0
0 1
piq
1 0
1 1
0 0
0 1
p lub q
1 0
1 1
Implikacja
(wynikanie)
jeżeli...,
to...
implikacja o
poprzedniku
pi
pq
następniku
q

Równoważność
...wtedy
i tylko
wtedy,
gdy
pq
równoważność zdań p
iq
p wtedy i
tylko
wtedy, gdy
q

Nierównoważność
(alternatywa
wykluczająca)
p q
Nierównoważność
zdań p i q
p albo q

albo
Wartość
logiczna
zdanie
p q
złożone
jeżeli p, to
q
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0A+B5 (Uwaga: przykłady do „hamowania”).
5.1. Jeśli p jest zdaniem prawdziwym, to ~p jest zdaniem fałszywym i na
odwrót. Na przykład zaprzeczeniem zdania „każda liczba naturalna jest liczbą
parzystą” nie jest zdanie „każda liczba naturalna jest liczbą nieparzystą” dlatego,
że oba zdania są fałszywe. Zaprzeczeniem będzie zdanie „nieprawda, że każda
liczba naturalna jest liczbą parzystą” lub „istnieje liczba naturalna, która jest
liczbą nieparzystą”.
5.2. Implikacja jest prawie zawsze prawdziwa, w szczególności jest
prawdziwa, jeśli następnik implikacji jest prawdziwy. Zdanie „Jeżeli 2 jest
liczbą nieparzystą, to 2 jest liczbą parzystą” jest prawdziwe z definicji ( w sensie
logicznym).
5.3. Jeżeli p  q jest zdaniem prawdziwym, to zdanie p  q jest także
prawdziwe, ale nie na odwrót. Na przykład zdanie „ sin


2
 1 lub cos 0  1 ” jest
 1 albo cos 0  1 ” jest fałszywe.
2
0B+C6 (Ćwiczenie). Podać interpretację geometryczną i fizyczną funktorów.
Wskazówka: zdania p i q będziemy interpretowali jako przekaźniki w układzie
elektrycznym: zamknięty odpowiada zdaniu prawdziwemu, natomiast otwarty
odpowiada zdaniu fałszywemu.
prawdziwe, ale zdanie „ sin
0B7 (Reguły wnioskowania). Każda reguła wnioskowania, czyli reguła
otrzymania wniosków z przesłanek musi być taka, żeby od zdania prawdziwego
prowadziła zawsze do zdania prawdziwego, np.:
7.1. Reguła dołączania koniunkcji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i
uznajemy za prawdziwe zdanie q, to należy uznać za prawdziwe zdanie p  q.
7.2. Reguła opuszczania koniunkcji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie
p  q, to należy uznać za prawdziwe zdanie p i należy uznać za prawdziwe
zdanie q.
7.3. Reguła dołączania alternatywy. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p,
to należy uznać za prawdziwe zdanie p  q, gdzie q jest dowolnym zdaniem.
7.4. Reguła opuszczania alternatywy. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie ~p
i uznajemy za prawdziwe zdanie p  q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q.
7.5. Reguła odrywania. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i uznajemy za
prawdziwe zdanie p  q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q.
7.6. Reguła przechodniości implikacji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie
p  q i zdanie q  r, to należy uznać za prawdziwe zdanie p  r.
0A+B8 (Schematy zdań). Mając do dyspozycji funktory logiczne możemy
tworzyć zdania składające się z wielu zdań podrzędnych. Abstrakcyjne wersje
takich zdań złożonych, zbudowane z funktorów logicznych i zmiennych
zdaniowych nazywamy schematami zdaniowymi lub wyrażeniami (formułami)
rachunku zdań.
Zwracamy uwagę, że zmienne zdaniowe nie mają jednak ustalonej wartości
logicznej. Oznaczamy je podobnie jak zdania, na przykład p, q, r itd.
Zdania i funktory są elementami rachunku zdań. Funktory odgrywają w tym
rachunku rolę działań, zdania są obiektami, do których się te działania odnoszą.
0A9 (Przykłady). Schematy ~p, p  q, p  q  p  q są to wszystkie wyrażenia
rachunku zdań, natomiast p~q nie jest wyrażeniem rachunku zdań, ponieważ
negacja jest funktorem jednoargumentowym (odnoszącym się do jednego tylko
zdania). Każde wyrażenie rachunku zdań jest funkcją zdaniową zmiennych
zdaniowych, która każdemu układowi wartości logicznych tych zmiennych
przyporządkowuje wartość logiczną całego zdania.
0A10 (Definicja: tautologia). Prawo rachunku zdań lub tautologia jest to takie
wyrażenie tego rachunku, które niezależnie od wartości logicznych
podstawianych zdań zawsze dają zdanie złożone prawdziwe.
0A+B11 (Przykłady: niektóre tautologii).
Nazwa tautologii
Prawo wyłączonego środka
Prawo podwójnego zaprzeczenia
Zapis
(~p)  p
~(~p)  p
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Prawo rozdzielności
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Prawa
zaprzealternatywy
[~(p  q)]  [(~p)  (~q)]
de Morgana
czenie
koniunkcji
[~(p  q)]  [(~p)  (~q)]
~(p  q)  [p  (~q)]  ~(~p  q) 
Prawo zaprzeczania implikacji
~(~p)  (~q)
Prawo sprzeczności
~[p  (~p)]
Uwaga. Gdy brak jest nawiasów, operacje wykonujemy w następującej
kolejności:
~,  ,  ,  ,  (prz.: p  q  ~p  q).
0A+C12 (Uwaga-ćwiczenie). Do sprawdzania tautologii może służyć metoda
zero-jedynkowa, która polega na rozważeniu wszystkich układów wartości
logicznych zmiennych zdaniowych, które występują w badanym wyrażeniu.
Zrobić to dla 4A+B11.
0A13 (Definicja). Funkcja (forma) zdaniowa (jednej lub większej liczby
zmiennych) jest to wyrażenie zawierające zmienną, które staje się zdaniem, gdy
za zmienną podstawiamy element, należący do dziedziny (zakresu) funkcji
zdaniowej.
0A14 (Przykład). Wyrażenie “x jest większy od 2” (4A+B3) jest funkcją
zdaniowa; jej dziedzina jest zbiorem liczb rzeczywistych. Dla pewnych liczb x
otrzymane zdanie będzie prawdziwe, dla innych fałszywe, ale zawsze będzie
miało wartość logiczną.
0A15 (Kwantyfikatory). Kwantyfikator ogólny, oznaczamy przez  i czytamy
“dla każdego”, oznacza, że w funkcji zdaniowej podstawiamy wszystkie
dopuszczalne wartości zmiennej. Kwantyfikator szczegółowy, oznaczamy przez
 i czytamy “istnieje”, oznacza, że wybieramy z zakresu zmiennej tylko jeden
element.
Niech
A( x) będzie formą zdaniową z dziedziną X . Wtedy zdanie
x  X : A( x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ustalonego
x  X zdanie A( x) jest prawdziwe. Zdanie x  X : A( x) jest prawdziwe wtedy
i tylko wtedy, gdy istnieje element x  X , dla którego utworzone zdanie A( x)
jest prawdziwe.
0A16 (Przykłady). Zdanie x  : A( x) , gdzie A( x) oznacza “ x  5  12 ”, jest
fałszywe,
ale
zdanie
jest
prawdziwe
(mamy:
x  : A( x)
x  : A( x)  " x  7" ).
0A17 (Prawo de Morgana dla kwantyfikatorów). Mamy:
17.1) (x : A( x))  (x : (~ A( x))) ;
17.2) (x : A( x))  (x : (~ A( x))) .
0A18 (Reguły rozdzielania dla zdań z kwantyfikatorami).
18.1) x : P( x)  Q( x)  (x : P( x))  (x : Q( x)) ;
18.2) x : P( x)  Q( x)  (x : P( x))  (x : Q( x)) .
0B19 (Ćwiczenie). Sprawdzić, że zdanie x : P( x)  Q( x) może nie być
równoważne zdaniu (x : P( x))  (x : Q( x)) .
0A20 (Uwaga). Zamiast  czasami pisze się  , natomiast zamiast  pisze się
.
0A+B21 (Definicja: algebra Boole’a). Struktura algebraiczna ( B, , ,';0,1) o
dwóch działaniach dwuargumentowych, nazywanych odpowiednio dodawaniem
“  ” i mnożeniem “  ” oraz jednym działaniu jednoargumentowym “ ' ”
(uzupełnianie) i o wyróżnionych elementach 0 i 1 nazywamy algebrą Boole’a
jeśli spełnione są następujące warunki:
1) oba działania  i  są przemienne i łączne:
a, b, c  B, a  b  b  a, a  b  b  a;
def
def
(a  b)  c  a  (b  c)  a  b  c, (a  b)  c  a  (b  c)  a  b  c;
2) mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odwrotnie:
a  (b  c)  (a  b)  (a  c), a  (b  c)  (a  b)  (a  c) ;
3) wyróżnione elementy 0 (zero) i 1 (jedynka) spełniają warunki:
a  B, a  0  a, a 1  a;
4) uzupełnianie “ ' “ spełnia warunki: a  a '  1, a  a '  0.
0A22 (Przykład: dwuelementowa algebra Boole’a). Algebra ta jest złożona z
zera “0” i jedynki “1” (to jest B={0,1}) i ma następujące tabelki działań:
1
 0
0 0
1
1 1
1

0
1
0
0
0
1
0
1
Ponad to: 1 ' =0, 0 ' =1.
0A23 (Przykład). Rachunek zdań, zwany tez algebrą zdań, jest klasycznym
przykładem dwuelementowej algebry Boole’a. Tutaj 0 jest modułem
(elementem neutralnym) dodawania, 1 jest modułem (elementem neutralnym)
mnożenia, suma każdego elementu i jego negacji jest modułem mnożenia,
iloczyn każdego elementu i jego negacji jest modułem dodawania.
0A+B24 (Optymalizacja (minimalizacja) form rachunku zdań). Forma rachunku
zdań jest minimalna, jeżeli jest ona złożona z najmniejszego zbioru działań.
Przykład: [(p  ~q)  (q  ~p)]  p  q.
0A+B25 (Interpretacja fizyczna działań dwuelementowej algebry Boole’a).
Ciekawym przykładem algebry Boole’a jest algebra sieci elektrycznych (algebra
rachunku zdań), budowanych z dwubiegunowych elementów (dwójników)
poprzez szeregowe i równolegle ich łączenie. Przypuśćmy, ze każdy z
elementów sieci znajduje się w jednym z dwóch wykluczających sie stanów:
przewodzi prąd (1) albo nie przewodzi (0) prądu.
Ćwiczenie (B). Zrobić interpretację fizyczną działań 1)-4) w 4A+B21.
x
y
x
x
=
0
x
1
x
=
x
x
x
y
z
=
y
z
0B26 (Przykład algebry Boole’a). Niech X będzie dowolnym zbiorem. Zbiór
wszystkich podzbiorów tego zbioru oznaczamy przez 2 X . Wtedy zespół
( 2 X , , , C; , X ) jest algebrą Boole’a. Dodawaniem tutaj jest wzięcie sumy
zbiorów, mnożeniem – wzięcie części wspólnej, rolę zera pełni zbiór pusty, a
jedynki – cały zbiór X, uzupełnianiem jest wzięcie dopełniania do pełnego
zbioru X.