2x + 1 - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

Zadania na ćwiczenia do wykładu z funkcji odwrotnej
Z. 1. Dane są funkcje f i g określone wzorami f (x) = x3 oraz g(x) = 2x + 1. Wykonać złożenia f ◦ g, g ◦ f ,
f ◦ f i g ◦ g.
√
Z. 2. Dane są funkcje określone wzorami f (x) = x2 + 4 i g(x) = 2x + 1. Dokonując ewentualnego zawężenia
dziedzin, wyznaczyć złożenia: f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g.
Z. 3. Dane są funkcje f , g i h określone wzorami f (x) = 2x , g(x) = sin x oraz h(x) = |x|. Dokonać
następujących złożeń: f ◦ g ◦ h, g ◦ f ◦ h, h ◦ g ◦ f , f ◦ h ◦ g, g ◦ f ◦ g, h ◦ g ◦ h, g ◦ g ◦ g ◦ g.
√
Z. 4. Podać funkcje elementarne, z których powstały następujące złożenia: p(x) = sin2 x, q(x) = 3 3x + 1,
r(x) = ln12x oraz s(x) = √ex1 +3 .
Z. 5. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f określonej wzorem:
(1) f (x) =
2x + 3
, x 6= 2,
x−2
(3) f (x) = 3x+1 + 1,
(4) f (x) = x2 + x, dla x < − 21 ,
(5) f (x) = x2 + x, dla x > − 21 .
1
(2) f (x) = log2 (3x + 1), x > − ,
3
Z. 6. Obliczyć:
√ (4) arc tg − 3 ,
(5) sin(arc sin 12 ),
(6) arc tg (tg π4 ).
√
(1) arc sin 22 ,
√
(2) arc ctg 33 , √
(3) arc cos − 23 ,
Z. 7. Wyrazić bez użycia funkcji trygonometrycznych:
(1) cos(arc cos x),
(2) sin(arc cos x),
(3) cos2 (arc tg x).
Z. 8. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f określonej wzorem:
π π
(1) f (x) = tg 2x, x ∈ − ,
,
4 4
x
(2) f (x) = cos , x ∈ (0, 2π).
2
Zadania do domu
1
1−x .
Wyznaczyć f ◦ f oraz f ◦ f ◦ f .
√
Z. 10. Dane są funkcje f i g określone przy pomocy warunków f (x) = x2 oraz g(x) = 1 − 2x. Wyznaczyć,
o ile istnieją, następujące funkcje złożone: f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g, f ◦ f ◦ f .
√
Z. 11. Dane są funkcje f , g i h określone wzorami f (x) = log3 x, g(x) = x2 −1 oraz h(x) = x. Dostosowując
ewentualnie dziedziny, wykonać wszelkie możliwe złożenia wszystkich funkcji f , g i h. Dokonać ponadto
następujących złożeń: g ◦ f ◦ g, h ◦ h ◦ h, f ◦ f ◦ f .
√
Z. 12. Dane są funkcje f , g i h określone wzorami f (x) = 3 x, g(x) = 4x oraz h(x) = x3 + 1.
Dokonać następujących złożeń: f ◦ g ◦ h, g ◦ h ◦ f . Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f ◦ h.
Z. 9. Dana jest funkcja f określona warunkiem f (x) =
Z. 13. Z jakich funkcji elementarnych złożone są funkcje określone wzorami:
p
(1) f (x) = log(x + 1),
(2) f (x) = cos3 3x,
1
(3) f (x) = √
,
x2 + 1
2
(4) f (x) = 5(3x+1) ?
Z. 14. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f określonej wzorem:.
2
f −1 (x) = −x+2
3
√
f −1 (x) = 5 x
f −1 (x) = x2 − 2
f −1 (x) = 4x+2
3x+1
−1
f (x) = log2 x − 1
p
f −1 (x) = 3 log2 x − 1
√
f −1 (x) = √5x − 5
f −1 (x) = − 5x − 5
x
f −1 (x) = log3 1−x
f −1 (x) = 21 · 3log4 x − 2
f −1 (x) = 31 arc sin x
q
f −1 (x) = 3 12 arc cos x
f (x) = −3x + 2,
f (x) = x5 ,
2
f (x) = x+2
,
x−2
f (x) = 3x+4 ,
f (x) = 2x+1 ,
3
f (x) = 2x +1 ,
f (x) = log5 (x2 + 5), dla x > 0,
f (x) = log5 (x2 + 5), dla x < 0
x
f (x) = 3x3+1 ,
f (x) = 4log3 (2x+4) , dla x > −2,
f (x) = sin 3x, dla x ∈ h− π6 , π6 i,
(12) f (x) = cos3 2x, dla x ∈ 0, π2 .
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Z. 15. Obliczyć:
(1) arc cos 12 ,
(2) arc tg 1, (3) arc sin − 21 ,
(4) arc ctg (−1),
√ √
√
(5) − arc cos 21 + arc tg − 33 + arc tg 3 − 4 arc sin 22 ,
√ (6) 3 arc cos − 23 + arc ctg tg π4 − arc sin sin π2 .
π
3
π
4
− π6
− π4
− 67 π
9
4π
Z. 16. Wyrazić bez użycia funkcji trygonometrycznych:
(1) cos(arc sin x),
(2) tg (arc sin x),
(3) ctg (arc cos x),
√
1 − x2
√ x
1−x2
√ x
1−x2
(4) cos(arc tg x),
(5) sin(arc ctg x),
(6) ctg (arc tg x).
√ 1
1+x2
√ 1
1+x2
1
x