Całki krzywoliniowe

Budownictwo, semestr II
Matematyka
rok ak. 2008/2009
Lista IX.
Całki krzywoliniowe
Całka krzywoliniowa nieskierowana
Obliczyć całki:
ˆ
√
9.1.
dl
, gdzie L jest odcinkiem łączącym punkty A(0, 0) i B(1, 2).
x2 + y 2 + 4
L
ˆ
xzdl, jeśli L jest łukiem linii śrubowej x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, z = bt, 0 ¬ t ¬ 2π.
9.2.
L
ˆ
dl
,
x−y
9.3.
1
L : y = x − 2, 0 ¬ x ¬ 4.
2
L
ˆ
9.4.
ydl,
L jest łukiem paraboli y 2 = 4x, odciętym parabolą x2 = 4y.
L
ˆ q
x2 + y 2 dl,
9.5.
L : x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t, 0 ¬ t ¬ 2π.
L
ˆ
(x2 + y 2 )dl,
9.6.
L : x = r cos t, y = r sin t, 0 ¬ t ¬ 2π.
L
ˆ
(x + y)dl,
9.7.
L : jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach: O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1).
L
ˆ
(x2 + y 2 )dl,
9.8.
L : x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t − t cos t), 0 ¬ t ¬ 2π.
L
ˆ q
2
2
9.9.
2z − x + y dl,
L
L : x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 ¬ t ¬ 2π.
ˆ
(x2 + y 2 + z 2 )dl,
9.10.
L : x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 ¬ t ¬ 2π.
L
Obliczyć długość:
9.11. łuku krzywej x = 2 −
t4
,y
4
=
t6
6
między jej punktami przecięcia z osiami układu.
9.12. kardioidy x(t) = 2a cos t − a cos 2t, y(t) = 2a sin t − a sin 2t.
9.13. łuku linii śrubowej:
x(t) = 4 cos t, y(t) = 4 sin t, z(t) = 3t, 0 ¬ t ¬ 2π.
9.14. łuku cykloidy: x(t) = a(t − sin t), y(t) = a(1 − cos t), 0 ¬ t ¬ π.
17
Budownictwo, semestr II
Matematyka
rok ak. 2008/2009
Całka krzywoliniowa skierowana
Obliczyć całki:
ˆ
2xydx + x2 dy, jeżeli AB jest:
9.15.
AB
(a) odcinkiem, (b) łukiem paraboli y = x2 łączącym punkt A(0, 0) z punktem B(1, 1).
ˆ
(2a − y)dx + xdy, jeżeli AB jest łukiem cykloidy x(t) = a(t − sin t), y(t) = a(1 − cos t),
9.16.
AB
t ∈ h0; 2πi, skierowanym ujemnie.
‰
9.17.
x2 dx + y 2 dy, jeżeli L jest okręgiem o równaniu x2 + y 2 = 1, skierowanym dodatnio
L
względem swego wnętrza.
‰
9.18.
ydx − xdy, jeżeli L jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1) i
L
D(1, 0), skierowanym dodatnio względem swego wnętrza.
ˆ
π
9.19. (−x + y)dx + xdy, L : x = r cos t, y = r sin t, 0 ¬ t ¬ .
2
L
ˆ
9.20. (x2 + 2xy)dx + (y 2 − 2xy)dy, gdy
L
(a) L : odcinek AC,
ˆ
x2 dy − 2ydx
9.21.
(b) L : brzeg trójkąta ABC, gdzie A(0, 0), B(1, 0), C(2, 2).
L
(a) L : górny półokrąg, (b) L : odcinek łączący punkty A(0, 0), B(2, 0).
ˆ
9.22.
ydx−2zdy+3xdz, L : łamaną o początku O(0, 0, 0), końcu C(1, 1, 1) i o wierzchołkach
L
A(1, 0, 0), oraz B(1, 1, 0).
ˆ
9.23. (y 2 − z 2 )dx + 2yzdy − x2 dz, L : x = t, y = t2 , z = t3 , 0 ¬ t ¬ 1.
L
ˆ
ydx − xdy + zdz, L : x = r cos t, y = r sin t, z = kt, 0 ¬ t ¬ 2π.
9.24.
L
ˆ
xdx + ydy + zdz po okręgu L : x(t) = 2 cos t, y(t) = 2 sin t, z(t) = 3, t ∈ h0; 2πi,
9.25.
L
zgodnym z jego kierunkiem.
18
Budownictwo, semestr II
Matematyka
rok ak. 2008/2009
Korzystając z wzoru Greena obliczyć całki:
‰
9.26. (x + y)2 dx − (x2 + y 2 )dy, jeżeli L jest konturem trójkąta o wierzchołkach A(1, 1),
L
B(3, 2), C(2, 5) zorientowanym dodatnio.

9.27. (x + y)dx − (x − y)dy, jeżeli L jest krzywą zamkniętą będącą konturem figury ograniL
czonej liniamii: y = x2 − 1 oraz x + y = 1 zorientowanym ujemnie.
‰
2(x2 + y 2 )dx + (x + y)2 dy, gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(1, 1),
9.28.
L
B(2, 2), C(1, 3).
‰
9.29.
xy 2 dy − x2 ydx, gdzie L jest okręgiem o równaniu x2 + y 2 = R2 .
L
‰
y(1 − x2 )dx + x(y 2 + 1)dy, gdzie L jest brzegiem prostokąta: 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 1.
9.30.
L
‰
(xy + x + y)dx − (xy + x − y)dy, gdzie L jest okręgiem o równaniu x2 + y 2 − 2x = 0.
9.31.
L
‰
(3x − 2y)dx + (8x − 5y)dy, gdzie L jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach O(0, 0),
9.32.
L
A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1).
Sformułować i sprawdzić twierdzenie Greena dla podanych całek:
‰ 3
x
x2
9.33.
dy
−
dx, jeżeli L jest dodatnio skierowaną krzywą zamkniętą będącą konturem
y2
y
L
figury ograniczonej prostymi x = 2, y = x i hiperbolą xy = 1.
 1 2
y + x − y dx − (xy + x + y) dy, jeżeli L jest ujemnie skierowanym okręgiem
9.34.
2
L
x2 + y 2 = 4x.
19