ZESTAW I

ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie
1. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli:
3
4
2. Oblicz wartość wyrażenia:
a) tg 13˚ ∙ ctg 77˚=
b) sin 30˚ (cos2 45˚ – 1) =
c) 2sin2 45˚ – 1 =
d) [(1 – sin 30˚ )-1 ]-2 =
e) sin2 71˚ + cos2 19˚ =
a) sin α 
b) cos α 
2
4
c) tgα 
5
3
f) tg 45˚ ∙ tg 60˚ =
g) sin 30˚∙cos 30˚– tg 45˚∙ tg 60˚ + cos 45˚∙sin 45˚ =
h)
tg 2 60  sin 30 cos 60

1  4 cos 45
3. Sprawdź czy tożsamość jest prawdziwa
a) 1  ctg 2 x 
f) (sin x  cos x)2  1  2 sin x cos x
1
sin 2 x
 sin 2 x 
cos 2 x



1  sin 2 x  1  cos 2 x 
c) tgx  tg (90  x)  1
sin 3 x  sin x cos 2 x
 tgx
cos 3 x  cos x sin 2 x
h) sin 2 x  cos 2 x  2 sin 2 x  1
1  sin x 1  sin x
i)

 ctgx
sin x
cos x
1
j) cos x  tgx 
sin x
g)
1
b)
d) 1  (cos 2 x  sin 2 x)  2 sin x cos x
e) ctgx 
sin x
1

2
1  cos x sin x
4. Znajdź x, który spełnia równanie 2 sin 2 x  3 .
5. Oblicz pole i obwód trójkąta poniżej
a)
b)
6. Kolejka górska wznosi się pod kątem 40˚ do poziomu, pokonując trasę
940 m. na jakiej wysokości znajduje się stacja kolejowa tej kolejki, jeżeli jej
stacja początkowa leży na wysokości 1200 m.
7. Jak wysoko będzie uniesiona przednia część podłogi skrzyni
w wywrotce, jeżeli skrzynia wywrotki ma długość 4 m i w chwili
rozładunku podłoga skrzyni odchyla się o kat 36˚?
8. Na jakiej wysokości ściany znajduje się górny koniec drabiny długości 7
m, jeżeli dolny koniec oddalony jest od tej ściany o 4 m? Pod jakim kątem do
ściany jest nachylona ta drabina?
9. Dolną stację wyciągu narciarskiego widać ze stacji górnej pod kątem 30°. Wiedząc, że trasa przejazdu
wzdłuż wyciągu ma 450 metrów, oblicz różnicę wzniesień między stacjami.
10. Droga wznosi się równomiernie pod kątem 15°. O ile metrów wyżej będzie turysta po przebyciu 2 km?
Jak długą drogę musi przebyć, aby wznieść się o 200 m?
11. Oblicz wysokość drzewa, jeżeli cień tego drzewa ma długość 30 m w tym czasie, gdy promienie Słońca
padają na ziemie pod kątem 32˚.
1
12. Marek widzi czubek drzewa odległego o d = 60 m pod kątem. Oczy marka znajdują się 1,6 m nad
ziemią. Oblicz wysokość drzewa z dokładnością do 0,1m.
13. Rabata kwiatowa ma kształt rombu o kącie ostrym 45°. Do jej ogrodzenia zużyto 24 m siatki. Jaką
powierzchnię ma ta rabata?
14. Wiedząc, że:
32
, oblicz sin 69˚ i sin 21˚
4
a) cos 21 
b) sin 54 
1 5
, oblicz cos 36˚ i cos 54˚
4
15. Oblicz miarę kąta wpisanego w okrąg o promieniu 4 3 cm i opartego na cięciwie o długości 12 cm.
16. Oblicz pole prostokąta, którego przekątna ma długość 12 cm i jest nachylona do krótszego boku pod
kątem o mierze 60˚.
17. Oblicz pole równoległoboku, którego boki mają długości 3 cm i 6 cm, a kąt ostry ma miarę ok. 42˚.
18. Oblicz długość cięciwy, na której oparty jest zaznaczony na rysunku kąt
a)
b)
c)
4
60o
y
19. Zgodnie z Rys.1 długości boków x i y wynoszą:
a) y =8 , x = 4 3
b) x = 8 , y = 4 3
c) x = 6, y= 4 3
x
Rys.1
20. Zgodnie z Rys.2 wartości funkcji trygonometrycznych kąta  wynoszą
a) sin  
5 89
8 89
5
8
,cos  
, tg  ,ctg  .
89
89
8
5
b) sin  
5 89
8 89
8
5
,cos  
, tg  ,ctg  .
89
89
5
8
5

8
8 89
5 89
5
8
Rys.2
,cos  
, tg  ,ctg  .
89
89
8
5
21. Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego ABCD, którego dłuższa podstawa AB ma długość
c) sin  
24 cm, ramię 4 3 , a kąt ostry miarę 30 o .
22. Wartość wyrażenia sin 2 30 o  tg30o wynosi
a)
1 3
7
b)
3 4 3
12
c)
23. Doprowadź wyrażenie: tg cos - ctg 
1
 3
4
1
do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego
cos 
3
.
4
24. Sprawdź posługując się poznanymi własnościami proporcji trygonometrycznych, czy istnieje kąt
ostry, spełniający podany warunek. Jeśli tak, to odczytaj z tablic trygonometrycznych jego miarę.
4
1
a) sin = 0,6 i cos = ,
b)cos = i tg = 2 6 .
5
5
wartość dla sin =
2
ZESTAW II - FUNKCJA KWADRATOWA - powtórzenie
1. Wyznacz współczynniki a, b i c.
b) y  2 x  5  2  3x 2  2 2 x
a) y  7  4 x 2  2 x  3
2. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli y = 3x2 – 4x + 6.
3. Zapisz funkcję y = -2(x – 3)2 + 4 w postaci ogólnej.
3
1
1
4. Przedstaw funkcję kwadratową y  x 2  x  w postaci kanonicznej.
8
2
8
5. Wyznacz miejsce zerowe funkcji:
1
a) y  3x 2  4 x  6
b) y   x 2  3x  8
c) y  4 x 2  20 x  25
2
6. Rozwiąż równanie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia lub wyłączając czynnik przed
nawias:
x
3x
a) 81  16 x 2  0
b) 25  60 x  36 x 2  0
c)  4 x 2  20 x  0
d)

5  x 2x  5
7. Rozwiąż nierówność:
a) 3x2 > 12
3
8
b)  x 2 
9
x0
8
c) -3x2 + 15x – 12 > 0
d) 9 x 2  6 x  0
1 2
x  4x  9 ?
4
4
9. Dana jest funkcja kwadratowa y  5 x 2  3x  .
5
a) Oblicz miejsca zerowe tej funkcji
b) Sprowadź do postaci iloczynowej
c) Oblicz współrzędne wierzchołka
d) Sprowadź do postaci kanonicznej
e) Oblicz współrzędne punktu przecięcia z osią OY
f) Wskaż dla jakiego argumentu funkcja osiąga wartość najmniejszą i największą
g) Narysuj wykres tej funkcji
h) Odczytaj dziedzinę i zbiór wartości z wykresu
i) Podaj przedziały monotoniczność
j) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od 0?
8. Ile liczb całkowitych spełnia nierówność
10. Podaj współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu:
a) (x+1)2 + (y - 7)2 = 36
c) (x+2)2 + y2 = 5
e) x2 + (y + 5)2 = 3
b) x2 + y2 +6x – 4y +17 = 0
d) x2 + y2 + 0,5y = 12
11. Mając dany wykres funkcji y = 3x2, narysuj wykres funkcji y = 3(x + 2)2 – 4 oraz wyznacz wierzchołek i
punkt przecięcia z osią OY tej funkcji.
12. Podaj ile pierwiastków ma równanie x2 – 2x + 5m – 1 = 0 w zależności od parametru m.
13. Dla jakiej wartości parametru k równanie 3x2 – 4x + k + 1 = 0
a) ma jedno miejsce zerowe? b) ma dwa pierwiastki?
c) nie ma pierwiastków?
3
1
1
14. Dla jakiej wartości parametru p funkcja określona wzorem y   x 2  x  2 p  ma dwa
4
2
4
miejsca zerowe?
3
1
2
15. Dla jakiej wartości parametru m funkcja określona wzorem y  x  3  m ma jedno miejsca
3
zerowe?
16. Dla jakiej wartości parametru k funkcja określona wzorem y  4 x 2  3 kx 4 :
a) ma jedno miejsce zerowe?
b) ma dwa miejsca zerowe?
17. Funkcja określona wzorem g x    x 2  bx 15 osiąga wartość największą dla argumentu 3.
Wyznacz współczynnik b.
2
18. Funkcja określona wzorem gx   ax 2  3 x  osiąga wartość największą dla argumentu 2. Wyznacz
3
współczynnik a.
19. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji określonej wzorem hx   x 2  5 x 4
w przedziale x   1,3 .
20. Z drutu o długości 50 m wykonano prostokątna ramkę. Oblicz, jakie wymiary powinna mieć ta
ramka, aby pole ograniczone tą ramką było największe.
21. W trójkącie suma długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok jest równa 6. Wyznacz długość
wysokości i długość tego boku, tak aby pole trójkąta było największe.
22. Oblicz jakie największe pole może mieć trójkąt, w którym suma długości boku i wysokości
opuszczonej na ten bok jest równa 20 cm.
ZESTAW III - FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY - powtórzenie
1. Oblicz:
3
 7 2
a) 1 
 9
f)
3
 1
b)  2 
 4
9  3 27 : 3 81

2
3
 
c) 0,49
1
2
3
d) 8 3
2
e) 16  27 :25 0,5
4
3
g)
23 2
h)
16  3 4
32
5
3
2
3
1
4
i)
43  8  2
17
16 8
2. Zapisz w postaci potęgi i oblicz:
1
1
1


a)   3 2 2   8 6  0,04 6 



2
1
5
b) 243 
1
2
3  27
2

3
3 9

3  81
1
3
3
c)
2
1
3
1
 1

 2 2  3 3  2 3 



4
3
4
3
2 3  3  2  3 2
3. Rozwiąż równanie
1
a)  
7
1 x
 2  47
1
b)  
2
1
4. Narysuj wykres funkcji f (x) 
3
x 1
 2 x 5
x 2
 3 i wyznacz miejsce zerowe funkcji (o ile istnieje).
4
1
3
5. Zastosuj własności logarytmów i oblicz wartości wyrażeń:
 
1
2
16
c) log 3 3
2
5
a) log 3 81
b) log 2
d) log 1 log 2 8
e) log 1 3
f) 49 log7 3
g) 92  log3 7
i) log2(log100)
j) log 2 0,1254 64
k) log 6 4  log 6 9
m) log 5100  log 5 4
n) log 3 6  log 318  2log 3 2
3
h) 27
log3 2 
1
3
6
3 27  31,5  log 2 2
6. Oblicz x:
1
a) log 25 x 
2
e) log 4 x  0
b) log 1 x  2
1
l) log 2  3log 212
8
log 6 4  2log 6 3
o)
6
log12  log
5
d) log1  2 x   2
c) log 4 x 1 27  3
9
f) log 1 x  
3
g) log 3 log 4 x   1
1
2
7. Dla jakich wartości x określona jest liczba m?
a) log1  2 x   m
b) m  log  x 5 7
1 

c) log 3 1  5 x  2 x 2   m
4 

d) m  log x 2  4 x 5  2
8. Rozwiąż równanie:
3 2 x
1
a)  
 2  34
6
b) 3x  32 x  270
c) 5 x 4 
 5
2 3 x
d) 8 x 7  9 7x
ZESTAW IV - CIĄGI - powtórzenie
1. Znajdź różnicę r ciągu arytmetycznego wiedząc, że a1  6 i a7  30 .
2. Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a 1  3 i różnicy r  2 . Oblicz sumę dziesięciu
początkowych wyrazów tego ciągu.
3. Znajdź pierwszy wyraz a1 oraz różnicę r ciągu arytmetycznego wiedząc, że: a4  6 oraz a 8  34 .
4. Znajdź brakujące wyrazy ciągu:
2
5
1
5
a)  1 , , … , …
2
1
c)  ,...., , … , …
3
6
b) 3, … , 7, …
5. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:
a) an = 4n – 1
b) an = 3 – 2n2
c) an 
2-n
3n
d) an = n2 – 3n + 2
6. Sprawdź czy podany ciąg: 1, 2, –4, –8, 16 jest ciągiem geometrycznym.
5
7. Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego (an) o dodatnim ilorazie, znając jego dwa wyrazy:
a3  3,a6  27.
8. Wyznacz n, wiedząc, że ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie równym
pierwszy wyraz ciągu jest równy 6, zaś an = 24.
2 , w którym
9. Oblicz sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q, w którym a1 
1
,
9
q = –3, n = 3.
10. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, wiedząc, że suma sześciu początkowych
2
wyrazów wynosi 8 , a iloraz tego ciągu jest równy – 2.
5
11. Ciąg arytmetyczny ma 10 wyrazów. Iloczyn pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu jest równy 63 a
ich suma jest równa 24. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
12. Wyznacz ciąg arytmetyczny, którego drugi wyraz jest równy 1, a suma pięciu początkowych jest
równa 20.
13. Wiedząc, że (an) jest ciągiem geometrycznym oraz że a1  2 i a5  162 oblicz q i S5.
Zadania z podręcznika:
Zad. 3.9, 3.17, 3.18 str. 282 – 283
Zad. 4.1-4.8 str. 289
Zad. 5.5, 5.12, 5.13, 5.14, 5.16 str. 299 – 300
6