Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
wykład z MATEMATYKI
Automatyka i robotyka
studia stacjonarne
sem. I, rok ak. 2009/2010
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
Całki nieoznaczone
1.1
Funkcje pierwotne
Definicja 1.1. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b) wtedy
i tylko wtedy, gdy
F 0 (x) = f (x) ,
dla każdego x ∈ (a, b).
Uwaga 1.2. Funkcja pierwotna nie jest wyznaczona jednoznacznie.
1
Przykład 1.3. Funkcje F1 (x) = 3−cos2 x i F2 (x) = 2− cos 2x są funkcjami pierwotnymi funkcji
2
f (x) = sin 2x.
Twierdzenie 1.4 (o funkcjach pierwotnych).
Jeżeli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b), to
① funkcja G(x) = F (x) + C, C ∈ R, jest funkcją pierwotną funkcji f na (a, b),
② każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale (a, b) można przedstawić w postaci F (x)+D,
gdzie D jest pewną stałą rzeczywistą.
Twierdzenie 1.5 (warunek dostateczny istnienia funkcji pierwotnej).
Jeżeli funkcja f jest ciągła na pewnym przedziale, to ma na tym przedziale funkcję pierwotną.
Uwaga 1.6. Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Na przykład
funkcje pierwotne funkcji
2
e−x ,
√
sin x √
1
, 1 + x3 , cos x2 ,
, x sin x
x
ln x
nie są funkcjami elementarnymi
23
Automatyka i robotyka – studia stacjonarne
sem I, 2009/2010
1.2
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całki nieoznaczone
Definicja 1.7. Całką nieoznaczoną z funkcji f na przedziale (a, b) nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f . Oznaczamy :
Z
f (x)dx = F (x) + C
y
y = F (x) + C4
y = F (x) + C3
całka nieoznaczona funkcji f
y = F (x) + C2
y = F (x) + C1
y = F (x)
x
Z definicji wynika, że:
Z
1.2.1
f (x)dx
0
= f (x),
Z
f 0 (x)dx = f (x) + C.
Całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych
Z
0dx = C = const , dla x ∈ R.
Z
xα dx =
Z
1
dx = ln |x| + C , dla x ∈ R \ {0}.
x
Z
sin xdx = − cos x + C , dla x ∈ R.
Z
cos xdx = sin x + C , dla x ∈ R.
Z
1
π
dx = tg x + C , dla x 6= + kπ, k ∈ Z.
2
cos x
2
Z
1
dx = − ctg x + C , dla x 6= kπ, k ∈ Z.
sin2 x
Z
ex dx = ex + C , dla x ∈ R.
Z
ax dx =
α.
Z
dx = x + C , dla x ∈ R.
xα+1
+ C , dla α ∈ R \ {−1}, zakres zmiennej x jest ustalony w zależności od
α+1
ax
+ C , dla 0 < a 6= 1, x ∈ R.
ln a
24
Automatyka i robotyka – studia stacjonarne
sem I, 2009/2010
1.3
MATEMATYKA - wykład
Z
1
dx = arc tg x + C , dla x ∈ R.
1 + x2
Z
√
Katedra Matematyki
1
dx = arc sin x + C , dla x ∈ (−1, 1).
1 − x2
Twierdzenia o całkach nieoznaczonych
Twierdzenie 1.8 (o liniowości całki nieoznaczonej). Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne,
to:
Z
(f (x) + g(x))dx =
Z
Z
(f (x) − g(x))dx =
Z
Z
[c · f (x)] dx = c ·
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx .
f (x)dx −
Z
g(x)dx .
f (x)dx .
Przykład 1.9.
Z
Z
(x − 2ex )dx = ....
x2 − x + 1
√
dx = .....
x
Twierdzenie 1.10 (o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na
przedziale, to
Z
f (x) · g 0 (x)dx = f (x) · g(x) −
Przykład 1.11.
Z
(x · ex )dx = ....
Z
x2 · sin xdx = .....
Z
x
dx = .....
cos2 x
25
Z
f 0 (x) · g(x)dx .
Automatyka i robotyka – studia stacjonarne
sem I, 2009/2010
MATEMATYKA - wykład
Twierdzenie 1.12 (o całkowaniu przez podstawienie). Jeżeli
① funkcja f : I → R jest ciągła na przedziale I
② g : J → I ma ciągłą pochodną na przedziale J ,
to
Z
Z
f (x)dx =
f (g(t))g 0 (t)dt .
Przykład 1.13.
Z
(2x − 5)7 dx = ....
Z
√
x 4 − x2 dx = .....
Jeżeli
Z
Z
Z
f (x)dx = F (x) + C , to
Z
1
f (ax + b)dx = F (ax + b) + C .
a
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C .
f (x)
f 0 (x)
q
f (x)
q
dx = 2 f (x) + C .
26
Katedra Matematyki
Automatyka i robotyka – studia stacjonarne
sem I, 2009/2010
1.4
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Całkowanie funkcji wymiernych
Definicja 1.14. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci
w(x) =
P (x)
,
Q(x)
gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym.
Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to mówimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Jeśli stP <
stQ, to mówimy, że funkcja wymierna jest właściwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że
funkcja wymierna jest niewłaściwa.
Funkcja wymierna w jest określona na zbiorze
Dw = R \ {x : Q(x) = 0} .
Funkcjami wymiernymi są na przykład wyrażenia
x2
,
x+1
x3 + 7x2 − 8
.
x7 + 1
Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją
wymierną właściwą.
Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
Podany w twierdzeniu rozkład można zawsze znaleźć, wykonując dzielenie licznika funkcji wymiernej
przez jej mianownik (zwykłe dzielenie wielomianów z resztą). Czasami udaje się dokonać rozkładu
przy użyciu elementarnych przekształceń, np.:
x2 + 2x − 2
x2 + x + x + 1 − 3
x(x + 1) + (x + 1) − 3
3
=
=
=x+1−
.
x+1
x+1
x+1
x+1
1.4.1
Ułamki proste
Każdą funkcję wymierną właściwą można z kolei przedstawić w postaci sumy pewnych specjalnych
funkcji wymiernych, zwanych ułamkami prostymi.
Definicja 1.15. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję
wymierną postaci
A
, gdzie A, a ∈ R, a n ∈ N.
(x − a)n
Definicja 1.16. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję
wymierną postaci
(x2
Ax + B
,
+ px + q)n
gdzie A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i p2 −4q < 0 (trójmian kwadratowy w mianowniku jest nierozkładalny).
27
Automatyka i robotyka – studia stacjonarne
sem I, 2009/2010
1.4.2
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
P (x)
będzie niezerową rzeczywistą funkcją wymierną właściwą. Załóżmy, że miQ(x)
anownik Q ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne:
Niech w(x) =
Q(x) = an (x − x1 )k1 · · ·(x − xr )kr · x2 + p1 x + q1
l1
· · · x2 + p s x + q s
ls
.
Wówczas w(x) jest sumą n1 = k1 + k2 + . . . + kr rzeczywistych ułamków prostych pierwszego
rodzaju oraz n2 = l1 + l2 + · · · + ls rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju.
W rozkładzie tym każdemu czynnikowi (x − xi )ki , i = 1, . . . , r odpowiada suma ki rzeczywistych ułamków prostych postaci
Ai1
Aiki
Aik2
,
+
2 +···+
x − xi (x − xi )
(x − xi )ki
l
natomiast każdemu czynnikowi (x2 + pj x + qj ) j ,
ułamków prostych drugiego rodzaju postaci
j = 1, . . . , s odpowiada suma lj rzeczywistych
Bjlj x + Cjlj
Bj1 x + Cj1
Bj2 x + Cj2
+
+
·
·
·
+
.
2
x2 + pj x + qj (x2 + pj x + qj )
(x2 + pj x + qj )lj
A11
A1k1
Ar1
Arkr
+···+
+···+
+
k1 + · · · +
x − x1
x − xr
(x − x1 )
(x − xr )kr
B11 x + C11
B1l1 x + C1l1
Bs1 x + Cs1
Bsls x + Csls
+ 2
+···+
+···+
.
l1 + 2
2
2
x + p1 x + q1
x + ps x + qs
(x + p1 x + q1 )
(x + ps x + qs )ls
Powyższy rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników.
w(x) =
Przykład 1.17. Rozkład funkcji wymiernej postaci
1
(x − 3)3 (x + 2)
na ułamki proste jest następujący:
A
B
C
D
1
=
+
+
+
3
2
3
(x − 3) (x + 2)
x − 3 (x − 3)
(x − 3)
x+2
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwóch dwumianów, z których jeden występuje w
trzeciej, a drugi w pierwszej potędze. Otrzymujemy trzy ułamki proste odpowiadające dwumianowi
x − 3 oraz jeden ułamek prosty odpowiadający dwumianowi x + 2.
Przykład 1.18. Rozkład funkcji
x (x2
1
+ x + 2)2
na ułamki proste jest następujący:
1
A
Bx + C
Dx + E
=
+
+
2
2
x x + x + 2 (x2 + x + 2)2
x (x2 + x + 2)
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potęgi
trójmianu nierozkładalnego. Otrzymujemy jeden ułamek prosty odpowiadający jednomianowi x
oraz dwa ułamki proste odpowiadające trójmianowi x2 + x + 2.
28
Automatyka i robotyka – studia stacjonarne
sem I, 2009/2010
1.4.3
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju
Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie x + a = t i
otrzymujemy:
Z
A
dx = A ln |x + a| + C .
x+a
Z
1.4.4
A
−A
dx =
+ C , n > 2.
n
(x + a)
(n − 1)(x + a)n−1
Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju
Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju obliczamy w następujący sposób:
Z
dx
Gdy B = 0 – obliczamy całkę
:
2
(x + px + q)n
p 2 p2 − 4q
2
−
i stosujemy podSprowadzamy trójmian x + px + q do postaci kanonicznej x +
2
4
s
p
4q − p2
stawienie x + =
· t.
2
4
Z
dt
= arc tg t + C :
Dla n = 1 korzystamy ze wzoru
2
t +1
Z
Z
dt
t
2n − 3
dt
Dla n > 2
=
+
+C .
(t2 + 1)n
(2n − 2)(t2 + 1)n−1 2n − 2 (t2 + 1)n−1
Gdy B 6= 0 – licznik zapisujemy w postaci Bx+C = P (2x+p)+Q, gdzie P i Q są odpowiednio
dobranymi stałymi, po czym całkę zapisujemy następująco:
Z
Bx + C
dx = P
2
(x + px + q)n
Z
2x + p
dx + Q
2
(x + px + q)n
i do całki
Z
2x + p
dx
(x2 + px + q)n
stosujemy podstawienie t = x2 + px + q.
29
Z
(x2
dx
+ px + q)n
Automatyka i robotyka – studia stacjonarne
sem I, 2009/2010
1.5
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Do obliczania całek postaci sinn x, cosm x , gdzie n, m ∈ N stosujemy podstawienia
① n = 2l + 1.
Wykorzystujemy tożsamość sin2 x = 1 − cos2 x. Wówczas
l
sin2l+1 x = 1 − cos2 x sin x
i podstawiamy cos x = t .
② m = 2k + 1.
Wykorzystujemy tożsamość cos2 x = 1 − sin2 x. Wówczas
l
cos2k+1 x = 1 − sin2 x cos x
i podstawiamy sin x = t .
③ n, m – parzyste.
Wykorzystujemy tożsamości sin2 x =
Przykład 1.19.
Z
Z
1
1
(1 − cos 2x) i cos2 x = (1 + cos 2x).
2
2
sin2 xdx = ....
sin3 xdx = .....
Do obliczania całek postaci sin ax cos bx ,
sin ax cos bx =
sin ax sin bx ,
cos ax cos bx stosujemy tożsamości
1
[sin(a + b)x + sin(a − b)x] .
2
1
[cos(a − b)x − cos(a + b)x] .
2
1
cos ax cos bx = [cos(a + b)x + cos(a − b)x] .
2
sin ax sin bx =
Przykład 1.20.
Z
Z
sin 2x cos 4xdx = ....
sin x sin 3xdx = .....
30