3x

1. Granica i ciągłość funkcji
Zadanie 1.1. Obliczyć granice
√
1− 3x
√ ,
(c) lim
x→1 1 −
x
x2 − 5x + 6
(b) lim 2
,
x→1 x − x − 6
x2 + 2x − 3
,
(a) lim
x→1
x−1
√
x2 + 1 − 1
(d) lim √
,
x→0
x2 + 25 − 5
1 − cos x
,
(g) lim
x→0
x2
(e) lim
4x
x→0 sin 2x
,
(f) lim
sin 5x
x→0 sin 3x
√
9 + 2x − 5
p
(h) lim √
,
x→8 3 x −
x/2
,
(i) lim (1 + 3x)1/x .
x→0
Zadanie 1.2. Obliczyć granice
x2 − 5x + 6
,
x→∞ x3 − x − 6
p
p
x2 + 1 − x2 − 1 ,
(e) lim
x→∞
x+2
x−1
(h) lim
,
x→∞ x + 3
(a) lim (x3 − 2x2 − 3x − 1),
(b) lim
x→∞
x4 + 1
,
x→∞ 4x2 − x
√
9 + 2x − 5
p
(g) lim √
,
x→∞ 3 x −
x/2
(d) lim
1 − 3x3
,
x→−∞ (1 − 3x)3
√
√ (f) lim sin x + 1 − sin x ,
x→∞
2x−5
3x − 1
(i) lim
.
x→−∞ 3x + 1
(c)
lim
Zadanie 1.3. Obliczyć granice jednostronne
|x − 1|
|x − 1|
1
(a) lim+
,
(b) lim−
,
(c) lim+ 2
,
1/x
x−1
x−1
x→1
x→1
x→0 x + 22
(−1)bxc (x − 3)
1
(−1)bxc (x − 3)
,
(f)
lim
.
(d) lim− 2
,
(e)
lim
1/x
x2 − 9
x2 − 9
x→3+
x→0 x + 22
x→3−
Zadanie 1.4. Czy funkcjom
2
sin x
1
(a) f (x) = 2−1/x ,
(c) h(x) =
,
(b) g(x) = arc tg ,
x
|x|
można nadać wartość w punkcie x = 0 tak, aby były funkcjami ciągłymi na R?
Zadanie 1.5. Zbadać ciągłość funkcji
(
cos πx
gdy |x| ≤ 1
2 ,
(a) f (x) =
,
|x − 1|,
gdy |x| > 1
(b) g(x) = x − bxc,
(c) h(x) = bxc + b−xc.
Zadanie 1.6. Niech
fn (x) :=
xn+1 − (n + 1)x + n
,
n2 (x − 1)2
x ∈ R, |x| < 1, n ∈ N,
i niech
an := lim fn (x),
x→1
n ∈ N,
f (x) := lim fn (x),
n→∞
|x| < 1.
Obliczyć limn→∞ an i limx→1 f (x).
Zadanie 1.7. Zbadać ciągłość funkcji
1
, n ∈ N,
1 + x2n
Zadanie 1.8. Niech funkcja f : R → R spełnia warunek
fn (x) :=
f := lim fn .
lim (f (x + h) − f (x − h)) = 0,
h→0
n→∞
x ∈ R.
Czy warunek ten pociaga ciągłość f ?
Zadanie 1.9. Niech f ∈ C([0, 1], [0, 1]). Wykazać, że istnieje x ∈ [0, 1] taki, że f (x) = x.
2. Pochodne. Reguła de l’Hospitala. Asymptoty
Zadanie 2.1. Wyznaczyć pochodne funkcji cyklometrycznych, hiperbolicznych i area (odwrotnych do
hiperbolicznych).
Zadanie 2.2. Wyznaczyć pochodną funkcji
x2 + 3x − 4
,
x−3
x+1
(d) f (x) = 2
,
x − 8x + 15
arc sin x
1 1−x
(f) f (x) = √
+ ln
,
2 1+x
1 − x2
(a) f (x) = 2x sin x,
(b) f (x) =
(c) f (x) =
p
(e) f (x) =
x
xp 2
a2
arc sin ,
a − x2 +
2
2
a
x2 + 1 cos(2x),
x
(g) f (x) = x + xx + xx ,
(h) f (x) = tg ln sin x.
Zadanie 2.3. Wykazać, że funkcja
(
f (x) =
x2 sin x1 ,
0,
gdy x 6= 0
gdy x = 0
jest różniczkowalna, ale nie ma pochodnej ciągłej.
Zadanie 2.4. Dowieść, że dla asteroidy x2/3 + y 2/3 = a2/3 , a > 0, długość odcinka stycznej zawartego
pomiędzy osiami układu współrzędnych jest stała.
Zadanie 2.5. Obliczyć granice korzystając
√
x2 − x
(a) lim √
,
x→1
x−1
ex−1 − e1−x − 2x + 2
(d) lim
,
x→0 x − sin(x − 1) − 1
1
1
,
(g) lim
−
x→0 sin2 x
x2
1
x
(j) lim x ,
x→∞
z reguły de l’Hospitala1
√
1 − cos x
(b) lim
,
x→0
x2
cosh x − 1
(e) lim
,
x→0 1 − cos x
3
(h) lim (cos 2x) x2 ,
x→0
3
(k) lim+ x 4+ln x ,
x→0
ex
,
x→∞ x5
x
1
(f) lim
−
,
x→1 x − 1
ln x
x
x+1
,
(i) lim
x→∞ x − 1
(c) lim
1
(l) lim (1 + sin x) x .
x→0
Zadanie 2.6. Wyznaczyć asymptoty funkcji
x2 + 3x − 4
,
x−3
2x
(d) f (x) = x ln
,
x−2
(a) f (x) =
(b) f (x) =
x+1
,
2
x − 8x + 15
1
(e) f (x) = xe x−2 ,
x2 + 1
,
(x + 1)2
πx2
(f) f (x) = x + cos
.
1 + x2
(c) f (x) =
1Guillaume François Antoine, markiz de l’Hospital lub l’Hôpital (ur. w 1661 w Paryżu, zm. 2 lutego 1704 tamże) —
matematyk francuski.
3. Badanie przebiegu zmienności funkcji
Zadanie 3.1. Znaleźć a i b, jeśli wiadomo, że funkcja
ax + b
f (x) =
(x − 1)(x − 4)
osiąga w punkcie x = 2 ekstremum lokalne równe −1. Rozstrzygnąć, czy jest to maksimum czy minimum.
Zadanie 3.2. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji
(a) f (x) = ln(1 + x4 ) − ln(1 + x2 ),
(b) g(x) = |x|e1/(x−2) .
Zadanie 3.3. Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości dla funkcji
ex − 1
ex
.
(a) f (x) = x
,
(b) f (x) =
e +1
1 + e2x
Zadanie 3.4. Zbadać przebieg zmienności (uwzględniając asymptoty, ekstrema, przedziały monotoniczności, punkty przegięcia i przedziały wypukłości) oraz naszkicować wykres funkcji
x+1
x2 + 3x − 4
,
(b) f (x) =
,
− 8x + 15
x−3
x4
1
(d) f (x) = 3
,
(e) f (x) = ln(x2 − 1) + 2
,
x +1
x −1
Zadanie 3.5. Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania
(a) f (x) =
x2
(c) f (x) =
2x2
,
(2 + x)2
(f) f (x) = (x − 5)e2/(1−x) .
(x2 − 8x + 7)2 = c
w zależności od parametru c ∈ R.
Zadanie 3.6.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji
(1) f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 w przedziale [−1, 5],
3
(2) f (x) = x
√ − 3x − 1 w przedziale [−2, 3],
(3) f (x) = 100 − x2 w przedziale [6, 8],
(4) f (x) = x2 ex w przedziale [−3, 1],
(5) f (x) = sin 2x − x w przedziale [−π/2, π/2],
√ x w przedziale [1, e8/3 ],
(6) f (x) = ln
x
√
2
(7) f (x) = e2x−x w przedziale [1 − 2/2, 2].
Zadanie 3.7.
(1) Zaprojektować namiot w kształcie stożka o powierzchni bocznej równej 10 m2
tak, aby miał największą objetość.
(2) Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o maksymalnej objętości, jeśli chcemy do
jej produkcji zużyć 50 cm2 blachy?
(3) Należy sporządzić skrzynkę prostopadłościenną z pokrywką. Objętość skrzynki ma wynosić 72
cm3 , długości krawędzi podstawy mają być w stosunku 2 : 1. Jakiej długości powinny być krawędzie, aby powierzchnia całkowita skrzynki była najmniejsza?
(4) Na kuli o promieniu R opisano stożek. Jaka będzie wysokość stożka o najmniejszej objętości?
(5) Który z punktów paraboli y 2 = 6x leży najbliżej prostej x − y + 5 = 0?
Zadanie 3.8. Wykazać, że dla dowolnych p, q ∈ R oraz dowolnej liczby nieparzystej n ∈ N wielomian
w(x) = xn + px + q
ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste.
Zadanie 3.9. Wykazać, że jeśli stałe aj ∈ R, j = 0, . . . , n, spełniają równość
a1
a2
an
a0 +
+
+ ··· +
= 0,
2
3
n+1
to równanie
a0 + a1 x + · · · + an xn = 0
ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty x0 ∈ (0, 1).
4. Ciągi i szeregi liczbowe
Zadanie 4.1. Obliczyć
2n − 1
,
n→∞ 3n + 1
1 + 2 + ··· + n
,
(d) lim
n→∞
n2
r
x2
n
(g) lim
1 + |x|n + ,
n→∞
4
Zadanie 4.2. Niech a > 1, k
n2 − 5n + 3
,
n→∞
n3
12 + 22 + · · · + n2
(e) lim
,
n→∞
n3
p
(h) lim n αn + β n , 0 6 α 6 β,
(b) lim
(a) lim
n→∞
p
(c) lim ( n2 + n − n),
n→∞
(f) lim n sin2
1
cos n,
n
p
n3 + n −
n→∞
(i) lim n
n→∞
3
p
3
n3 − n .
> 0. Wykazać, że
nk
= 0.
n→∞ an
Zadanie 4.3. P jest punktem na jednym z ramion kąta ostrego α, P1 jest rzutem punktu P na drugie
ramię, P2 — rzutem punktu P1 na pierwsze ramię, itd. Oznaczając P P1 = s, znaleźć
lim
sn := P P1 + P1 P2 + · · · + Pn−1 Pn
i wykazać, że
lim sn = (1 − cos α)−1 .
n→∞
Zadanie 4.4. Wykazać zbieżność ciagu (an )n∈N oraz znaleźć jego granicę, jeśli a1 :=
√
2 + an , n ∈ N.
√
2, an+1 =
Zadanie 4.5. Podać przykłady ciągów (an )n∈N , (bn )n∈N ⊂ R+ , aby limn→∞ an = 1, limn→∞ bn = +∞
oraz limn→∞ abnn = 2.
Zadanie 4.6. Naszkicować wykres funkcji
2nx + 3nx x + x2
.
n→∞
3nx + 1
P∞
Zadanie 4.7. Obliczyć n-tą sumę i zbadać zbieżność szeregu n=1 an , jeśli
1
1
1
, (c) an = ln 1 − 2 ,
(a) an = n , (b) an = ln 1 +
2
n
n
f (x) = lim
Zadanie 4.8. Zbadać zbieżność szeregu
√
∞ √
∞
X
X
√
√
n+1− n
n + 1 − n,
(b)
,
(a)
n
n=1
n=1
(e)
∞
X
n2
,
2n
n=1
(i)
∞
X
((2n)!)(3n)!
,
n!(4n)!
n=1
(m)
∞
X
n=1
ln
∞
X
1
,
1 + 2n
n=1
(d)
∞
X
1
,
nn
n=1
∞
∞
X
X
(n!)2 (2n)!
n!(3n)!
,
(h)
,
2
(4n)!
((2n)!)
n(n
+
1)
n=1
n=1
n=1
n(n+1)
(n+1)!
∞
∞ ∞ X
X
X
((100n)!)2
n−1
n!
(j)
, (k)
, (l)
,
(50n)!(150n)!
n+1
n! + 1
n=1
n=1
n=1
(f)
∞
X
(c)
n > 2.
1
p
,
(g)
∞
X
nπ
(−1)n n
n+1
cos
, (n)
.
n
2
n2 + 1
n=1
Zadanie 4.9. Obliczyć sumę
∞
X
1
.
2−n
n
n=2
5. Szeregi potęgowe
Zadanie 5.1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji zadanej szeregiem
∞
X
2n2 + 3n + 1
(x − 2)n ,
3
n
n=1
∞ √
X
n+1
(b) f (x) =
(2x − 9)n ,
2 3n
n
n=1
∞
X
n
(c) f (x) =
(x + 3)n ,
2
n
(n
+
1)(−2)
n=1
(a) f (x) =
(d) f (x) =
∞
X
n=1
∞
X
1
n2 (−2)n
(x − 1)n ,
2n
(x − π)n ,
n!
n=1
∞
X
(f) f (x) =
n!(x − e)n .
(e) f (x) =
n=1
6. Całki nieoznaczone
Zadanie 6.1. Stosując metody całkowania przez części i przez podstawienie zweryfikować wzory
Z
Z
(6.1)
tg x dx = − ln | cos x| + C,
ctg x dx = ln | sin x| + C,
Z
p
(6.2)
arc sin x dx = x arc sin x + 1 − x2 + C,
Z
p
arc tg x dx = x arc tg x − ln 1 + x2 + C,
(6.3)
Z
dx
x
√
(6.4)
= arc sin + C,
a
a2 − x2
Z
p
dx
√
= ln |x + a2 + x2 | + C,
(6.5)
a 2 + x2
Z p
x
xp 2
a2
(6.6)
arc sin + C,
a2 − x2 dx =
a − x2 +
2
2
a
Z p
2
p
p
x
a
(6.7)
a2 + x2 dx =
a2 + x2 +
ln |x + a2 + x2 | + C.
2
2
Zadanie 6.2. Obliczyć całki
(x2 − 1)3
dx,
x
Z
(x2 + 4)5 x dx,
Z
x dx
,
2 + 3)6
(x
√
Z √
x3x+ 4x
dx,
x2
Z
√
(3 + 2 4 x)3 dx,
√
Z
3
3 + 5 x2
√
dx,
3
x
Z
√
a + bx dx,
Z p
x 1 + x2 dx,
Z
x−1
√
dx,
3
x+1
Z
x2 dx
√
,
5
x3 + 1
Z
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Z
(11)
Z
(12)
Z
(13)
Z
(14)
Z
(15)
Z
(16)
Z
(17)
Z
(18)
Z
(19)
Z
(20)
2
xe−x dx,
x sin(2x2 + 1) dx,
√
cos x
dx,
1 + sin x
cos xesin x dx,
tg x
dx,
cos2 x
2
ln x
dx,
x
x
e dx
,
x
2e
p +1
2 + ln |x|
dx,
x
dx
q
,
x 1 − ln2 |x|
2
xex (x2 + 1) dx,
Zadanie 6.3. Obliczyć całki z funkcji wymiernych
Z
Z
7x
dx
(g)
dx,
(a)
,
4
4
+
5x2
(3x
−
2)
Z
Z
dx
2x − 3
(h)
dx,
(b)
dx,
2
2
Z 1+x−x
Z x − 3x + 3
3x + 2
2x + 6
(i)
dx,
(c)
dx,
2
2
Z x −x−2
Z 2x + 3x + 1
x−1
4x − 5
(j)
dx,
(d)
dx,
2 − 4x + 1
2
4x
Z
Z 2x 5 − 5x + 3
3x + 1
6 x − 16
(k)
dx,
(e)
dx,
(x
+ 2)2
2
x
+
3x
−
18
Z
Z
dx
dx
(l)
,
(f)
dx,
2 + 2x + 1
2
3x
6x − 13x + 6
Z
dx
,
2 ) arc tg x
(1
+
x
Z
x dx
(22)
,
4+1
x
Z
(23)
x2 ex dx,
Z
(24)
x4 e2x dx,
Z
(25)
x2 cos x dx,
Z
(26)
ex cos x dx,
Z
2
(27)
e−x cos x dx,
3
Z
(28)
ln3 |x| dx,
Z
√
(29)
x ln3 |x| dx,
Z
ln2 x
√ dx.
(30)
x
(21)
Z
(m)
Z
(n)
Z
(o)
Z
(p)
Z
(q)
Z
(r)
2x2 + 7x + 20
dx,
x2 + 6x + 25
3
2
x − 4x + 1
dx,
(x − 2)2
2x + 1
dx,
(x2 + 1)2
3
2x − 19x2 + 58x − 42
dx,
x2 − 8x + 16
6
72x
dx,
3x2 + 2
17x2 − x − 26
dx.
(x2 − 1)(x2 − 4)
7. Całka Riemanna
Zadanie 7.1. Obliczyć pole ograniczone krzywymi
(a)
(b)
(c)
(d)
y
y
y
y
= x2 , y 2 = x,
= x3 , y = 4x,
= x3 , y 2 = x,
= x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14,
(e)
(f)
(g)
(h)
xy = 4, x + y = 5,
(x − 6)2 + y 2 = 36 y 2 = 6x,
y = xe−2x , y = 0, x = 21 , 0 6 x 6 12 ,
y = sin x, y = 0, 0 6 x 6 π.
Zadanie 7.2. Obliczyć długość łuku
(a) paraboli 2y = x2 w przedziale 0 6 x 6 2,
(b) okręgu x = r cos t, y = r sin t, 0 6 t 6 2π,
(c) linii łańcuchowej y = 21 a(ex/a + e−x/a ), 0 6 x 6 c,
(d) asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t, 0 6 t 6 2π, gdzie a > 0,
(e) paraboli Neila y 2 = 4x3 , gdzie y > 0, 0 6 x 6 98 ,
(f) cykloidy x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), 0 6 t 6 2π,
(g) okręgu y 2 = 2x − x2 , gdzie 0 6 x 6 1,
(h) y = ln(1 − x2 ), gdzie 0 6 x 6 12 ,
√
(i) x = t2 , y = t − t3 gdzie 0 6 t 6 3.
Zadanie 7.3. Obliczyć objętość i pole powierzchni brył utworzonych przez obrót dookoła osi x krzywych
(a > 0)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
y = xex , 0 6 x 6 2,
y = sin x, 0 6 x 6 π,√
√
x2 − y 2 = a2 , x = a 2, a 6 x 6 a 2,
3y − x3 = 0, x = 1, 0 6 x 6 1,
x
y = a cosh , |x| = a, −a 6 x 6 a,
a
(f) x3 = y 2 (2a − x), 1 6 x 6 2,
(g) 4x2 + 9y 2 = 36,
(h) x2 + y 2 − 20y + 75 = 0,
1
(i) y =
, 2 6 x 6 4,
x−1
(j) x = a cos3 t, y = a cos3 t, 0 6 t 6 π.
8. Zadania tekstowe
Zadanie 8.1. Szacunkowe przyszłe dochody małej firmy wyrażają się wzorem D(t) = 2t2 − 12t + 118
tysięcy złotych, gdzie t oznacza czas w latach liczony od chwili obecnej.
(1) Jaki jest tegoroczny dochód?
(2) Kiedy dochód będzie
(a) malał,
(b) wzrastał?
(3) Jaki będzie najmniejszy zysk i kiedy on nastąpi?
Zadanie 8.2. Piłka została rzucona w pionowo w górę, a jej wysokość nad ziemią wynosi s(t) = 1 +
28t − 5t2 metrów, gdzie t oznacza czas liczony w sekundach.
(1) Z jakiej wysokości nad ziemią piłka została wyrzucona?
(2) Znaleźć pochodną s0 (t) i wyjaśnić jej znaczenie.
(3) Kiedy s0 (t) = 0? Jakie jest znaczenie tej równości?
(4) Jaką maksymalną wysokość osiągnie piłka?
(5) Obliczyć prędkość piłki
(a) w chwili wyrzutu,
(b) po dwóch sekundach od wyrzutu,
(c) po pięciu sekundach od wyrzutu.
Wyjaśnić znaczenie znaku pochodnej.
(6) Jak długo piłka będzie w powietrzu?
2
(7) Jakie jest znaczenie drugiej pochodnej ddt2s ?
Zadanie 8.3. Hala fabryczna na planie prostokąta ma powierzchnię 600 m2 ma być podzielona na trzy
identyczne prostokątne pomieszczenia ułożone szeregowo. Budowa ścian, zewnętrznch i wewnętrznych,
kosztuje 60 zł za metr bieżący Jakie wymiary powinien mieć plan hali, aby zminimalizować koszt budowy
ścian?
Zadanie 8.4. Trzy miasta w prostokątnym układzie współrzędnych, wyskalowanym w kilomterach,
znajdują się w punktach (3, 11), (1, 2) i (7, 3). Rurociąg biegnie linią o równaniu y = 8. Gdzie na
rurociągu należy umieścić stację pompy, aby całkowita długość rurociągów łączących trzy miasta ze
stacją pompy była najkrótsza?
Zadanie 8.5. Cząstka P porusza się z prędkością v(t) = t2 − t − 2 cm/s.
(1) Obliczyć całkowitą drogę, jaką przebyła cząstka P w ciągu trzech pierwszych sekund ruchu.
(2) Obliczyć odległość cząstki P od punktu początkowego po trzech sekundach.
Zadanie 8.6. Koszt całkowity produkcji x urn tygodniowo wynosi 2, 15 − 0, 02x + 0, 00036x2 złotych
za urnę, o ile 0 ≤ x ≤ 120. Koszt początkowy, zanim ruszy produkcja, wynosi 185 złotych. Obliczyć
całkowity koszt produkcji 100 urn tygodniowo.