2 - Zespół Szkół Hotelarsko-Turystyczno

ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E
1) Liczba, której 5% jest równe 6, to :
A. 0,3
B. 12
5%
100%
5%
100%
6
x

C. 30
D. 120
II sposób:
6
x
5%  x  6  100%
6  100%20
1 5%
x = 120
x=
x – nieznana liczba
5%  x  6
1
5
x6
20100
1
 x  6 /  20
20
x = 120
odp. D
2) Pewien towar kosztował 200 zł. Jego cenę podniesiono o 15%. Towar kosztuje teraz:
A. 203 zł
C. 220 zł
B. 215 zł
D. 230 zł
200 + 15%  200 = 200 +
15
 200 = 200 + 30 = 230
100
odp. D
3) Buty, które kosztowały 180 zł, przeceniono i sprzedano za 144 zł. Obniżka wynosiła:
A. 80%
C. 25%
B. 36%
D. 20%
180 – 144 = 36 – obniżka ceny butów
II sposób:
x
36
100%
180
x
36

100%
180
x  180  36  100%
II sposób:
x – nieznany procent
x%  180  36
x
 180 9  36
5 100
9
5
 x  36 /
5
9
4
36  100% 5
180
19
x = 20%
x=
x = 20
odp. D
1
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE



4) Wyrażenie 55 : 52 : 53 : 52 jest równe:
A. 125
5
5

B. 25
C. 5
D.
1
5

: 52 : 53 : 52 = 55 2 : 53 2 = 53 : 51 = 531 = 52 =25
odp. B
5) Która z poniższych liczb jest równa 2?
1
A 0,02  103
C. 0,2  10
D. 10 2 : 0,02
1
B 201  102
A.
0,02  103 = 0,02  1000 =20
B
201  102 =
1
 1005  5
1 20
C.
0,21 10
10
2
=    10   105  50
 10 
12
mnożąc przez 1000 przesuwam przecinek w ułamku
0,02 o 3 miejsca w prawą stronę
1
1
2
100 1
 2 
D.
10 : 0,02 =100 : 
= 100 
=2
 =100 :
1001
2
 100 
a
6) Jeśli a = 2 - 1 i b = 2 + 1, to iloraz jest równy:
b
A. 1
C. 3 + 2 2
B. 3
D. 3 - 2 2
1
2
a
=
b
=
odp. D
2 1
= usuwam niewymierność w mianowniku mnożąc licznik i mianownik przez
2 1
wyrażenie z mianownika z przeciwnym znakiem czyli 2  1
2 1 2 1

=
2 1 2 1


2 1
2
2
2
2  12
=
2  2 2 1
2  2  2  1  12
=
=3-2 2
2 1
1
odp. D
7) Przedział zaznaczony na osi liczbowej:
A. x  4  1
jest zbiorem rozwiązań nierówności:
C. x  4  3
B. x  4  4
D. x  4  7
Wzór na odległość między liczbami a  b
Obliczam odległość między liczbami 1 i 7, wynosi ona 6 i obliczam środek odległości między
tymi liczbami, 6 : 2 = 3.
Zaznaczam x w miejscu 4.
x4 3
Odległość od 4 jest mniejsza bądź równa 3
odp. C
2
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
8) Dziedziną funkcji
A.
B.
jest:
C.
D.  ;0  1; .
x x 2  0
x1  x   0
x0
lub
1 x  0
 x  1 /  (1)
x 1
0
1
x
Rozwiązaniem jest część wspólna obu przedziałów, czyli x  0;1 .
II sposób:
x x 2  0
x1  x   0
Traktujemy tą nierówność jako równanie kwadratowe, czyli
x1  x   0
lub
x0
1 x  0
x 1
Oba rozwiązania nanosimy na oś OX i rysujemy parabolę dla a < 0, zatem jej ramiona są
skierowane do dołu. Następnie patrzymy na znak nierówności (  ), a więc szukamy
argumentów x, dla których x x 2 przyjmuje wartości dodatnie, czyli innymi słowy
odpowiadający wykres leży nad osią OX.
0
1
x
x  0;1
odp. C
9) Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f : - 5; 8  R .Funkcja f jest
niemalejąca w przedziale:
A.
C.
B.
D.
Funkcja niemalejąca składa się z funkcji stałej i rosnącej.
odp. B
3
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
10) Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f : - 3; 8  R . Największa
wartość tej funkcji w przedziale
A. 2
B. 1
jest równa:
C. 3
D. 0
Największa wartość y = 2
odp. A
11) Jeśli dziedziną funkcji f(x) = - x + 2 jest przedział
przedział:
A.
,
C.
,
B.
,
D.
.
x
f(x) = - x + 2
0
2
, to jej zbiorem wartości jest
1
1
f(0) = - 0 + 2 = 2
f(1) = - 1 + 2 = 2 – 1 = 1
zbiór wartości
odp. D
12) Suma współrzędnych wierzchołka paraboli y = 2(x – 1) 2 + 3 jest równa:
A. -4
C. 2
B. - 2
D. 4
W = (p, q)
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej y = a( x – p) 2 + q
p = 1, q = 3
1+3 = 4
odp. D
13) Zbiorem rozwiązań nierówności 5(1 – x)  2(3x – 1) – 4 jest:
A.
C.
,
B.
,
D.
.
5(1 – x)  2(3x – 1) – 4
5 – 5x  6x – 2 – 4 / – 5 – 6x
– 5x – 6x  – 2 – 4 – 5
– 11x  – 11 / : (– 11)
x 1
x
odp. A
4
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
14) Funkcja f(x) = x 2 – 1 przyjmuje wartości ujemne dla:
A. x  (–  , – 1)  (1,  )
C. x 
B. x  (– 1, 1)
D. x 
Wykres funkcji y = x 2 przesuwam o 1 w
dół wzdłuż osi y
x
-2
-1
0
1
2
y=
4
1
0
1
4
2
x
f (- 2) = (- 2) 2 = 4
f (- 1) = (- 1) 2 = 1
f (0) = 0 2 = 0
f (1) = 1 2 = 1
f (2) = 2 2 = 4
Wartości ujemne znajdują się pod osią x
x  ( - 1, 1)
odp. B
15) Równanie 2x 2 - x + 1 = 0:
A. ma jedno rozwiązanie
B. ma dwa rozwiązania
C. nie ma rozwiązań
D. ma trzy rozwiązania
a = 2,
b = - 1,
c=1
2
2
 = b - 4ac = (-1) - 4  2  1 = 1 – 8 = - 7
Ponieważ  < 0, więc równanie nie ma rozwiązań
odp. C
16) Prosta 4x + y – 5 = 0 jest prostopadła do prostej:
1
1
A. y  x  5 ,
C. y   x
4
4
B. y  4x
D. y  4x  5
Prosta l : 4x + y – 5 = 0
po przekształceniu do postaci kierunkowej y = – 4x + 5, czyli a1  4
Warunek prostopadłości l  k   a1  a2  1
 4  a 2  1 / :  4
a2 
1
4
Ponieważ współczynnik kierunkowy a 2 prostej k prostopadłej do prostej l jest równy
więc prosta k ma postać y 
1
x 5
4
odp. A
1
,
4
5
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
17) Równanie
A. nie ma rozwiązań,
B. ma 1 rozwiązanie,
C. ma 2 rozwiązania,
D. ma 4 rozwiązania
(x + 2)2 – 16 = 0
korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
x2 + 4x + 4 – 16 = 0
x2 + 4x – 12 = 0
a = 1,
b = 4,
c = -12
2
2
 = b - 4ac = 4 - 4 1 (12) = 16 + 48 = 64
Ponieważ  > 0, więc równanie ma 2 rozwiązania.
odp. C
18 ) Jeśli pole trójkąta równobocznego jest równe 9 3 , to bok tego trójkąta ma długość:
A. 3 2
C. 4,5 3
B. 3 3
D. 6
P= 9 3
a=?
P=
a2 3
4
36 3
= a2
3
a2 3
/ 4
4
36 3 = a 2 3 / : 3
36 = a 2
9 3 =
a = 36
a=6
odp. D
1
, to:
2
C. 0 0 <  <30 0
D.  = 60 0
19) Jeżeli kąt  jest kątem ostrym oraz sin  =
A.  = 30 0
B. 60 0 <  <90 0
Gdy sin  =
1
, to  = 30 0
2
odp. A
2
, to:
2
C.  = 30 0
D. 60 0 <  <90 0
20) Jeżeli kąt  jest kątem ostrym oraz cos  =
A. 0 0 <  <30 0
B. 30 0 <  <60 0
Gdy cos  =
21) Jeżeli
A.
2
, to  = 45 0
2
odp. B
jest kątem ostrym i
,
B.
=
,
, to:
C.
Gdy cos 80 0 = cos (90 0 - 10 0 ) = sin 10 0 , czyli  = 10 0
,
D.
.
odp. D
6
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
22) Jeżeli  jest kątem ostrym oraz tg  =2, to wartość wyrażenia
A. 3 ,
B. 2,5,
C. 2 ,
cos  sin
jest równa:
cos
D. 1,5.
cos  sin cos sin


 1  tg  1  2  3
cos
cos cos
odp. A
23) Promień okręgu opisanego na prostokącie o bokach długości 3 i 4 jest równy:
A. 1,5
C. 2,5
B. 2
D. 5
Twierdzenie Pitagorasa
32 + 42 = d2
9 + 16 = d 2
dd
2
25 = d
3
d = 25
4
d=5
d = 2r
r=d:2
r=5:2
r = 2,5
odp. C
24) Dany jest odcinek o końcach A(2, -1) i B(a, 4). Jeżeli AB = 5, to:
A. a = - 2
C. a = 6
B. a = 2
D. a = - 6
AB =
xB  x A 2   yB  y A 2
a  22  4  (1)2 = 5
a  22  4  12 = 5
a  22  52 = 5
52 = 5
a  2  0 /+2
a2
odp. B
25) Jeżeli punkt S(2, 0) jest środkiem odcinka o końcach A(3, 4) i B, to:
A. B(1; - 4)
C. B(5, 4)
B. B(3; 2)
D. B(1; 4)
xA  xB
y A  yB
 xS
 yS
2
2
xS , yS
xA,yA
S(2,0)
A ( 3 , 4)
Podstawiam x A =3 i x S = 2 do wzoru
3  xB
 2 / 2
2
3 + xB= 4 / - 3
xB= 1
Podstawiam y A =4 i y S = 0 do wzoru
4  yB
 0 / 2
2
4 + yB = 0 / - 4
yB = - 4
B = (1, - 4)
odp. A
7
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
26) Równoboczny trójkąt ABP jest wpisany w okrąg. Prosta l jest styczna do okręgu
w punkcie P (rysunek obok). Wówczas:
A.  = 30 0
C.  = 60 0
B.  < 30 0
D.  > 60 0
B
A
l

P
Trójkąt ABP ma każdy kąt równy 60 0 , wysokość w trójkącie ABP dzieli kąt BPA na pół,
czyli kąt BPA = 30 0 .
B
A

L
P
Wysokość w trójkącie zawiera promień okręgu, który jest prostopadły do prostej l.
odp. C
 = 90 0 - 30 0 = 60 0
27) Okrąg o środku O(- 1, 2) i promieniu 3 ma równanie:
A. (x – 1) 2 +(y + 2) 2 = 9
C. (x + 1) 2 +(y - 2) 2 = 9
B. (x – 1) 2 +(y + 2) 2 = 3
D. (x + 1) 2 +(y - 2) 2 = 3
Równanie okręgu x  a    y  b  r 2
a, b – współrzędne środka okręgu
(x – (-1)) 2 +(y - 2) 2 = 3 2
(x + 1) 2 +(y - 2) 2 = 9
2
2
odp. C
28) Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny o podstawach długości 6 cm i 10 cm
oraz wysokości 2 cm.
6 cm
2 cm
10 cm
Ramię tego trapezu ma długość:
A. 2 cm
B. 2 2 cm
C. 2 5 cm
D. 4 cm
8
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
W trapezie równoramiennym zawsze dorysowujemy drugą wysokość.
6 cm
2 cm
c
.
x
x = (10 – 6) :2 = 4 : 2 = 2
twierdzenie Pitagorasa
c2 = x2 + 22
c2 = 22 + 22
c2 = 4 + 4
c2 = 8
c= 8
c
2 cm
10 cm
x
c = 42
c= 4 2
c=2 2
29) Punkt O jest środkiem okręgu (rysunek obok).
Kąt  ma miarę równą:
A. 20 0 ,
C. 35 0 ,
B. 30 0 ,
D. 40 0 .
Kąt środkowy oparty na półokręgu jest kątem prostym, więc 70    90 ,
czyli kąt  = 20 0
odp. A
30) Kąt  (rysunek obok) ma miarę
równą:
A. 70 0 ,
C. 145 0 ,
B. 115 0 ,
D. 150 0 .
odp. B
9
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
Kąt β i γ to kąty środkowe, zaś kąt α i kąt 35 0 to kąty wpisane w okrąg.
Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku,
czyli zgodnie z rysunkiem powyżej
1
35   /  2
2
70  
Kąt β i γ tworzy kąt pełny, więc   360    290 .
Dodatkowo kąt α wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym
1
samym łuku, czyli kąta β, a więc     145 .
odp. C
2
2
31) Dany jest okrąg o równaniu
+
. Prosta
:
A. Nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem,
B. Ma z tym okręgiem 2 punkty wspólne, między którymi odległość jest równa 5,
C. Ma z tym okręgiem 2 punkty wspólne, między którymi odległość jest równa 8,
D. Ma z tym okręgiem 2 punkty wspólne, między którymi odległość jest równa 10.
Równanie okręgu
x  a2   y  b2  r 2
a, b – współrzędne środka
okręgu r - promień okręgu
(x + 5) 2 + y 2 = 16
(x – (-5)) 2 +(y - 0) 2 = 4 2
Czyli S = (-5; 0) i r = 4
Rysuję okrąg o podanych
parametrach, okrąg o
2
równaniu
+
ma 2 punkty wspólne z prostą
, między którymi
odległość jest równa 8
odp. C
10
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
32) Prosta określona za pomocą równania
współrzędnych, trójkąt o polu równym:
A. 4,
B. 6,
x
ogranicza, wraz z osiami układu
C. 7,
-8
-4
0
4
8
9
6
3
0
-3
D. 12.
Otrzymujemy trójkąt OAB o postawie |OA| = 4 i wysokości |OB| = 3. Pole trójkąta obliczamy
ze wzoru:
1
1
1 2
P  ah   | OA |  | OB |
4 3  6
odp. B
2
2
2
1
11
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
Z A D AN I A O T W A R T E
Zadanie 1. (2 pkt)
Bok sześciokąta foremnego ABCDEF ma długość 6 cm. Oblicz promień koła wpisanego
w trójkąt BDF.
D
E
R
r
.
C
6
h
B
F
A
Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy długości boku sześciokąta
foremnego czyli 6 cm
2
Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym równa się
wysokości trójkąta
3
2
równobocznego BDF.
R= h
3
2
6 = h / 3
3
18 = 2h / : 2
9 cm = h
1
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny równa się wysokości trójkąta
3
1
równobocznego BDF.
r= h
3
1
r = 9
3
r = 3 cm
Odpowiedź: Promień koła wpisanego w trójkąt BDF ma 3 cm.
12
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
Zadanie 2. (2 pkt)
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej 4x + y + 1 = 0 i przechodzącej przez punkt
P (4, 3).
4x + y + 1 = 0
P = (4, 3)
Zamieniam na postać kierunkową czyli wyznaczam y
4x + y + 1 = 0 / - 4x – 1
x, y
y = - 4x – 1
y = a2 x + b
P = (4, 3)
1
1
a2  
podstawiam współrzędne punktu P do wzoru i a2 
a1
4
1
3 = 4 + b
a1  4
4
1
a2 
3=1+b/-1
4
1
a2 
2=b
4
1
y= x+2
4
1
Odpowiedź: Równanie prostej prostopadłej to y = x + 2
4
Zadanie 3. (5 pkt)
Punkt A (4, 10) należy do okręgu stycznego do osi OX w punkcie B (4, 0). Wyznacz
równanie tego okręgu oraz współrzędne jego punktów przecięcia z osią OY.
Wyznaczam środek okręgu S = (a, b), który leży w środku odcinka AB
x A  xB
2
44 8
xs 
 4
2
2
S = (4, 5),
y A  yB
2
10  0 10
ys 
 5
2
2
xs 
ys 
AS = r = 5
Równanie okręgu x  a    y  b  r 2
(x - 4) 2 +(y - 5) 2 = 5 2
2
2
13
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
(x - 4) 2 +(y - 5) 2 = 25
Wyznaczam współrzędne punktów przecięcia z osią OY
Oś OY
x=0
Podstawiam do równania okręgu x = 0
(0 - 4) 2 +(y - 5) 2 = 25
(- 4) 2 +(y - 5) 2 = 25
16 + y 2 - 10y + 25 = 25 / - 25
16 + y 2 - 10y + 25 – 25 = 0
y 2 - 10y + 16 = 0
a = 1 b = - 10
c = 16
2
2
 = b - 4ac = (-10) - 4 116 = 100 – 64 = 36
=
36 = 6
b 
 (10)  6 10  6
4
=
=
= =2
2
2 1
2
2a
b 
 (10)  6 10  6 16
y2 
=
=
=
=8
2 1
2
2
2a
współrzędne punktów przecięcia z osią OY - (0, 2) ; (0, 8)
y1 
Odpowiedź: Równanie okręgu ma postać (x - 4) 2 +(y - 5) 2 = 25, a współrzędne punktów
przecięcia z osią OY, to (0, 2) ; (0, 8).
Zadanie 4. (2 pkt)
Okrąg o promieniu
wpisano trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna jest dwa
razy dłuższa od drugiej. Oblicz długość krótszej przyprostokątnej.
x - długość krótszej przyprostokątnej
2x - długość dłuższej przyprostokątnej
d - długość przeciwprostokątnej
r=
2x
Wyznaczam przeciwprostokątną trójkąta,
która jest średnicą d okręgu, czyli
d=
Korzystam z twierdzenia Pitagorasa:
5
x=4
Odpowiedź: Długość krótszej przyprostokątnej jest równa 4.
x
14
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
Zadanie 5. (2 pkt)
Uzasadnij, że prosta y = x + 2 nie jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty
A   1;3, B   6;7 .
Równanie prostej można zapisać w postaci y = ax + b i wyznaczyć z korzystając ze
współrzędnych punktów A i B, uzyskując w ten sposób układ dwóch równań z dwiema
niewiadomymi:
Rozwiązując metodą przeciwnych współczynników mnożę pierwsze równanie przez -1,
a następnie dodaje wyrazy stronami
– 3 + 7 = a – b + (–6a) + b
4 = – 5a /: (–5)
a=–
=> współczynnik kierunkowy drugiej prostej
b= 3–a=3–
=
4
4
x+3
5
5
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej odczytuje z równania prostej y = x + 2,
czyli a1 = 1.
Ostatecznie równanie drugiej prostej ma postać: y = 
Dwie proste są względem siebie prostopadłe, jeżeli iloczyn ich współczynników
kierunkowych jest równy –1, zatem gdy proste nie są prostopadłe to jest spełniony warunek:
W naszym przypadku
należało dowieść.
, czy proste nie są prostopadłe co
Odpowiedź: Iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest różny od 1, czyli
proste nie są prostopadłe co należało dowieść.
15
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO –TURYSTYCZNO – GASTRONOMICZNYCH NR 1
PRÓBNA MATURA – ZADANIA PRZYKŁADOWE
Zadanie 6. (2 pkt)
Dla jakich wartości współczynnika k funkcja y = x 2  kx + 4 nie ma miejsc zerowych?
Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych dla Δ < 0
a=1
b=–k
c=4
2
2
Δ = b – 4ac = (– k ) – 4∙1∙4 = k2 – 16
Zatem dostajemy nierówność:
k2 – 16 < 0
(k – 4)(k + 4) < 0
k–4=0
lub
k+4=0
k =4
k =–4
Oba rozwiązania nanosimy na oś OX i rysujemy parabolę dla a > 0, zatem jej ramiona są
skierowane do góry. Następnie patrzymy na znak nierówności (<), a więc szukamy
argumentów x, dla których k2 – 16 przyjmuje wartości ujemne, czyli innymi słowy
odpowiadający wykres leży pod osią OX.
–4
4
x
k   4;4
Odpowiedź: Funkcja kwadratowa y = x 2  kx + 4 nie ma miejsc zerowych dla k   4;4 .
16