FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
DEFINICJA (funkcja zespolona zmiennej zespolonej)
Niech D ⊂ C, Funkcję f : D −→ C nazywamy funkcją zespoloną zmiennej zespolonej.
D – dziedzina funkcji;
f (D) – zbiór wartości funkcji.
DEFINICJA (część rzeczywista i część urojona funkcji)
Niech f (z) = u(x, y) + iv(x, y), gdzie z = x + iy. Funkcję u(x, y) nazywamy częścią rzeczywistą,
a funkcję v(x, y) – częścią urojoną funkcji f (z).
Przyjmujemy Du = Dv = Df .
PRZYKŁADY
WAŻNIEJSZE FUNKCJE ZESPOLONE
1. Funkcja wykładnicza: f (z) = ez , gdzie
def
z = x + iy ⇒ ez = ex (cos y + i sin y) (wzór Eulera)
Inne oznaczenie: ez = expz.
FAKT (własności funkcji wykładniczej)
1. ez 6= 0 dla każdego z ∈ C;
2. |ez | = eRe z , Argez = Imz + 2kπ, k ∈ Z;
3. exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) exp(z2 );
4. exp(z1 ) = exp(z2 ) ⇐⇒ ∨k∈Z z1 = z2 + 2kπi.
PRZYKŁADY
2. Funkcje trygonometryczne:
def
cos z =
def
tg z =
eiz + e−iz
2
sin z
cos z
def
sin z =
def
ctg z =
eiz − e−iz
2i
cos z
sin z
FAKT (własności funkcji trygonometrycznych)
1. cos2 z + sin2 z = 1;
2. sin(z + 2kπ) = sin z, cos(z + 2kπ) = cos z;
3. sin(z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2 ;
4. cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 ∓ sin z1 sin z2 ;
5. cos z = 0 ⇐⇒ ∨k∈Z z =
π
2
+ kπ;
5. sin z = 0 ⇐⇒ ∨k∈Z z = kπ.
PRZYKŁADY
3. Funkcja logarytmiczna.
DEFINICJA Logarytmem naturalnym liczby zespolonej a 6= 0 nazywamy każdą liczbę
zespoloną z taką, że ez = a.
FAKT. Każda liczba zespolona a 6= 0 ma nieskończenie wiele logarytmów naturalnych
danych wzorem
Loga = ln |a| + iarga + 2kπi, k ∈ Z.
Dowód:
PRZYKŁADY
POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
DEFINICJA (pochodna funkcji zmiennej zespolonej)
Załóżmy, że funkcja f (z) jest określona na pewnym otoczeniu punktu z0 . Wtedy
f 0 (z0 ) = lim
∆z→0
f (z0 + ∆z) − f (z0 )
.
∆z
PRZYKŁADY
TWIERDZENIE (warunek konieczny istnienia pochodnej)
Jeśli istnieje f 0 (z0 ), to funkcja f (z) jest ciągła w z0 .
UWAGA Dla funkcji zespolonych prawdziwe są twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu,
ilorazu, złożenia funkcji oraz odpowiednik twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.
TWIERDZENIE (warunki konieczne istnienia pochodnej)
Jeśli funkcja f (z) ma w punkcie z0 = x0 + iy0 pochodną f 0 (z0 ), to funkcje u(x, y), v(x, y) mają
w punkcie (x0 , y0 ) pochodne cząstkowe pierwszego rodzaju spełniające równania Cauchy’egoRiemanna:

∂u
∂v



=

∂x
∂y
∂u
∂v .



= −

∂y
∂x
DOWÓD:
PRZYKŁADY
TWIERDZENIE (warunek wystarczający istnienia pochodnej)
Jeśli pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji u(x, y), v(x, y) są ciągłe w punkcie (x0 , y0 ) i
spełniają w tym punkcie równania Cauchy’ego-Riemanna, to funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
ma pochodną w punkcie z0 = x0 + iy0 . Ponadto
f 0 (z0 ) =
∂v
∂u
(x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ).
∂x
∂x
PRZYKŁADY
DEFINICJA (funkcja holomorficzna)
Mówimy, że funkcja f (z) jest holomorficzna w punkcie z0 , jeśli ma pochodną w pewnym otoczeniu tego punktu.
Mówimy, że funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze, jeśli jest holomorficzna w każdym
punkcie tego obszaru.
FAKT
Jeśli funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze D, to jej część rzeczywista i urojona są funkcjami harmonicznymi w obszarze D, tzn. spełniają w nim równania
uxx + uyy = 0,
vxx + vyy = 0.
Odwrotnie: Każda funkcja harmoniczna w obszarze D jest częścią rzeczywistą (urojoną) pewnej
funkcji holomorficznej.
PRZYKŁADY