Zadania geometryczne

Analiza matematyczna I, /
Krzysztof Rykaczewski
Zadania geometryczne
Zadanie 1. Promienie czerwonych okręgów są identyczne i wynoszą 2r , gdzie r to
promień zielonego okręgu.
Pokaż, że promień n-tego pomarańczowego okręgu jest równy n2r+2 , a promień n-tego
r
niebieskiego okręgu jest równy (2n−1)
2 +14 . Bardzo szybko wychodzi to indukcyjnie.
Zadanie 2. Okręgi pomarańczowy i niebieski są styczne do siebie
nawzajem i do prostej. Okrąg czerwony jest styczny do wszystkich
wspomnianych. Pokaż, że promień r3 czerwonego okręgu spełnia relację
1
1
1
√ =√ +√ ,
r3
r1
r2
gdzie r1 i r2 to promienie okregu pomarańczowego i niebieskiego.
Zadanie 3. Z punktu P na elipsie narysuj normalną. Przez Q oznaczmy jej drugi
2
2
punkt przecięcia z elipsą. Znajdź minimalną wartość |P
√ Q| gdy 2b < a , gdzie b
to mała oś, a a to duża oś elipsy. W przypadku gdy 2b ­ a ­ b to minimalną
wartością |P Q| jest b.√
2 2
Odpowiedź: |P Q| = 227a2 b 3 .
P
Q
(a +b ) 2
Zadanie 4. Zakładam konfigurację jak na rysunku po lewej. Pokaż, że
promienie niebieskich okręgów (dużego: r1 , średniego: r2 i małego: r3 )
spełniają zależność:
r22 = r1 r3 .
Zadanie 5. Podstawa pomarańczowego trójkąta leży na średnicy okręgu
zielonego. Średnica ta przechodzi przez środek czerwonego okręgu, który
jest wpisany w ten sposób, że jest wewnętrznie styczny do okręgu zielonego i do wierzchołka trójkąta. Niebieski okrąg jest wpisany w ten sposób,
że dotyka w jednym punkcie okręgu zielonego, czerwonego i trójkąta. Narysowany na rysunku odcinek łączy wierzchołek przy podstawie trójkąta
i środek okręgu niebieskiego. Pokazać, że jest on prostopadły do narysowanej średnicy zielonego okręgu.
Zadanie 6. Każdy z okręgów pomarańczowych ma inny promień i jest
styczny wewnętrznie do kwadratu o boku a i do niebieskiego okręgu. Niech
r1 , r2 , r3 i r4 są promieniami górnego prawego, górnego lewego, dolnego
lewego i dolnego prawego pomarańczowego okręgu, odpowiednio, wtedy
p
2(r1 r3 − r2 r4 ) + 2(r1 − r2 )(r1 − r4 )(r3 − r2 )(r3 − r4 )
a=
.
r1 − r2 + r3 − r4
Zadanie 7. Walec przecina sferę w ten sposób, że zewnętrze walca jest styczne do
wnętrza sfery. Jakie
p jest pole powierzchni części walca zawartej wewnątrz sfery?
Odpowiedź: 16t t(r − t), gdzie r i t są promieniami sfery i walca, odpowiednio.
Wskazówka: można skorzystać z całki.
Zadanie 8. Dwie czerwone kule stykają się i dotykają również wewnętrznie dużej zielonej kuli. Mniejsze niebieskie kule o różnych rozmiarach tworzą ”naszyjnik”. Każda sfera niebieska w ”naszyjniku” dotyka jej najbliższych sąsiadów, a wszystkie one dotykają zarówno sfery czerwonej jak i
zielonej kuli. Pokazać, że może być tylko sześć niebieskich kul. Ponadto
ich promienie (kolejno od t1 do t6 ) są związane zależnością
1
1
1
1
1
1
+
=
+
=
+ .
t1
t4
t2
t5
t3
t6
Zadanie 9. Niech duża kula będzie otoczona przez 30 mniejszych identycznych
kul, z których każda dotyka czterech małych sąsiadów, a także dużej kuli. W jaki
sposób promień dużej
kuli jest związany z promienień małych kuleczek?
√
Odpowiedź: R = 5r, gdzie R to promień dużej kuli, a r to promień małych kuleczek.
1
Analiza matematyczna I, /
Krzysztof Rykaczewski
Zadania geometryczne
Zadanie 10. Pokaż, że promień n-tego okręgu wpisanego w parabolę
y = x2 wynosi n.
Zadanie 11. Sfera wpisana w czworościan ABCD jest styczna do ściany ABC w
punkcie H. Druga sfera jest styczna do ściany ABC w punkcie O oraz jest styczna
do płaszczyzn zawierających pozostałe ściany tego czworościanu w punktach, które
do czworościanu nie należą. Dowieść, że jeżeli O jest środkiem okręgu opisanego na
trójkącie ABC, to H jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.
2