Średnia prędkość masowa

1. Definicje podstawowe
Rys. 1.1. Profile prędkości w rurze.
A przepływ laminarny, B - przepływ burzliwy.
Liczba Reynoldsa Re 
w D

 [m2/s] - współczynnik lepkości kinematycznej
Re  2300 - przepływ laminarny
Re  10000 - przepływ burzliwy
Średnia prędkość masowa
A
m wm2
w2
E k 
  w
dA
2
2
0
(1.1)
gdzie w dA  dm
Średnia prędkość objętościowa
A
V  Awv   wdA
(1.2)
0
gdzie wdA  dV
w 
   m 
 wv 
2
(1.3)
Wartości współczynnika α dla przekroju kołowego:

dla przepływu burzliwego   1 ,

dla przepływu laminarnego   2 .
1
Równanie ciągłości strumienia dla stanu stacjonarnego
m  Aw 
Aw
 idem
v
(1.4)
Parametry spiętrzenia dla przepływu izentropowego
Parametry stanu, jakie miałby czynnik po zatrzymaniu go na przeszkodzie, przy założeniu, że
kompresja byłaby izentropowa. Dla gazu doskonałego
i0  i1 
w12
2
(1.5)
i0  c pT0
(1.6)

p0  T0   1
 
T 
 1
(1.7)
p0v0  RT0
(1.8)
p1
2. Adiatermiczny stacjonarny przepływ gazu w kanale
Przy pominięciu zmian energii potencjalnej, bilans energii dla stacjonarnego ( E u  0 ) przepływu adiatermicznego przez nieruchomy kanał ma postać
E d  E w
[W]
(2.1)
gdzie

w12 



Ed  m i1 

2 

(2.2a)

w2 
E w  m  i2  2 

2 

(2.2b)
Podstawienie (2.2a) i (2.2b) do (2.1) daje
i1 
w12
w2
 i2  2
2
2
J 
 kg 
 
(2.3)
Stąd prędkość na wylocie z kanału
2
w2  2i1  i2   w12
[m / s]
(2.4)
Jeżeli w1  0 lub i1 jest entalpią spiętrzenia, to
w2  2i1  i2 
(2.5)
Dla gazu doskonałego i  c pT , stąd dla tego przypadku (2.4) przechodzi w
w2  2c p T1  T2   w12
(2.6)
a (2.5) przyjmuje postać
w2  2c p T1  T2 
(2.7)
W (2.7) w1  0 lub T1 jest temperaturą spiętrzenia.
3. Przepływ izentropowy gazu doskonałego
W rozważaniach poniżej numerem "1" oznaczono parametry spiętrzenia. Dla przepływu izentropowego gazu doskonałego jest
T2  p2 
 
T1  p1 
 1

(3.1)
Równanie (2.7) można przekształcić do postaci
 T 
w2  2c pT1 1  2 
 T1 
(3.2)
Do (3.2) podstawiamy teraz prawą stronę równania (3.1) oraz c p 
 1 

2
 p   
w2 
RT1 1   2  
 1
p
  1 


(3.3)
 1 

2
 p   

p1v1 1   2 

 1
p
  1



w2 osiąga wartość maksymalną, gdy p2  0
3
R
. Otrzymujemy
 1
2
2
RT1 
pv
 1
 1 1 1
w2 max 
(3.4)
Strumień gazu w przekroju 2
m 
A2 w2 A2

v2
v2
 1 

2
 p   
p1v1 1   2 

 1
p
  1



(3.5)
Z równania izentropy
1/ 
p 
v2   1 
 p2 
(3.6)
v1
Równanie (3.6) podstawiamy do prawej strony równania (3.5)
m 
A2 w2
 A2
v2
2
 1 


 p2   
2 p1  p2 


 


  1 v1  p1 
 p1 




(3.7)
4. Parametry krytyczne
 jest
Niech w1  0 . Dla skończonej wartości strumienia m
A1 
m v1 m v1


w1
0
(4.1)
Rozprężanie gazu do ciśnienia p2  0 prowadzi do skończonej prędkości w2  w2 max (wzór
3.4), przy czym v2  RT2 p2  
A2 
m v2 m 


w2
w2
(4.2)
Dla p1  p2  0 pole przekroju poprzecznego kanału ma wartość skończoną, czyli kanał
składa się z części zbieżnej i rozbieżnej. Wyznaczymy teraz stosunek ciśnień  
p2
, gdzie
p1
"2" dotyczy przekroju minimalnego, a "1" przekroju wlotowego do kanału. W tym celu wykorzystamy zależność
4
m  A2
2
 1


2 p1  p2    p2   
   
 idem
  1 v1  p1   p1  


(4.3)
  idem oraz A2  min , wyrażenie
Dla m
2
 p   p 
K   2    2 
 p1 
 p1 
 1

2
 
 1
 
(4.4)
osiąga maksimum. Funkcja K   jest wypukła do góry. Warunek na jej maksimum jest więc
następujący
dK  
0
d
(4.5)
Po wykonaniu różniczkowania otrzymujemy
2

2

1
 1



 1
1

0
(4.6)
Z równania (4.6) wyznaczamy 

p
 2   1
 
   kr

p1
   1
(4.7)
 - krytyczny stosunek ciśnień; pkr - ciśnienie krytyczne
Pozostałe parametry termiczne w przekroju krytycznym
Tkr  pkr 


T1  p1 
 1

1

 2   1


  1


 1

1

2
 1
(4.8)
1

vkr  p1      1   1     1   1
  
 



v1  pkr 
 2 
 2 
(4.9)
Prędkość krytyczną wyznaczamy z zależności
 1 

 


p
2

w2 
p1v1 1   2 

 1
p
  1



(4.10)
Po podstawieniu do (4.10) wyrażenia (4.7) na krytyczny stosunek ciśnień otrzymujemy
5
wkr
  1 


2
 2   1  

p1v1 1  
    1 

 1


(4.11)

2
pv
 1 1 1
Po wprowadzeniu do (4.11) zależności p1v1  RT1 oraz Tkr / T1  2 /   1 dostajemy
wkr   RTkr
(4.12)
Prędkość krytyczna równa jest prędkości dźwięku dla parametrów krytycznych.
wkr  a
(4.13)
Gdy prędkość wlotowa do kanału jest niezerowa, indeks "1" oznacza parametry spiętrzenia.
Liczba Macha
M 
w
a
(4.14)
M > 1  w > a - prędkość naddźwiękowa
M < 1  w < a - prędkość poddźwiękowa
Rodzaje dysz:
 Bendemanna – kanał zwężający się: p2min = pkr, wmax= a
 de Lavala – kanał zwężający się, a następnie rozszerzający się: p2min = 0, wmax > a
5. Przepływ przez dyszę de Lavala
Równanie ciągłości strumienia
m  Aw  idem
(5.1)
Równanie (5.1) różniczkujemy stronami
0  wdA  Adw  Awd
(5.2)
Następnie otrzymane równanie (5.2) dzielimy obustronnie przez Aw w wyniku dostając
dA dw d


0
A
w

(5.3)
Równanie bilansu energii w kanale
6
w2
i
 idem
2
(5.4)
Po obustronnym zróżniczkowaniu (5.4) otrzymujemy
di  wdw  0
(5.5)
Pierwsza zasada termodynamiki
dq  di  vdp
(5.6)
Dla przemiany izentropowej dq  0 . Stąd z równania (5.6) dostajemy
di  vdp 
dp
(5.7)

Prawą stronę równania (5.7) podstawiamy do równania (5.5)
dp

 wdw  0
(5.8)
Równanie (5.8) jest równaniem Bernoulliego w postaci różniczkowej. Z równania (5.8) wyznaczamy 
 
dp
wdw
(5.9)
W równaniu (5.3) ρ zastępujemy prawą stroną równania (5.9)
dA dw d


wdw  0
A
w dp
(5.10)
Równanie izentropy
p

 idem
(5.11)
Równanie (5.11) różniczkujemy stronami
dp



  p d
  1
0
(5.12)
Z równania (5.12) wyznaczamy dp d
dp
p
   RT  a 2
d

(5.13)
gdzie a jest prędkością dźwięku. W równaniu (5.10) w miejsce d dp wstawiamy 1 a 2
7
dA dw w


dw  0
A
w a2
(5.14)
dw w wyciągamy przed nawias
dA dw  w2 

1
0
A
w  a 2 
(5.15)
Wprowadzając do równania (5.15) liczbę Macha (wzór 4.14) można to równanie przedstawić
w formie


dA
dw
 M 2 1
A
w
(5.16)
Podczas ekspansji izentropowej gazu doskonałego przepływającego przez kanał o zmiennym
przekroju, prędkość wzdłuż kanału wzrasta. Ze wzoru (5.16) widać, że tak długo jak prędkość
gazu jest niższa niż prędkość krytyczna (dźwięku), kanał musi się zwężać ( dA A musi być
ujemne przy dodatnim dw w ).
Na rysunku wyżej c jest prędkością gazu.
8
6. Przepływ rzeczywisty z tarciem
Sprawność dyszy
d 
i1  i2
i1  i2 s
(6.1)
Współczynnik prędkości

w2
w2 s
(6.2)
w22
2
 w2 
2
   2
 d  2  
w2 s  w2 s 
2
(6.3)
9