1 Praca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Zad. 1.1. Oszacuj grubość

Praca domowa nr 1. Metodologia Fizyki.
Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych
Wprowadzenie: W wielu zagadnieniach interesuje nas przybliżona wartość wielkości fizycznej X. Może to
być spowodowane tym, że wyznaczenie dokładnej wartości trwałoby długo, wymagałoby dodatkowych informacji
lub danych, którymi nie dysponujemy albo są nam niepotrzebne. W innych przypadkach chcemy jedynie mieć
grube oszacowanie wartości wielkości fizycznej z dokładnością, jak mówimy, co do rzędu wielkości. Szacowanie
prowadzimy w następujący sposób: Liczbę x określającą miarę (liczbę jednostek) wielkości X w układzie SI
zaokrąglamy do jednej cyfry znaczącej i zapisujemy ją w systemie dziesiętnym w postaci wykładniczej (scientific
notation): M·10n; gdzie M – liczba rzeczywista, n – wykładnik. Np. jeśli znamy odległość 4243 m, to l ≅ 4·103
m, a jeśli znamy liczbę sekund 3641 s, to t ≅ 3·103 s. Następnie na tak otrzymanych liczbach dokonujemy operacji
algebraicznych i otrzymany wynik zapisujemy w postaci liczby wykładniczej o podstawie dziesięć z jedną cyfrą
znaczącą. Przykładowo, jeśli szacujemy rząd wartości prędkości v = l/t, gdzie l = 2 160 128 m i t = 3 641 s, to w
szacowaniu przyjmujemy kolejno l ≅ 2·106 m, t ≅ 4·103 s i otrzymujemy v ≅ (2·106 m)/(4·103 s) = 5·102 m/s.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zad. 1.1. Oszacuj grubość d kartki papieru wybranej przez siebie książki, mierząc najpierw jej
grubość i odczytując liczbę stron.
Zad 1.2. Oszacuj liczbę protonów we własnym ciele, zakładając, że ciało składa się w 85% z wody.
Zad. 1.3 Oszacuj powierzchnię i objętość swego ciała.
Zad. 1.4 Oszacuj liczbę uderzeń serca w ciągu prognozowanego samodzielnie czasu swego życia.
Zad. 1.5 Oszacuj liczbę oddechów w ciągu prognozowanego samodzielnie czasu swego życia.
Zad. 1.6 Oszacuj liczbę atomów miedzi w jednym metrze sześciennym tego metalu, niezbędne dane
znajdź w tablicach.
Zad. 1.7 Oszacuj liczbę atomów powietrza w pomieszczeniu, w którym aktualnie przebywasz.
Zad. 1.8 Oszacuj liczbę cząsteczek wody we własnym ciele, zakładając, że ciało składa się w 80%
z wody.
Uwaga: Niezbędne dane postaraj się określić/przyjąć/wyznaczyć samodzielnie.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Grupa 2. Podstawy analizy wymiarowej
Podstawy analizy wymiarowej (patrz http://www.foton.if.uj.edu.pl/documents/12579485/1b32a7ad-e4b54c58-a5f0-eb6300fd742b). Znak równości w fizyce oznacza równość wartości (liczby jednostek) i wymiarów
(jednostek) wielkości fizycznych znajdujących się po obu stronach znaku. Każda pochodna wielkość fizyczna ma
wymiar, który wyraża się za pomocą (wymiarów) wielkości podstawowych układu SI. Wymiarami podstawowych
wielkości fizycznych w SI są na podstawie definicji: długość – symbol L, czas – symbol T, masa – symbol M,
temperatura – symbol K, natężenie prądu – symbol I, światłość – symbol C. Wymiar wielkości pochodnej X –
symbol dim X = [X], jest określany za pomocą definicji tychże wielkości i jest wyrażany jest w postaci iloczynu
lub ilorazu wielkości/wymiarów podstawowych w odpowiednich potęgach (podniesionych do odpowiednich
potęg), wykładniki potęgowe nazywa się wykładnikami wymiarowymi. Jeśli pochodną wielkością fizyczna jest
praca, to dim P = [P]= (dim F)·L=MLT-2L= L2MT-2. Symbole pochodnych wielkości fizycznych piszemy kursywą,
a wymiar X oznaczamy zamiennie symbolami: dim X lub [X]. Analiza wymiarowa traktuje wymiary jako
wielkości algebraiczne, na których można wykonywać podstawowe działania algebraiczne (dodawanie,
odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie). Dwie podstawowe reguły analizy
wymiarowej:
R1. Wielkości fizyczne mogą być dodawane lub odejmowane pod warunkiem, że mają ten sam wymiar.
R2. Wymiary strony lewej i prawej poprawnie sformułowanej równości wielkości fizycznych powinny być takie
same.
1
Przykład 1. Czy poprawnym jest wzór s = const at2, określający zależność drogi od czasu w prostoliniowym ruchu
jednostajnie przyspieszonym?
Rozwiązanie: [s] = L, a wymiar prawej strony [at2] = [a][t2] = (LT-2)T2 = L. Odpowiedz: Wzór jest poprawny z
dokładnością do bezwymiarowego czynnika const.
Zastosujemy analizę wymiarową do wyznaczenia postaci zależności funkcyjnej typu iloczynowego między kilkoma
wielkościami fizycznymi.
Przykład 2. Załóżmy, ze hipotetyczna zależność między przyspieszeniem a ciała wykonującego ruch po okręgu o
promieniu R ze stała prędkością v jest postaci a = va ·Rb. Jakie są wartości wykładników wymiarowych a i b?
Rozwiązanie: Skorzystamy z tego, że dim a =[a]= LT-2 i że ten sam wymiar powinna mieć prawa strona wzoru, tj.
dim (va ·Rb)=[ va ·Rb] = (LT-1)a ·Lb = La+bT-a. Aby więc wymiary obu stron wzoru były zgodne winny zachodzić
równości a+b = 1 i –a = –2. Zatem mamy odpowiedź: a = 2 i b = 1, jak powinno być. Uwaga: Powyższą analizę
można przeprowadzić posługując się w miejsce wymiarów jednostkami wielkości fizycznych.
Przypomnijmy wartości i wymiary uniwersalnych stałych przyrody:
– stała grawitacji: G = 6,67·10 -11 L3/(MT2), dim G = [G] = L3M-1T-2,
– stała Diraca: ℏ = h/2π = 1,06·10-34 kg·m2/s, więc dim ℏ = dim h = M1L2T-1,
– prędkość światła: c = 3·108 m/s, dim c = M1T-1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zad. 2.1. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć zależność i obliczyć wartości
wykładników a, b, c, jeśli założona zależność ma postać tP = ( ℏ )a (c)b (G)c – czas (sekundę) Plancka;
więcej na stronach http://pl.wikipedia.org/wiki/Jednostki_Plancka i http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/metodologia_fizyki.pdf.
Zad. 2.2. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć zależności i obliczyć wartości
wykładników d, e, f, jeśli założyć, że poszukiwana zależność ma postać lP = ( ℏ )d (c)e (G)f – długość
(metr) Plancka); więcej na stronach http://pl.wikipedia.org/wiki/Jednostki_Plancka i http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/metodologia_fizyki.pdf.
Zad. 2.3. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć postać matematyczną zależności
prędkości V fali mechanicznej w metalu zakładają, że zależność ta ma postać (E)d (ρ)e, gdzie E – moduł
Younga, ρ – gęstość metalu, tj. należy wyznaczyć wartości wykładników d i e.
Zad. 2.4. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć zależności czasu T obiegu gwiazdy
o masie m planety orbitującej wokół tej gwiazdy w odległości r, wiedząc, że szukana zależności jest
dana wzorem (G)a (r)b(m)c, gdzie G – stała grawitacji; należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c.
Zad. 2.5. Siła F bezwładności Coriolisa, działa na ciała o masie m poruszające się z prędkością o wartości V w układzie odniesienia obracającym się z prędkością kątowa ω, przy czym wartość F dana jest
(zakładamy) formułą (m)a (V)b(ω)c; należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c korzystając z reguł
analizy wymiarowej.
Zad. 2.6. Liczba Reynoldsa LRE służy do określania charakteru przepływu rzeczywistego płynu
o lepkości dynamicznej µ (jednostką jest Pa⋅s), gęstości ρ poruszającego się z prędkością V w rurze
o średnicy D. Jeśli LRE > 2100 przepływ jest płynu jest laminarny. Zakładając, że szukana zależność
matematyczna ma postać (µ)a(V)b(D)c(ρ)d, należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c i d
korzystając z reguł analizy wymiarowej.
Zad. 2.7. Wartość prędkości cząsteczek gazu idealnego V zależy od masy cząsteczki, stałej Boltzmanna
kB oraz temperatury bezwzględnej T gazu, przy czym wartość V dana jest (przypuszczamy) wzorem
(m)a(kB)b(ωT)c; należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c korzystając z reguł analizy
wymiarowej.
Zad. 2.8. Wartość energii E elektronu w modelu Bohra atomu wodoru zależy od masy elektronu m,
ładunku elektronu q, przenikalności elektrycznej próżni ε0 i stałej Plancka h. Zakładając, że
poszukiwana zależności jest postaci (m)a(q)b(h)c(ε0)d wyznacz wartości wykładników a, b, c i d
korzystając z reguł analizy wymiarowej.
2
Grupa 3. Elementy rachunku różniczkowo-całkowego
Rozwiąż zadanie korzystając z tablic matematycznych, zamieszczonych poniżej;
należy znaleźć w tablicy odpowiednie wzory i zastosować je.
Przykład. Całka nieoznaczona jest rodziną funkcji, których pochodne sa równe funkcji podcałkowej; całka
oznaczona jest liczbą, której wartość obliczamy, jako różnicę wartości całki nieoznaczonej, odpowiednio, dla
górnej i dolnej granicy całkowania. Przykład:
t2
∫ ln xdx = x ln x − x + const, ale ∫t
1
t
ln xdx = ( x ln x − x ) t2 = t2 ln t2 − t2 − ( t1 ln t1 − t1 ) .
1
Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że pochodna funkcji pierwotnej x ln x − x + const jest równa
funkcji podcałkowej ln x.
Zad. 3.1 Wyznaczyć pochodną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (patrz tablica wzorów matematycznych):
v (t ) =
d
( sin ( A t ) ) ,
dt
t2
sin ( At ) dt ; A − stała.
∫ cos ( At ) dt, ∫t
1
Zad. 3.2 Wyznaczyć pochodną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (patrz tablica wzorów matematycznych):
v (t ) =
d
( cos ( A t ) ) ,
dt
t2
∫ sin ( At ) dt, ∫t
cos ( At ) dt ; A − stała.
1
Zad. 3.3 Wyznaczyć pochodną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (patrz tablica wzorów matematycznych):
v (t ) =
d
( ln ( A t ) ⋅ sin (ω t ) ) ,
dt
∫ sin
2
t dt ,
6 −2 t
∫1 e
dt ; A − stała.
Zad. 3.4 Wyznaczyć pochodną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (patrz tablica wzorów matematycznych):
v (t ) =
(
)
d
e A t ⋅ sin ( A t ) ,
dt
2
∫ cos t dt,
6
∫1 t ⋅ e
−2 t
dt ; A − stała; ws-ka:
sin 2 t + cos2 t = 1.
Zad. 3.5 Wyznaczyć pochodną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (patrz tablica wzorów matematycznych):
(
)
2
d
v (t ) =
eAt ,
dt
∫
dt
2
t +A
2
dt
6
∫1
,
2
2
t +3
dt ; A − stała.
Zad. 3.6 Wyznaczyć pochodną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (patrz tablica wzorów matematycznych):
v (t ) =
(
) ∫
d
sin ( A t ) e A t ,
dt
tdt
(t
)
2 3/2
2
+A
,
tdt
4
∫1
(t
2
+ 72
)
3/2
; A − stała.
Zad. 3.7 Wyznaczyć pochodną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (patrz tablica wzorów matematycznych):
v (t ) =
d
( A t ⋅ ln ( A t ) ) ,
dt
∫
dt
(t
2
)
2 3/2
+A
,
dt
7
∫5
(t
2
+ 72
)
3/2
; A − stała.
Zad. 3.8 Wyznaczyć pochodną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (patrz tablica wzorów matematycznych):
v (t ) =
(
) ∫ t 2 t+dtA2 , ∫ t
(
d
A t 2 + ln ( A t ) ,
dt
dt
5
2
Wrocław, 1 X 2015
2
+ 72
)
3/2
; A − stała.
W. Salejda
3
Pożyteczne materiały dostępne w Internecie
http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki
http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Działania_na_wektorach#Iloczyn_mieszany
Dowód ze strony: http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Działania_na_wektorach#Iloczyn_mieszany
Iloczyn mieszany
Pierwsza równość w (1.23) jest iloczynem skalarnym wektorów c i a × b . Tożsamości (1.24) są następstwem
właściwości wyznacznika z (1.23). Przestawiając pierwszy wiersz kolejno z drugim i trzecim otrzymujemy pierwszą równość
(1.24), tj.
ax
ay
ac
bx
by
bz .
cx
cy
cc
Podobnie przestawiając ostatni wiersz kolejno z drugim i pierwszym dostajemy drugą równość w (1.24), tj.
bx
by
bc
cx
cy
cz .
ax
ay
ac
Wrocław, 22 lutego 2016
W. Salejda
4
5
6
Wrocław, 12 X 2009
K. Tarnowski
7