Geometria analityczna: zadania o stycznej do okręgu Geometria

Geometria analityczna: zadania o stycznej do okręgu
We wszystkich zadaniach o stycznej do okręgu polecamy wykorzystywanie wzoru na
odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym.
ogólnym.
W większości przypadków daje to rozwiązanie
rozwiązanie kosztem najmniejszej ilości obliczeń.
Rozwiążemy dwa przykładowe zadania.
Zadanie 1
Wyznacz równania stycznych do okręgu '( + (+ − ()( = / i prostopadłych do prostej o
równaniu + = (' − 0..
Styczne są prostopadłe do prostej + = (' − 0,,
dlatego mają równania:
3
+=− '+4
(
(+ = −' + (4
' + (+ − (4 = 5
Odległość środka okręgu 7 = (5, () od stycznej
wynosi √/::
√/ =
√/ =
|0 − (4| = /
0 − (4 = / >?4 0 − (4 = −/
4=−
3
(
>?4
3
3
4=
Równania stycznych:
+ = −(' − (
>?4
|5:(∙(<(4|
=3( :((
|0<(4|
√/
@
(
3
@
+ = −(' + (
Zadanie 2
Wyznacz równania stycznych do okręgu '( + (+ − ()( = / i przechodzących przez punkt
B = (C, −()..
Styczne o równaniach + = D' + 4 przechodzą
przez punkt B = (C, −(),, dlatego:
−( = CD + 4 ⟺ 4 = −CD − (
Równania stycznych:
+ = D' − CD − (
D' − + − CD − ( = 5
Odległość środka okręgu 7 = (5, () od stycznej D' − + − CD − ( = 5 wynosi √/::
√/ =
|D∙5<(<CD<(|
=D( :(<3)(
√/ ∙ √D( + 3 = |−CD − 0|
/(D( + 3) = @D( + (0D + 3F
/D( + / = @D( + (0D + 3F
0D( + (0D + 33 = 5
∆= /HF − 3F ∙ 33 = /HF − 3HF = 055
D3 =
<(0<(5
I
=−
00
I
=−
Równania stycznych:
−
33
(
' − + − C ∙ J−
33
(
33
(
,
K−(=5
33' + (+ − CC + 0 = 5
33' + (+ − (@ = 5
D( =
<(0:(5
I
>?4
>?4
>?4
3
0
=− =−
I
3
(
3
− ' − + − C ∙ J− K − ( = 5
(
(
' + (+ − C + 0 = 5
' + (+ + 3 = 5