WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków
działań, na przykład:
Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
WARTOŚĆ LICZBOWA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNEGO
Wartością liczbową wyrażenia algebraicznego dla danych wartości zmiennych nazywamy liczbę, którą
otrzymamy po podstawieniu tych wartości w miejsce zmiennych.
Wyrażenia algebraiczne służą do symbolicznego zapisywania różnych wielkości. Na przykład pole
prostokąta o bokach
i
zapisujemy za pomocą wyrażenia
, a objętość walca o promieniu r i
wysokości h za pomocą wyrażenia
.
JEDNOMIAN
Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych, na przykład:
,
,
itd.
Jednomiany podobne (wyrazy podobne), to jednomiany, w których występują te same zmienne w tej
samej potędze – jednomiany podobne mogą różnić się jedynie współczynnikiem liczbowym.
Jednomiany podobne można dodawać i odejmować (redukować). Zapisywanie jednomianów w
najprostszej postaci nazywamy porządkowaniem.
SUMA I ILOCZYN ALGEBRAICZNY
Sumę dwóch lub większej liczby jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.
Na przykład sumy algebraiczne to:
,
,
Iloczyn dwóch lub większej liczby sum algebraicznych nazywamy iloczynem algebraicznym.
Na przykład iloczyny algebraiczne to:
,
,
DZIAŁANIA NA WYRAŻENIACH ALGEBRAICZNYCH
Reguły opuszczania nawiasów. Jeżeli w sumie algebraicznej występują nawiasy, to nawiasy
poprzedzone znakiem plus (lub gdy nie ma przed nimi żadnych znaków), można usunąć bez zmiany
znaków przed wyrazami w nawiasach, na przykład:
nawiasy poprzedzone znakiem minus, można usunąć, zmieniając jednocześnie znak każdego wyrazu
występującego w nawiasie na przeciwny, na przykład:
Dodawanie sum algebraicznych. Aby wykonać dodawanie, należy najpierw opuścić nawiasy, a
następnie zredukować wyrazy podobne, na przykład:
1
Odejmowanie sum algebraicznych. Aby wykonać odejmowanie, należy najpierw opuścić nawiasy, a
następnie zredukować wyrazy podobne, na przykład:
Mnożenie sum algebraicznych przez jednomian. Aby wykonać mnożenie sumy algebraicznej przez
jednomian, należy każdy składnik sumy pomnożyć przez ten jednomian według następującego wzoru:
Jest to tzw. prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania, na przykład:
Mnożenie sum algebraicznych przez siebie. Aby wykonać mnożenie sum algebraicznych przez siebie
należy każdy składnik pierwszej sumy pomnożyć przez każdy składnik drugiej sumy, według wzoru:
Na przykład:
KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ
Matematyka to sztuka a w każdej sztuce konieczne jest opanowanie rzemiosła. Tym „rzemiosłem” jest
prawidłowe wykonywanie działań. Opiszę to na przykładzie. Przypuśćmy, że mamy obliczyć wartość
wyrażenia:
[
]
Pierwszeństwo mają działania w nawiasach. W nich z kolei zaczynamy od potęgowania, następnie
wykonujemy mnożenie, a następnie dodawanie. Na końcu rezultat musimy podnieść do potęgi
.
A zatem
,
. W nawiasie mamy zatem
. Na koniec –
Zapamiętajmy – najpierw wykonujemy potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie (w kolejności zapisu), a
następnie dodawanie i odejmowanie (też w kolejności zapisu). Kolejność zapisu oznacza, że
,
gdyż najpierw dzielimy 4 przez 5 a następnie wynik mnożymy przez 2. Gdybyśmy operacje wykonali w
innej kolejności otrzymalibyśmy inny (nieprawidłowy) rezultat.
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
kwadrat sumy
kwadrat różnicy
różnica kwadratów
sześcian sumy
sześcian sumy
suma sześcianów
suma sześcianów
2
ZAMIANA SUMY ALGEBRAICZNEJ NA ILOCZYN
Zamianę sumy algebraicznej na iloczyn możemy dokonać poprzez:
 wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias, na przykład:
 wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, na przykład:
 grupowanie wyrazów, na przykład:
POTĘGI O WYKŁADNIKU NATURALNYM
Potęgowanie to po prostu mnożenie przez siebie danej liczby określoną ilość razy. Zapisujemy to
następująco:
i tych jest n. Na przykład
wykładnikiem. Oczywiście
. Liczbę nazywamy podstawą potęgi a
. Na potęgach można wykonywać działania. I tak:
jej
Na przykład
Na przykład
Na przykład
Na przykład
POTĘGI O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM
Jeżeli
i
jest liczbą naturalną to:
.
Na potęgach o wykładniku ujemnym obowiązują wszystkie podane wyżej działania (tak samo jak dla
dodatnich).
PIERWIASTEK
Jeżeli
i
Pierwiastek stopnia
Przykłady: √
to pierwiastkiem stopnia
z liczby
nazywamy taką liczbę , że
z liczby oznaczamy √ . Jeżeli
to w zapisie pomijamy i piszemy √ .
, bo
,√
, bo
,√
.
, bo
Nietrudno zauważyć, że nie z każdej liczby da się łatwo wyciągnąć pierwiastek. Już liczba sprawia
kłopoty. Podobnie
i wiele wiele innych. Jednak takie pierwiastki istnieją i są liczbami
niewymiernymi. Będziemy je zapisywać właśnie w postaci √ √ √
i zajmiemy się nimi później.
Liczbą niewymierną jest również dobrze znana liczba . Ma ona jednak inny „typ” niewymierności.
3
LOGARYTM
Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę
b. Matematycznie zapiszemy tą definicję tak:
A zatem żeby obliczyć
, wystarczy odpowiedzieć na pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść
liczbę a, żeby otrzymać liczbę b?”. Logarytm istnieje tylko wtedy, gdy spełnione są trzy warunki,
nazywane dziedziną logarytmu.
podstawa logarytmu musi by ć zawsze liczbą dodatnią, czyli:
 podstawa musi być różna od 1, zatem:
,
 liczba logarytmowana musi być dodatnia, czyli:
.
Własności logarytmów:

,
1.
2.
3.
4.
5.
=
6.
ZADANIA SPRAWDZAJĄCE
1.
Zapisz poniższe wyrażenia w postaci pojedynczej potęgi
a)
=
b)
=
c)
=
d)
e) ((
2.
=
)
Zapisz poniższe wyrażenia w postaci potęgi liczby
a)
√
b) √
√
,
√
√
√
√
√
,
√
c) (√ ) (√ )
(
√ )
d) √ , (√ ) , (
√
)
e) √
4
)
√ ,
√
√
,
√
√
punkty a b c i
punkty d, e, f):
f) √√ , √ √ , √ √ , √ √ √ , √ √ √
3.
Oblicz wartości wyrażeń
a)
b)
c)
d)
e)
4.
Wykonaj działania
a)
b)
(
c) (
)
( )
b)
√
√
c) (
√
√
√
d) √
√
√
) √
√
√
√
√
√
Usuń niewymierności z mianowników ułamków
a)
7.
) =
(
Uprość wyrażenia
a) √
6.
) =
(
d)
5.
)
b)
√
√
√
c)
√
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia
a) [(
√ )
b) [(
√ )
c)
√
√
√
√
(
√ ) ]
(
√ ) ]
d)
8.
5
Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego:
a) liczbę o
mniejszą od liczby m
b) liczbę razy większą od liczby w
c) połowę liczby g
d) kwadrat liczby p
d)
√
√
e)
√
e)
f)
g)
h)
9.
iloraz kwadratu liczby a przez 5
pole 5 razy mniejsze od pola P
objętość razy większą od objętości V
trzy kolejne liczby naturalne pierwszą z nich oznacz n
Doprowadź do najprostszej postaci
a)
–
b)
–w
c)
–
d)
a
w– a
–
–
a–
–a
e)
a–
a
f)
a
b–
g)
–
h)
a
–
a– b
–
–
b– c
a– b
–
c – a– b
c
10. Wykonaj mnożenie i zredukuj wyrazy podobne:
a) a
b a
b
b)
t
s t
s
c)
d)
–
–
e)
m–
m–
f)
a
g)
a–
b– c
h)
b– c
b
c
b– c
11. Zastosuj wzory skróconego mnożenia
a)
b) √
√
c)
√
√
d) (
)
e)
f)
g)
b
h)
a
ab
ab
i)
y
j) (x–3)(x+3) =
k) (3x+7) (3x–7) =
l) ( √
√ )( √
√ )
12. Zamień sumy algebraiczne na iloczyny:
a)
y
y
b) 25 + 20xy + 4y =
c) a – 2a + 1 =
d) y – 10ay + 25a =
6
e)
f)
g)
h)
i)
4y – 24xy + 36
16 – b =
– 25 =
4a – 49 =
36z – 9 =
=
13. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci stosując wzory skróconego mnożenia
a)
y
–y
y
b)
–
c)
–
–
14. Rozłóż wyrażenia na czynniki
a) a b – ab
b) a
ab
b
c)
– y
d)
–
e) a
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
ay
a –
am
ac
a
a
b
by
ay
b – by
an
m
n
bc
a
b
ab
ac
bc
b
b c
c
a
15. Rozwiąż równania
a)
b)
c) –
d) –
–
e) –
f)
y
g)
y
h)
i)
–
j)
k)
l)
–
–
m)
n)
o)
–
–
–
–
p) –
q)
7
–
–
–
–
–
r)
–
–
s) – a
t)
u)
a–
– c
–
a
c
–
a–
– c–
a
c
–
16. Rozwiąż nierówności
a)
b)
c)
d) –
–
–
e)
f)
–
–
17. Oblicz poniższe logarytmy
a)
b)
c)
d)
f)
g)
h)
i)
√
√
e)
j)
18. Korzystając z definicji logarytmu wyznacz :
a)
8
b)
c)
√
d)
e)
(
√ )
√