Ćwiczenia 4 / 5 - Matematyka dla ciekawych świata

Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013
13 listopada 2012
Ćwiczenia 4 / 5 – rachunek różniczkowy
0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h.
Zamodeluj ruch kangura jako funkcję s(t) i oblicz pochodną s0 (t).
1. Eksperyment Galileusza (a) Galileusz badając ruch ciała na równi pochyłej doświadczalnie stwierdził, że jeśli oznaczymy położenia ciała w równo oddalonych
chwilach czasu, to ciąg otrzymanych długości ma się do siebie jak 1 : 3 : 5 : ...
(kolejne liczby nieparzyste). Podaj wzór na położenie ciała w n-tej chwili.
(b) Rozszerzając ten wzór dla dowolnej liczby rzeczywistej, policz prędkość i przyspieszenie ciała. Przypomnijmy, że jeśli s(t) to położenie w chwili t, to prędkość
v(t) równa jest pochodnej s0 (t), zaś przyspieszenie to pochodna v 0 (t).
a
3a
5a
7a
2. Ruch prostoliniowy Prostoliniowy ruch punktu opisany jest równaniem s(t) = 10 +
20t − 5t2 . Wyznacz prędkość oraz przyspieszenie jako funkcje od czasu. Ile wynosi
prędkość i przyspieszenie w momencie t = 2?
3. Domowy ruch prostoliniowy (*) Prostoliniowy ruch punktu opisany jest równaniem s(t) = A + Bt + Ct2 . Wyznacz prędkość oraz przyspieszenie jako funkcje od
czasu. Dla jakich wartości parametrów A, B i C funkcja s(t) opisuje ruch taki, że
dla t = 0 ciało znajduje się w położeniu s = 1, ma prędkość 2, zaś przyspieszenie
równe 4?
4. Ruch po okręgu (a) Funkcja p : R → R2 zadana jest wzorem: p(t) = (cos t, sin t).
Pokaż, że jest to krzywa parametryczna opisująca okrąg oraz, że jeśli t potraktujemy jako czas to opisuje ona ruch ze stałą prędkością kątową o okresie 2π.
(b) Wektor styczny do krzywej r(t) = (x(t), y(t)) w punkcie t0 definiujemy jako
r0 (t0 ) = [x0 (t), y 0 (t)]. Narysuj wektory styczne do krzywej p(t) w t = 0, t = π,
t = π/2, t = π/4 oraz dla dowolnego t. Wyjaśnij nazwę „wektor styczny”.
najpierw
oznaczamy
miejsce,
w
którym ciało
zaczęło swój
ruch
5. Rzut kamieniem (***) Napisz równanie funkcji p : R → R2 opisującej ruch punktu
materialnego rzuconego w pionowej płaszczyźnie OXY pod kątem α do poziomu
(opór powietrza zaniedbaj). Wyznaczyć prędkość v : R → R2 , v = p0 i przyspieszenie
a : R → R2 , a = v 0 . Ile wynosi maksymalna prędkość i zasięg rzutu?
6. Ulubione twierdzenie studentów Podaj przykład funkcji f (x) i punktu x0 , dla
których f 0 (x0 ) = 0, ale funkcja f nie ma w punkcie x0 ekstremum.
Czy często spotykane w pracach studentów twierdzenie: „ponieważ f 0 (x0 ) = 0, to w
x0 funkcja f ma ekstremum” jest prawdziwe, czy fałszywe?
6’. Ekstrema (a) Wyraź pole prostokąta S o obwodzie O jako funkcję długości jednego
z jego boków a.
(b) Naszkicuj wykres funkcji S(a).
(c) Jaki prostokąt o obwodzie O ma największe pole?
1. Miasto Novigrad leży 100km na północ od Oxenfurtu. Z Novigradu na południe wypływa statek z prędkością 20km/h, zaś z Oxenfurtu na zachód barka z
prędkością 10km/h. Jaka jest najmniejsza odległość między tymi jednostkami?
2. Dobowe koszty pływania statku składając się z dwóch części: stałej, równej
a złotych i zmiennej, wprost proporcjonalnej do sześcianu szybkości. Jaka
szybkość statku jest najbardziej ekonomiczna?
3. Znaleźć stożek o tworzącej 1, który ma największą objętość.
4. Dla ustalonego p znaleźć odległość punktu P = (p, p) od paraboli y 2 = 2px (to
znaczy najmniejszą wartość wyrażenia d(P, A), gdzie A jest dowolnym punktem
paraboli, zaś d(P, A) to odległość między P oraz A).
2
2
5. W elipsę x22 + y32 = 1 wpisz prostokąt o największym polu, którego boki są
równoległe do osi elipsy.
ostatnie
zadanie
wymaga(?)
umiejętności
różniczkowania
pierwiastków
7. Wzór stycznej Styczna do wykresu funkcji f przechodząca przez punkt (x0 , f (x0 ))
(x0 )
zadana jest wzorem: y−f
= f 0 (x0 )
x−x0
(a) Podaj wzór stycznej w postaci y = ax + b do wykresu funkcji f przechodzącej
przez punkt (x0 , f (x0 )) dla poniższych f i x0 :
√
(i) f (x) = 3 x, x0 = 1
(ii) f (x) = sin x, x0 = π6
(iii) f (x) = ln x, x0 = 1
√
(b) Oblicz przybliżoną wartość 3 1, 02, sin 29o , ln 1, 1.
2
gdybyśmy
chcieli
poprawić
przybliżenie,
powinniśmy
skorzystać z
tzw.
wzoru
Taylora
Całkowanie
8. Znowu pole (**) (a) Oblicz całkę oznaczoną
R 2π
0
sin2 x.
(może przydać się wzór sin2 x + cos2 x = 1)
(b) W polskich kontaktach płynie prąd zmienny, którego napięcie jest zadane wzorem U (t) = Umax sin(ωt), gdzie Umax to natężenie maksymalne, q
zaś ω/(2π) to
RT
U 2 (t) dt,
częstotliwość. Napięcie skuteczne wyraża się wzorem Usk = T1
0
gdzie T to odwrotność częstotliwości, czyli okres.
Wiedząc, że napięcie skuteczne wynosi 230V , oblicz napięcie maksymalne.
9. Funkcja pierwotna
Definicja Funkcja pierwotna funkcji f (x) to taka funkcja F (x), że F 0 (x) = f (x).
Twierdzenie Jeśli F 0 (x) ≡ 0 (czyli F 0 to funkcja tożsamościowo równa zero), to F (x)
jest funkcją stałą.
Wywnioskuj z twierdzenia powyżej, że jeśli F (x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi
funkcji f (x), to istnieje liczba rzeczywista C taka, że G(x) = F (x) + C.
Pokaż, że zbiór funkcji pierwotnych funkcji x to { 21 x2 + C : C ∈ R}.
10. Podstawowe
twierdzenie rachunku różniczkowego Twierdzenie Jeśli F (x) =
Rx
f
(t)
dt,
to
F
jest funkcją pierwotną funkcji f (czyli F 0 (x) = f (x)).
0
Rb
f (x) dx =
b a
F (b) − F (a) (to ostatnie wyrażenie zapisujemy czasem jako F (x) ).
(a) Pokaż, że dla dowolnej F (x) funkcji pierwotnej f (x) zachodzi:
a
11. Całka nieoznaczona Zbiór funkcji pierwotnych f , to znaczy funkcji F , które speł0
Rniają równanie F (x) = f (x) nazywamy całką nieoznaczoną f (x) i oznaczamy
f (x) dx.
R
Przykład: x dx = 12 x2 + C (nawiasy klamrowe są zwyczajowo omijane).
R
(a) Oblicz całkę xn dx dla dowolnego n.
(b) Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą y = x3 a prostą y = x.
12. Całki z wielomianów Oblicz:
R
(a) 2x + 1 dx
R
(b) x2 − 3x dx
R
(c) (5 − x)(2 − x) dx
R
(d) (3 − x2 )3 dx
R
(e) x2 (6 − x) dx
R
(f) (6 − x)2 x
3
13. Pochodne i całki (**)
(a) Dla wielomianu P (x) obliczyć pochodną ex (P (x) − P 0 (x) + P 00 (x) − ...).
(b) Podaj wzór na całkę z P (x)ex .
R
(c) Obliczyć całkę x3 ex dx.
4
Zadania ponadprogramowe
Obliczanie pochodnych
Pochodne funkcji elementarnych Wiedząc, że:
• (xα )0 = αxα−1 dla dowolnej liczby rzeczywistej α
• (sin x)0 = cos x i (cos x)0 = − sin x
• (ex )0 = ex i (ln x)0 =
1
x
oraz wykorzystując własności arytmetyczne pochodnych oblicz pochodne funkcji:
(a) f (x) =
(b) f (x) =
1
+ 2x12
x
sin x
x
2
+
1
3x3
(c) f (x) = (2 − x ) cos x + 2x sin x
(d) f (x) = sin 2x − 2 cos x
(e) f (x) = ex (x2 − 2x + 2)
(f) f (x) = x ln x
(g) f (x) = ln x2
(h) f (x) = log2 x3
Pochodne funkcji złożonych (a) Ze wzoru na pochodną iloczynu oblicz pochodną funkcji (f (x))2 . Wyprowadź i udowodnij (indukcyjnie) wzór na pochodną (f (x))n
dla dowolnego n naturalnego.
(b) Jeśli f i g są różniczkowalne, zaś h(x) = f (g(x)), to h0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x). Dla
1
dowolnej funkcji f (x) podaj wzór na pochodną funkcji f (x)
. Wyprowadź z tego
wzór na pochodną ilorazu
f (x)
.
g(x)
(c) Oblicz pochodne:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
y
y
y
y
y
2
= e−x
= cos 2x − 2 sin x
= sin[sin(sin x)]
= sin(cos2 x) · cos(sin2 x)
√
= ln(x + x2 + 1)
(d) Wykorzystując fakt, że x = eln x dla dowolnego x > 0 oraz własności logarytmu,
udowodnij wzór na pochodną xα .
Wzory na pochodną Obliczyć y 0 korzystając ze wzorów (w tablicach, Wikipedii...):
5
(a) y =
2x
1−x2
(b) y =
1+x−x2
1−x+x2
x 2
(c) y = e (x − 2x + 2)
(d) y = log3 x2
(e) y = 12 ln(1 + x) − 41 ln(1 + x2 ) −
1
2(1+x)
(f) y = arcsin x2
√
(g) y = arccos 1−x
2
2
(h) y = arctg xa
√
√
(i) y = x − arctg x
√
(j) y = x + 1 − x2 · arccos x
Zastosowania pochodnych
Badanie przebiegu zmienności funkcji Wyznacz przedziały monotoniczności i naszkicuj wykresy następujących funkcji:
(a) y = 2 + x − x2
(b) y = 3x − x3
(c) y =
2x−1
x2
(d) y = x + sin x
(e) y = x5 e−x
Przy ostatnim punkcie odpowiedz na pytanie: dla jakich n naturalnych en > n5 ?
0
Twierdzenie Fermata Twierdzenie Jeśli pochodna f (x0 ) jest dodatnia (ujemna) to
funkcja f w pewnym otoczeniu x0 jest rosnąca (malejąca).
Wywnioskuj z tego twierdzenia, że jeśli w punkcie x0 funkcja ma ekstremum, to
f 0 (x0 ) = 0. Podaj przykład, że zdanie odwrotne nie jest prawdziwe.
Styczne
1. W jakich punktach krzywej y = 2 + x − x2 styczna jest: a) równoległa do
osi OX; b) równoległa do dwusiecznej kąta utworzonego przez dodatnie półosie
układu współrzędnych?
2. Udowodnij, że parabola y = a(x − x1 )(x − x2 )(a 6= 0, x1 < x2 ) przecina oś OX
pod kątami α i βtakimi, że α = −β.
3. Na krzywej y = 2 sin x wskaż te jej części, których nachylenie jest większe od
1.
4. Pod jakimi kątami przecinają się krzywe y = x2 i x = y 2 ?
6
to nie jest to
twierdzenie,
o
którym
myślisz ;)
5. Pod jakimi kątami przecinają się krzywe y = sin x i y = cos x?
6. Pokaż, że styczna do spirali logarytmicznej r = aemφ i prosta zawierająca
promień wodzący punktu styczności przecinają się pod stałym kątem.
7. Dowieść, że dla astroidy x2/3 + y 2/3 = a2/3 długość odcinka stycznej zawartego
między osiami współrzędnych jest stała.
8. Pokaż, że rodziny hiperbol x2 − y 2 = a i xy = b tworzą ortogonalną siatkę, tj.
krzywe tych rodzin przecinają się pod kątem prostym.
Nierówności Udowodnij nierówności:
(a) ex > 1 + x dla x 6= 0
(b)
2
x
π
< sin x < x dla 0 < x < π/2
(c) x −
x2
2
< ln(1 + x) < x dla x > 0
(d) x −
x3
< sin x < x dla x > 0
6
Podaj interpretację geometryczną w dwóch pierwszych punktach.
Nierówności - c.d. (a) Udowodnij, że (xa + y a )1/a > (xb + y b )1/b dla x > 0, y > 0 i
0 < a < b.
(b) nierówność Cauchy’ego
(c) średnia arytmetyczna nie przekracza średniej kwadratowej
s
s −s
jest funkcją rosnącą zmiennej s
(d) średnia rzędu s: a +b
2
Definicja pochodnej
Przypomnijmy formalną definicję pochodnej:
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
Definicja pochodnej Obliczyć (z definicji)
(a) f 0 (1), f 0 (2) i f 0 (3), jeżeli f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 .
(b) f 0 (2), jeżeli f (x) = x2 sin(x − 2)
12. (Nie)parzystość Udowodnij, że pochodna funkcji parzystej jest nieparzysta, a pochodna funkcji nieparzystej jest parzysta.
13. Okresowość Udowodnij, że pochodna funkcji okresowej jest funkcją okresową.
Całki
7
Całka Riemanna Oblicz następujące całki Riemanna:
R1
(a) 0 2 dx
R1
(b) 0 x dx
R1
(c) 0 2 + x dx
Całkowanie
przez podstawienie Jeśli g(x) = f (y(x)) to zachodzi równość:
R
f (y(x)) y 0 (x)dx.
R
g(y) dy =
Przykład: dla y(x) = 2x + 1 (a zatem y 0 (x) = 2) mamy
Z
Z
Z
1
1
2
2
2(2x + 1) dx = (2x + 1) 2dx = (y 2 ) dy = y 3 = (2x + 1)2 .
3
3
Oblicz:
R
R
(a) sin 2x dx, cos 2x dx
R
R
(b) e2x dx, 2x dx
R√
(c)
x + 1 dx
8