zestaw V (12) - if univ rzeszow pl

Zestaw zadań do zajęć wyrównawczych z matematyki dla IFT s.2
12. Liniowa geometria analityczna
Rozwiąż zadania:
a) znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B, jeżeli A = (1, −4 ) , B = (1, 2 ) ;
b) wyznacz równanie prostej równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt P, jeżeli
k : y = 3x − 5; P = ( 2, 4 ) ;
c) wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt P, jeżeli
k : 2 x + 3 y + 7 = 0; P = ( 2, 4 ) ;
d) zaznacz w układzie współrzędnych zbiór tych punktów (x,y), których współrzędne
spełniają warunek:
• y = 2x + 3 ;
•
y ≤ 2x + 3 ;
• y > 2x + 3 ;
e) zaznacz w układzie współrzędnych zbiór A, jeżeli:
•
A = {( x, y ) : x > 0 ∧ y < 0} ;
•
A = {( x, y ) : x ≤ 2 ∧ y ≥ 1} ;
•
A = {( x, y ) : y ≥ − x − 1 ∧ y ≤ − x + 2} ;
•
A = {( x, y ) : x + y − 3 ≤ 0 ∧ 2 x − y ≥ 0} ;
f) zapisz równanie okręgu o środku S i promieniu r, jeżeli:
• S = ( 0,3) , r = 5 ;
•
S = ( 2, −1) , r = 2 ;
g) podaj długość promienia i współrzędne środka okręgu o równaniu:
•
x2 + y2 = 4 ;
•
x2 + y2 − 2 y = 0 ;
•
x2 + y2 − 4 x + 6 y + 1 = 0 ;
• x 2 + y 2 + 3x − y + 1 = 0 ;
h) zbadaj wzajemne położenie okręgów o równaniach:
•
( x − 1)
2
2
+ ( y − 1) = 16 i
( x − 4)
2
+ y2 = 1 ;
• x 2 + y 2 − 4 2 x − 120 = 0 i x 2 + y 2 − 200 = 0 ;
i) znajdź punkty przecięcia:
• okręgu x 2 + y 2 − 3x + 5 y − 4 = 0 z prostą x + 2 y − 4 = 0 ;
•
okręgu x 2 + y 2 − 3x + 5 y − 4 = 0 z osiami układu współrzędnych;
•
okręgów x 2 + y 2 − 3x + 5 y − 4 = 0 i x 2 + y 2 + x − 7 y = 0 ;
j) dana jest prosta k o równaniu y = −2 x + 3 i prosta l o równaniu x = 3
sprawdź, czy punkt P=(17,-31) należy do prostej k;
podaj współrzędne punktu przecięcia prostych k i l;
znajdź równania prostych przechodzących przez punkt A=(5,-8) i równoległych do
danych prostych;
k) prosta o równaniu y = 3x + 5 przecina oś OY w punkcie A, prosta o równaniu
•
•
•
2 x − 9 y − 30 = 0 przecina oś OX w punkcie B, a obie proste przecinają się w punkcie C
•
znajdź punkty A, B i C;
• uzasadnij, że odcinki AB i AC są prostopadłe;
l) przez punkt A=(2,3) poprowadzono prostą odcinającą na półosiach układu współrzędnych
odcinki równej długości. Znajdź równanie tej prostej;
m) prosta k przechodzi przez punkt A=(3,2) i przecina dodatnie półosie układu współrzędnych
w takich punktach, że iloczyn ich odległości od punktu (0,0) wynosi 25. Znajdź równanie
prostej k;
n) punkty A=(3,2) i B=(6,-5) są końcami średnicy koła
• oblicz pole tego koła;
• znajdź równanie stycznej do tego koła w punkcie A;
o) okrąg o środku w punkcie S=(1,1) odcina na prostej x − y + 4 = 0 cięciwę o długości
2 2 . Znajdź długość promienia tego okręgu;
p) środek okręgu przechodzącego przez punkty A=(3,0) i B=(0,1) należy do prostej y = x + 2 .
Znajdź równanie tego okręgu;
r) napisz równanie okręgu o promieniu
A=(3,1);
3 stycznego do prostej x − 2 y − 1 = 0 w punkcie
s) znajdź równania stycznych do okręgu
( x + 1)
2
2
+ ( y − 1) = 5 poprowadzonych z punktu
A=(2,0);
t) znajdź równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3 x + 4 y + 1 = 0 i stycznej do
okręgu o równaniu x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 4 = 0 .