Geometria analityczna-proste, okręgi, wektory

Geometria analityczna-proste, okręgi, wektory
Niech A = ( x1 , y1 )iB = ( x 2 , y 2 ) będą punktami płaszczyzny
Odległość punktów:
AB = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
Współrzędne środka odcinka AB:
 x + x 2 y1 + y 2 
S = 1
;

2 
 2
I.
WEKTORY
Wektor a = AB ma współrzędne a = [a1 , a 2 ] , gdzie
a1 = x 2 − x1

a 2 = y 2 − y1
Niech a = [a1 , a 2 ] , b = [b1 , b2 ]
długość wektora
a = a1 + a 2
2
2
AB = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
równość wektorów:
a = b ⇔ (a1 = b1 ∧ a 2 = b2 )
działania na wektorach
a + b = [a1 + b1 , a 2 + b2 ]
a − b = [a1 − b1 , a 2 − b2 ]
k a = [ka1 , ka 2 ]
wektor zerowy:
0 = [0,0]
0 =0
iloczyn skalarny wektorów:
definicja w geometrii syntetycznej:
 a ⋅ b ⋅ cos ∠ a, b gdy a ≠ 0 ∧ b ≠ 0

aob = 
0
gdy a = 0 ∨ b = 0
w geometrii analitycznej
a o b = a1b1 + a2 b2
( )
(
((
-1-
)
))
Własności iloczynu skalarnego:
aob = boa
( ) ( )
( )
(a + b)o c = a o c + b o c
k a o b = k a o b = a o kb
2
a = aoa = a
2
Prostopadłość i równoległość wektorów
Jeżeli a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 to:
a⊥b ⇔ a o b = 0 ⇔ a1b1 + a 2 b2 = 0
a b ⇔ a1b2 − a 2 b1 = 0
Jeżeli a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 to:
( )
cos ∠ a, b =
aob
a⋅b
=
a1b1 + a 2 b2
a⋅b
Pole trójkąta
Pole trójkąta o danych współrzędnych wierzchołków A = ( x1 , y1 ), B = ( x 2 , y 2 ), C = ( x3 , y 3 ) ,
w którym AB = a, AC = b :
( )
P = 12 d a, b =
1
2
( )
a1
a2
b1
b2
=
1
2
x2 − x1
x3 − x1
y 2 − y1
y3 − y1 ,
gdzie d a, b - wyznacznik pary wektorów a i b
P=
1
2
x1
y1 1
x2
x3
y2 1
y3 1
II. PROSTE
Równania prostych na płaszczyźnie:
Równanie kierunkowe prostej
y=mx+n
gdzie: m- współczynnik kierunkowy prostej,
m=tg α
α – kąt nachylenia prostej do dodatniej półosi OX i α ≠ 90 0
równanie ogólne prostej
Ax+By+C=0, gdzie A 2 + B 2 > 0
Równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym m , przechodzącej
przez dany punkt P = ( x 0 , y 0 )
y − y 0 = m( x − x0 ), gdy m = tg α ∧ α ≠ 90 0
x − x0 = 0,
gdy α = 90 0
-2-
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty
A = ( x1 , y1 ), B = ( x 2 , y 2 ) :
y − y1
y − y1 = 2
(x − x1 ), gdy x1 ≠ x2
x 2 − x1
x − x1 = 0,
gdy x1 = x 2
Równoległość i prostopadłość prostych
Dane są proste:
l : y = m1 x + n1 , k : y = m 2 x + n
l k ⇔ m1 = m2
l⊥k ⇔ m1 m2 = −1
Odległość punktu od prostej
Odległość punktu P = ( x 0 , y 0 ) od prostej l: Ax+By+C=0:
I sposób:
d=
Ax0 + By 0 + C
A2 + B 2
II sposób:
♦ Napisz równanie prostej k prostopadłej do l i przechodzącej przez punkt P
♦ Znajdź punkt przecięcia prostych k i l : R = ( x R , y R )
♦ Oblicz odległość |PR|
Szukana odległość d=|PR|
III.
OKRĘGI
Równanie okręgu o środku w punkcie S=(0,0) i promieniu r:
x2 + y2 = r 2
Równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b) i promieniu r:
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0, gdzie c = a 2 + b 2 − r 2
Drugie równanie przedstawia okrąg tylko wtedy gdy a 2 + b 2 − c > 0 ,
wówczas r = a 2 + b 2 − c .
-3-
Zadania- geometria analityczna
zadanie 1 Przez punkt A=(a,b) poprowadź prostą prostopadłą do prostej x+2y-5=0, gdzie: a
x +1
81 x + 4
) , zaś b jest rozwiązaniem równania
jest rozwiązaniem równania ( 49 ) = (16
log 8 {log 3 [log 2 ( x + 1)]} = 0 .
zadanie 2 Środek okręgu przechodzącego przez punkty A-(3,0) i B=(-1,2) należy do prostej
x-y+2=0
a
napisz równanie okręgu
b
wyznacz na okręgu taki punkt C, że AC⊥ AB .
zadanie 3 Na boku BC trójkąta ABC obrano punkt M=(-3,6) taki, że
CM
MB
=
2
. Wiedząc, że
3
wektor AB = [9,12], AM = [3,9] znajdź równanie okręgu o środku w punkcie C stycznego
do boku AB.
zadanie 4 Podaj wszystkie wartości jakie może przyjmować parametr m, aby do prostych
y=x+m należały punkty, z których styczne poprowadzone do okręgu
x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 6,75 = 0 tworzą ze sobą kąt 600.
zadanie 5 Prosta przechodząca przez punkty A=(0,-3) i B=(-1,0) przecina parabolę y=-x24x-1 w punktach C i D.
a
wyznacz równania stycznych do paraboli w punktach C i D
b
wyznacz punkt S przecięcia się stycznych i napisz równanie okręgu o środku w
punkcie S i promieniu równym 0,5 długości odcinka CD.
zadanie 6 Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkt M=(2,9) i stycznego do
obu osi układu współrzędnych . Oblicz długość cięciwy łączącej punkty styczności okręgu
z osiami współrzędnych oraz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności
oraz punkt M.
-4-