Całki

1. Oblicz całki:
Z 1
a).
x4 + 3x3 −
dx
x
Z √ 3
x
√
dx
b).
3
x
Z
c).
x2 dx
x2 + 1
d).
Z √
Z √
3x dx
e).
2. Oblicz całki, korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części:
Z
Z
Z
Z
x
a).
x cos xdx b).
xe dx c).
xlnxdx d).
x2 cos xdx
Z
g).
ex cos xdx h).
Z
x2 e−x dx
Z
i).
√
Z
Z
Z
lnxdx f).
e).
Z
xe2x dx
xlnxdx j).
√
x3 − x5
dx
x2
k).
Z
f).
1−x
dx
x2
ln2 xdx
Z
lnx
dx,
x2
arcsin xdx
l).
3. Oblicz całki metodą podstawiania:
Z
Z
Z
Z
Z
Z √x
2
dx
cos x
e
3
cos x
√ dx f).
a).
(3x + 1) dx b).
xex dx
dx c).
sin xe
dx d).
dx e).
2x − 3
1 + sin x
x
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1 + lnx
x
dx
dx
3x
√
√
√
g).
dx i).
tgxdx j).
dx k).
l).
dx h).
2+4
4
2
3 + xlnx
x
2
−
3x
1−x
1+x
Z
Z
Z
Z
Z
x
x2 + 1
x−3
3
7
dx
p).
dx
q).
dx
m).
dx
n).
dx
o).
1 2
x2 − 6x + 5
4x2 + 2
(x2 + 3)2
(x2 + 2x + 3)2
2x + 3
Z
Z
Z
√
dx
dx
r).
s).
t).
x 3 3x − 1dx
2
2
4
(x + 1)
(3x − 2)
4. Oblicz całki:
Z 1
a).
(2x3 − 5x2 + 3x + 4)dx,
0
Z
2
e).
0
√
4x − 2 x
dx,
x
1
Z π2
f).
x sin xdx,
Z
b).
2x
e
dx,
1 + ex
4
1
Z
xe−x dx,
c).
Z
0
Z
5
d).
3
x
dx,
x2 − 4
−1
x2 e−2x dx
g).
−2
0
5. Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami:
a). y = x3 −4x i osią Ox,
b). y = x2 , x = −1, x = 2,
c). y = x2 , y =
e). y = x, y = 3x, x+y = 4 f). y = −x3 +3x2 −2x, i oś Ox,
i). y = x2 − 4x + 5, y = −x2 + 8x − 5,
1 2
x , y = 3x,
2
g). y = x2 +1, y = 5,
j). y 2 = 5x, x = 4,
d). y = x2 +2, y = x+5
h). y = x3 −x2 −x, y = x
k). y = x2 , y 2 = x
6. Oblicz objętość bryły, powstałej przez obrót dookoła osi Ox:
√
π
a). y = 2x, 0 ≤ x ≤ 3, b). y = sin x, 0 ≤ x ≤ , c). y = 3 x, 1 ≤ x ≤ 2,
2
d). y = x2 + 1, −2 ≤ x ≤ 1
7. Oblicz objętość bryły powstałej prze4z obrót wokół osi Ox figury, zawartej między liniami y = e2x , y = 0,
x = 0, x = 1.
8. Oblicz pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox paraboli y 2 = 16x, 1 ≤ x ≤ 2.
9. Oblicz całki niewłaściwe:
Z 1
Z 16
Z 1
Z 1
Z 2
dx
dx
dx
xdx
dx
√ , b).
√
√
√
√
a).
,
c).
,
d).
,
e).
,
4
3
2
2
3
x
x
−1
1
−
x
1
−
x
x
0
0
0
0
1
Z 2
Z 2
Z ∞
Z ∞
Z ∞
Z 0
dx
xdx
dx
dx
−2x
f).
, g).
, h).
, i).
, j).
e
dx, k).
xe2x dx
2
2
x
x
−
1
x
x
−1
0
1
1
0
−∞
10. Oblicz pole figury zawartej między osią Ox i krzywą:
a). y =
1
, x ≥ 1,
x
b). y =
1
, x ≥ 2,
x2
1
c). y = √ , x ≥ 1.
x
11. Oblicz objętości brył powstałych przez obrót figur z poprzedniego zadania dookoła osi Ox.
1