Rachunek Prawdopodobieństwa 1B Lista zadań nr 4 1

Rachunek Prawdopodobieństwa 1B
Lista zadań nr 4
1. Rzucamy monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p ∈ (0, 1], tak długo aż
wyrzucimy k orłów (niekoniecznie kolejnych). Niech X oznacza liczbę rzutów. Znajdź rozkład X.
2. Pokaż, że jeżeli funkcja F : R → [0, 1] jest niemalejąca, prawostronnie ciągła oraz limt→−∞ F (t) = 0
i limt→∞ F (t) = 1, to F jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X.
3. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem

0



(t + 1)/2
FX (t) =
3/4



1
dla
dla
dla
dla
t < −1
−1 ≤ t < 0
0≤t<4
t≥4
Oblicz P(X = −5), P (2 < X ≤ 5), P(X = 4), P(−1 < X < 0).
4. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F . Załóżmy, że F jest ściśle rosnąca na obrazie X.
Niech Y = F (X). Pokaż, że Y ma rozkład U ([0, 1]).
5.
a) Niech X będzie zmienna losową o rozkładzie U ([2, 20]). Oblicz P[X > 5], P[5 < X < 7],
P[X 2 − 12X + 35 > 0], P[X ∈ Q].
b) Rozwiąż to samo zadanie, ale przy założeniu, że X jest liczbą losową z przedziału [2, 20] o rozkładzie
zadanym gęstością f (x) = Cx, dla odpowiedniej stałej C.
6. Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na [0, 1]. Znajdź dystrybuanty i rozkłady:
Y = U + 2, Y = U 2 , Y = 1/(U + 1), Y = log(U + 1), Y = |U − 1/2|.
7. Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na [0, 1]. Oblicz prawdopodobieństwa
zdarzeń: {U 2 < 1/4}, {U (1 − U ) < 1/4}, {U/(1 − U ) < 1/4}.
8. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F . Dla ustalonych liczb a, b definiujemy zmienne
losowe Y = X + b, Z = aX, W = aX + b. Znajdź ich dystrybuanty.
9. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0, 1). Wyznacz gęstości zmiennych Y = eX , Z = X 2 .
10. Podaj przykład rozkładu, który nie jest ani ciągły, ani dyskretny.
11. Podaj przykład dystrybuanty, której zbiór punktów nieciągłości jest gęsty w R.
12. Na skrzyżowaniu zamontowana jest sygnalizacja świetlna. W jednym z kierunków światło czerwone
świeci się przez minutę, a zielone pół minuty. Samochód dojeżdża do skrzyżowania w losowym momencie.
Niech X oznacza czas spędzony na skrzyżowaniu.
a) Wyznacz rozkład X.
b) Załóżmy, że po 20 sekundach samochód wciąż nie przejechał skrzyżowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że opuści je w ciągu najbliższych 10 sekund.
13. Niech (X, Y ) będzie losowym (rozkład jednostajny) punktem kwadratu {(x, y) : −1 ≤ x, y ≤ 1}.
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P[X ≥ 0|Y ≤ 2X]. Wykonaj odpowiedni rysunek.
14. Wybieramy losowo trzy punkty X, Y, Z na okręgu jednostkowym (z jednostajnym prawdopodobieństwem). Oblicz prawdopodobieństwo, że tworzą one trójkąt ostrokątny.
15. Niech (X, Y ) będzie 2-wymiarową zmienną losową o rozkładzie zadanym gęstością f (x, y) = 3x dla
0 ≤ y ≤ x ≤ 1 i f (x, y) = 0 poza tym zbiorem. Znajdź rozkłady brzegowe. Czy X i Y są niezależne?
16. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład z gęstością g(x, y) = Cxy10≤x≤y≤1 .
a) Wyznacz C.
b) Oblicz P(X + Y ≤ 1).
c) Wyznacz rozkład zmiennej X/Y .
d) Czy zmienne X i Y są niezależne?
e) Czy X/Y i Y są niezależne?
17. Z talii 52 kart losujemy ze zwracaniem 5 razy po jednej karcie. Niech X oznacza liczbę wyciągniętych
pików, Y - liczbę wyciągniętych kierów, Z - liczbę wyciągniętych asów. Czy zmienne X i Y są niezależne?
Czy zmienne X i Z są niezależne?
18. Romeo i Julia umówili się pomiędzy godziną 22, a 23. Każde z nich przybywa na spotkanie niezależnie z jednostajnym prawdopodobieństwem. Niech X będzie czasem oczekiwania pierwszej przybyłej
osoby. Znajdź dystrybuantę i gęstość X.
19.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie U ([0, 1]). Znajdź prawdopodobieństwo, że a) X + Y < 1/2, b) XY < 1/2, c) |X − Y | < 1/2, d) X 2 + Y 2 ≤ 1/2, e) równanie
t2 + Xt + Y = 0 ma dwa rzeczywiste pierwiastki.
20. Niech X1 , .., Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na zbiorze
1, 2, .., k. Znajdź rozkład Y = mini Xi . Czy X1 i Y są niezależne?
21. Linie lotnicze uważają, że 4% pasażerów, którzy rezerwują lot nie pojawiają się na lotnisku. Dlatego
też na samolot, który może pomieścić 98 osób sprzedają 100 miejsc. Oblicz prawdopodobieństwo, że
wszyscy przybyli na lotnisko pasażerowie polecą tym lotem.
22. Zmienne losowe X1 , .., X6 (n ≥ 6) są niezależne i mają ten sam rozkład: P(Xi = −1) = P(Xi =
1) = 1/2.
a) Czy zmienne X1 + X2 , X1 X2 są niezależne?
b) Czy zmienne X1 + X2 , X3 , X4 + X5 X6 są niezależne?
c) Czy zmienne X1 , X1 X2 , ..., X1 X2 ..Xn są niezależne?
23. Zmienne losowe X i Y są niezależne. Pokaż, że jeżeli X nie ma atomów, to P(X = Y ) = 0.
24. Momenty przybycia autobusów A i B są niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y o rozkładzie
wykładniczym z parametrami α i µ.
a) Znajdź rozkład momentu przybycia pierwszego autobusu.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy.
25. Pokaż, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ), i Y = aX + b dla pewnych
stałych a i b, to Y ma również rozkład normalny. Z jakimi parametrami?
26. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F . Medianą X nazywamy liczbę m taką, że
F (m) = 1/2. Znajdź medianę jeżeli: a) X ∼ U ([0, 1]), b) X ∼ N (µ, σ 2 ), c) X ∼ Exp(λ).
27. Ekspert powołany przez sąd twierdzi, że długość ciąży od poczęcia do porodu jest zmienną losową
o rozkładzie normalnym N (270, 102 ). Pozwany ma niezbite dowody, że był zagranicą w okresie od 290
do 240 dni przed datą urodzin dziecka. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze pozwany był w kraju, gdy
dziecko zostało poczęte? Korzystając z tablic rozkładu normalnego oszacuj to prawdopodobieństwo jak
najdokładniej.
28. Tekst broszury zawiera n = 100000 znaków. W trakcie pisania każdy znak może zostać błędnie wprowadzony z prawdopodobieństwem 0, 001. Redaktor znajduje każdy z błędów z prawdopodobieństwem 0,9.
Następnie tekst wraca do autora, który znajduje każdy z pozostałych błędów z prawdopodobieństwem
0,5. Oszacuj prawdopodobieństwo, że po obu korektach broszura będzie zawierała nie więcej niż 3 błędy.
29. Zmienne losowe X1 , .., Xn są niezależne i mają rozkłady Poissona z parametrami λi . Pokaż, że
X1 + .. + Xn ma rozkład Poissona z parametrem λ1 + .. + λn .
30. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem 1. Udowodnij, że
zmienne X/Y oraz X + Y są niezależne.
31. Niech Xi , i = 1,∑2, .. będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie P(X = 1) = P(X =
∞
−1) = 1/2. Niech Z = i=1 Xi /2i . Wykaż, że Z ma rozkład jednostajny na odcinku [−1, 1].