Zadania na ćwiczenia do wykładu z ciągłości funkcji Z. 1

Zadania na ćwiczenia do wykładu z ciągłości funkcji
Z. 1. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej wzorem:
x
(1) f (x) = 1−x
2,
x−1
(2) f (x) = x√x ,
(3) f (x) = x + arc tg x.
Naszkicować przykładowe wykresy funkcji mających takie asymptoty.
(√ 2
x +11−6
x−5
Z. 2. Zbadać ciągłość funkcji określonej wzorem f (x) =
3
(
sin x
Z. 3. Zbadać ciągłość funkcji określonej wzorem f (x) =
4( πx )2
Z. 4. Dla jakich wartości parametrów a, b, c funkcja f
 sin ax


 xx4 −1

2
f (x) = x −4x+3

c



2 − 2bx
dla x 6= 5
.
dla x = 5
dla |x| ¬
dla |x| >
π
2
π
2
.
określona wzorem
dla
dla
dla
dla
x<0
0¬x<1
x=1
x>1
jest ciągła na całym zbiorze liczb rzeczywistych?
Zadania do domu
Z. 5. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej wzorem:
(1) f (x) =
(2) f (x) =
(3) f (x) =
(4) f (x) =
(5) f (x) =
2x−1
(x−1)2 ,
3x4 +1
x3 ,
x2 −3x
x2 −4 ,
|x|
x−4 ,
x2
|x−4| ,
(6) f (x) =
(7)
(8)
(9)
(10)
√x ,
x+2
√
f (x) = x − √x + 2,
f (x) = x + x2 + 1,
x
f (x) = sin
x2 ,
f (x) = |x| + sin x.
Naszkicować przykładowe wykresy funkcji mających takie asymptoty.
 sin(x−1)

dla x < 1
 x2 −1
1
Z. 6. Zbadać ciągłość funkcji f określonej wzorem f (x) = 2
dla x = 1

 x2 +x−2
dla x > 1
x4 −3x+2
Z. 7. Zbadać ciągłość funkcji określonych poniższymi wzorami:
(
(
x−1
x
dla x ∈ R \ {−2, 1}
dla x < 0 i x 6= −3
2 +x−2
2
x
(5) f (x) = x x−9
(1) f (x) = 1
dla x ∈ {−2, 1}
dla x ­ 0 lub x = −3
( x2 +1
3
2
πx

cos 2
dla |x| ¬ 1
x + 1 dla x ¬ 0
(6) f (x) =
(2) f (x) = x1
dla 0 < x ¬ 1
|x − 1| dla |x| > 1



x
x − 1 dla x > 1

dla x ¬ 1
2 − 1


x
dla
x
¬
0
(7)
f
(x)
=
log
x
+
1
dla 1 < x < 10

5

x
(3) f (x) = x−1
dla 0 < x < 1
dla x ­ 10

 xx cos x
 2
x − 2 dla x ­ 1
dla x ¬ 0

 ex+1
(
x+3
1
√1
dla
x
∈
R
\
{−3,
2}
−
dla
0<x¬2
(8)
f
(x)
=
2
2x
2x
(4) f (x) = x 1+x−6


sin(x−2)
−5
dla x ∈ {−3, 2}
dla x > 2
2
4−x
2
Z. 8. Dla jakich wartości parametrów a, b, c poniższe funkcje są ciągłe na całym zbiorze liczb rzeczywistych:
(
|x|
dla x ¬ 1
(1) f (x) =
x2 − a dla x ­ 1
(
sin ax
dla x 6= 0
3x
(2) f (x) =
a
dla x = 0
√ 2
x +5−3

dla x ∈ R \ {−2, 2}
 x2 −4
2
1
1
(3) f (x) = 2 ln a − 3 ln a dla x = 2

1
sin b
dla x = −2
 3sin ax
dla x < 0

x


 x3 −1
dla 0 ¬ x < 1
2
(4) f (x) = x +x−2

c
dla x = 1


 x2 +(b−1)x−b
dla x > 1
x−1
Z. 9. Wykazać, że poniższe równania mają rozwiązania:
(1) x3 + 2x − 2 = 0,
(2) x5 − 2x2 + 2 = 0,
(3) x2x = 1,
(4) log(x + 1) = x − 1,
(5) sin x + 1 = x,
1
(6) ex = .
x