Rozwiązania 4 zadań nadesłanych przez internautów

Cztery zadania nadesłane przez internautów
Zadanie 1 – poziom wymagań: podstawowy
W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku C jest dwa razy większy od kąta przy
wierzchołku B. Dwusieczna kąta przecina bok AB w punkcie D. Wykazać, że
2
AC = AD ⋅ AB .
Rozwiązanie
β = 180o − 3α
∠ADC = 180o − (α + β ) = 180o − (α + 180o − 3α ) = 2α
Wobec tego trójkąty ABC i ACD są podobne, bo mają takie same kąty.
Korzystając z podobieństwa tych trójkątów, otrzymujemy:
AB
AC
2
=
⇔ AC = AD ⋅ AB , co należało udowodnić.
AC AD
***************************************************************************
***************************************************************************
Zadanie 2 - poziom wymagań: rozszerzony
Udowodnić, że stosunek pola prostokąta wpisanego w koło do pola tego koła jest
2
mniejszy od .
3
Rozwiązanie
S
2
< , gdzie S – pole prostokąta.
2
πr
3
Pole każdego czworokąta wypukłego można obliczyć jako połowę iloczynu długości
przekątnych przez sinus kąta między przekątnymi, dlatego:
5ależy udowodnić, że
1
⋅ 2r ⋅ 2r ⋅ sin α = 2r 2 sin α
2
Mamy:
S
2r 2 sin α 2 sin α 2
=
=
≤
πr 2
πr 2
π
π
bo sin α ≤ 1
i dalej:
2 2
< , bo π > 3 .
π 3
S
2
Wynika stąd, że
< , co należało udowodnić.
2
πr
3
***************************************************************************
***************************************************************************
Zadanie 3 - poziom wymagań: rozszerzony
Obliczyć sumę S n = x + 2x 2 + 3x 3 + ... + nx n .
Rozwiązanie
S n = x + 2x 2 + 3x 3 + ... + nxn
S=
x ⋅ S n = x 2 + 2x 3 + 3x 4 + ... + nx n + 1
(
) (
)
x ⋅ S n − S n = x 2 + 2x 3 + 3x 4 + ... + nx n + 1 − x + 2x 2 + 3x 3 + ... + nx n =
2
3
n
= − x − x − x − ... − x + nx
n
mamy :
S n ⋅ ( x − 1) = − x − x 2 − x 3 − ... − x n + nx n
Jeżeli x = 1 , to S n = 1 + 2 ⋅ 12 + 3 ⋅ 13 + ... + n ⋅ 1n = 1 + 2 + 3 + ... + n =
Jeżeli x ≠ 1 , to S n =
1+ n
⋅n
2
− x − x 2 − x 3 − ... − x n + nx n
x−1
1 − xn
x( xn − 1)
− x − x − x − ... − x = − x + x + x + ... + x = − x ⋅
=−
1− x
x−1
Stąd:
x( xn − 1)
n( x − 1)xn − x( xn − 1)
n
−
+
nx
2
3
n
n
− x − x − x − ... − x + nx
x−1
x−1
Sn =
=
=
=
x−1
x−1
x−1
n( x − 1)x n − x( x n − 1)
=
( x − 1)2
***************************************************************************
***************************************************************************
Zadanie 4 - poziom wymagań: rozszerzony
Rozwiązać równanie z niewiadomą x: 1 + a + a 2 + ... + a x = (1 + a )(1 + a 2 )(1 + a 4 ) .
Rozwiązanie
Lewa strona równania jest sumą ( x + 1) wyrazów ciągu geometrycznego.
Jeżeli a = 1 , to lewa strona wynosi x + 1 .
W tym przypadku: x = (1 + a )(1 + a 2 )(1 + a 4 ) − 1 .
Jeżeli a ≠ 1 , to równanie przyjmuje postać:
2
3
n
(
2
3
n
)
1 − ax +1
= (1 + a )(1 + a 2 )(1 + a 4 )
1− a
1 − a x + 1 = (1 − a )(1 + a )(1 + a 2 )(1 + a 4 )
1⋅
1 − a x + 1 = (1 − a 2 )(1 + a 2 )(1 + a 4 )
1−a
x+1
= (1 − a )(1 + a )
1−a
x+1
= 1 − a8
4
4
a x + 1 = a8
Dla a ≠ 1 otrzymujemy ostatecznie:
x+1= 8 ⇔ x = 7
)