WAHANIA SEZONOWE Wyrównanie szeregu czasowego - E-SGH

Ćwiczenia 13 – WAHANIA SEZONOWE
Wyrównanie szeregu czasowego (wyodrębnienie „czystego” trendu) mechanicznie
Zadanie 1. Badano spożycie owoców i przetworów (yt) (w kg) w latach według kwartałów:
kwartał
lata
2009
2010
2011
I kwartał
2,76
2,60
2,98
II kwartał
2,19
2,46
2,08
III kwartał
4,06
4,06
5,22
IV kwartał
2,90
3,12
Proszę obliczyć wartość średnich ruchomych. Ocenić trend zjawiska.
3,37
Wahania sezonowe – szereg czasowy z trendem
Zadanie 2. Badano zużycie surowca (w tys. t) w półroczach:
lata
półrocza
zużycie
surowca (yt)
2009
1
220
2
438
2010
1
340
2
604
2011
1
460
2
750
Proszę wyznaczyć:
a. średnie ruchome
b. ocenić sezowność wyznaczając oczyszczony multiplikatywny wskaźnik sezonowości
c. ocenić sezowność wyznaczając oczyszczony addytywny wskaźnik sezonowości
d. przedstawić graficznie wyrównanie szeregu z trendem.
Wahania sezonowe – szereg czasowy bez trendu
Zadanie 3. W tabeli przedstawiono liczbę zleceń (yt) wykonywanych przez pewną firmę budowlaną w latach 20082011.
kwartał
lata
2008
2009
2010
2011
I kwartał
8
8
7
9
II kwartał
13
12
11
14
III kwartał
10
8
10
9
IV kwartał
6
5
6
4
Proszę wyznaczyć:
a. średnią kwartalną całego szeregu
b. średnie w poszczególnych kwartałach
c. absolutne wskaźniki wahań sezonowych.
Zadanie 4. W tabeli przedstawiono sprzedaż owoców pewnego rolnika (w kg) w kolejnych tygodniach.
poniedziałek
wtorek
środa
czwartek
piątek
I tydzień
20
15
20
15
32
II tydzień
22
18
24
18
35
III tydzień
24
20
27
20
38
IV tydzień
26
22
30
24
40
Proszę wygładzić podany szereg czasowy za pomocą:
a. 3-okresowych średnich ruchomych
b. 5-okresowych średnich ruchomych
c. przedstawić graficznie szereg czasowy z tabeli oraz szeregi wygładzone. Wykres skomentować.
1
Zadanie 5. W tabeli przedstawiono skup pewnego produktu rolnego (w tys. t) w latach:
lata
2002
2003
2004
2005
półrocza
I
II
I
II
I
II
I
II
poziom skupu
2
48
6
44
10
40
14
36
średnie ruchome
◦
26
26
26
...
...
26
◦
2-okresowe
Proszę:
a. obliczyć wartość średnich w 2004
b. ocenić sezonowość wahań skupu w I półroczu.
Zadanie 6. Na podstawie półrocznych informacji o sprzedaży samochodu pewnej marki w latach 2003-2006
wyznaczono addytywny surowy wskaźnik sezonowości dla pierwszego półrocza: S1’=-10,33.
lata
2003
2004
2005
2006
półrocza
I
II
I
II
I
II
I
II
liczba samochodów (w tys. szt.)
100 115 102
126
105
130
112 135
średnie ruchome
◦
108 ... 114,75 116,5 119,25 ...
◦
Proszę wyznaczyć:
a. brakujące średnie ruchome
b. graficznie szereg empiryczny sprzedaży oraz szereg wyrównany
c. i zinterpretować oczyszczony wskaźnik sezonowości dla II półrocza.
Zadanie 7. Na podstawie analizy sezonowości liczby kobiet zatrudnionych w sektorze prywatnym uzyskano
względne oczyszczone wskaźniki wahań okresowych: QI=96,57%, QII=100,12% i QIII=103,54%. Proszę obliczyć
wskaźnik wahań okresowych dla IV-tych kwartałów i zinterpretować go.
Zadanie 8. W tabeli przedstawiono zużycie prądu (w kWh) w ciagu doby w trakcie 5 dni i nocy.
dzień
pora doby
zużycie prądu (w kWh)
237
1
1 dzień
71515
23
3
4
237
1
2 dzień
71515
23
2
5
237
1
3 dzień
71515
23
3
4,5
237
2
4 dzień
71515
23
2
4,5
237
1
5 dzień
71515
23
2
5
Proszę wyznaczyć:
a. absolutne wskaźniki wahań okresowych,
b. względne wskaźniki wahań okresowych,
c. graficznie szereg empiryczny zużycia prądu.
Dlaczego powyższy szereg traktowany jest jako szereg czasowy bez trendu?
Zadanie 9. W sklepie sportowym analizowano dane kwartalne o sprzedaży sprzętu sportowego (w tys. zł) w
trakcie 4 kolejnych lat:
kwartał
lata
1
2
3
I kwartał
II kwartał
38
30
41
38
46
40
4
48
44
III kwartał
40
42
45
50
IV kwartał
42
31
30
40
Proszę:
a. wyrównań szereg czasowy za pomocą średnich ruchomych scentrowanych,
b. wyznaczyć surowy wskaźnik sezonowości II kwartału,
c. przedstawić graficznie szereg empiryczny i szereg wyrównany za pomocą średnich ruchomych
scentrowanych.
2
Zadania sprawdzające na podst. M. Wieczorek, Statystyka. Lubię to! Zbiór zadań, Oficyna Wydawnicza SGH,
Warszawa 2013.
Każdą odpowiedź jako: T – prawdziwą lub N – nieprawdziwą.
Zadanie 1.1
Do analizy szeregu czasowego w celu wyodrębnienia trendu można zastosować:
a. średnie ruchome
b. metodę najmniejszych kwadratów
c. indeksy łańcuchowe.
Zadanie 1.2
Wahania sezonowe zużycia prądu można analizować (o ile są dostępne dane) w podokresach:
a. miesięcznych
b. dziennych
c. godzinowych.
Zadanie 1.3
Podzielenie wyrazów empirycznego szeregu czasowego przez właściwe oczyszczone wskaźniki wahań
sezonowych w modelu multiplikatywnym powoduje, że tak otrzymany szereg:
a. jest określony tylko przez trend i wahania przypadkowe,
b. jest pozbawiony wahań sezonowych,
c. wskazuje na liniowy przebieg tendencji rozwojowej.
Zadanie 1.4
Indywidualne wskaźniki sezonowości (będące ilorazem wyrazów szeregu czasowego przez średnie ruchome):
a. wyznaczamy zarówno w szeregu czasowym z wahaniami addytywnymi, jak i multiplikatywnymi,
b. są określone przez wahania sezonowe,
c. po uśrednieniu dla jednoimiennych podokresów cyklu pozwalają wyelminować wahania przypadkowe.
Zadanie 1.5
Do analizy szeregu czasowego można zastosować:
a. w celu wyodrębnienia trendu – średnie ruchome scentrowane,
b. w celu zmierzenia wahań sezonowych o stałej amplitudzie wahań – wskaźniki sezonowości dla wahań
addytywnych,
c. indeksy jednopodstawowe.
3
Wzory – wahania sezonowe
WYGŁADZANIE SZEREGU CZASOWEGO – metody mechaniczne:
1. średnie ruchome zwykłe
=
1
2 +1
,
2 + 1 – liczba wyrazów uwzględnianych przy obliczaniu średniej ruchomej,
– liczba naturalna, np. 1, 2, ...
= + 1, + 2, . . . −
np. średnie ruchome 3-okresowe:
+ +
=
; = 2, 3, … , − 1
3
np. średnie ruchome 5-okresowe:
+
+ +
+
=
5
; = 3, 4, … , − 2
2. średnie ruchome scentrowane
+∑
=
#
= ,
=
+
", gdzie
−liczba (parzysta) podokresów w cyklu wahań
+ 1, + 2, … , −
np. średnie ruchome 2-okresowe:
1
1
+ +
2
2
=
, = 2, 3, … , − 1
2
np. średnie ruchome 4-okresowe:
1
1
+
+ +
+
2
=2
4
, = 3, 4, … , − 2
SZEREG CZASOWY BEZ TRENDU
1. średnia wartość yt z całego szeregu czasowego:
%=
&
1
=
∑&
2. średnia wartość badanej zmiennej w i-tym podokresie cyklu:
'
=
(+)
∑)∈.+ ()
&+
np. średnia I kwartału z 5 lat: %%% =
∑ ( (/01.)
2
=
(34 (54 (64 (74 (84
2
3. wskaźniki wahań okresowych (absolutne):
9: = ' − %
4. wskaźniki wahań okresowych (relatywne, względne):
;: =
'
; = 1,2, … ,
%
Interpretacja: (;: − 1) ∗ 100% = ⋯ %
4
SZEREG CZASOWY Z TRENDEM
I.
Metoda multiplikatywna
1. Surowy względny (relatywny) wskaźnik sezonowości (wahań okresowych)
;:@ =
&+
∑
()
,
∈A: %%%
(
)
gdzie
− śC
CDEℎGH
I – zbiór numerów obserwacji, które dotyczą −
2.
G podokresu cyklu
Wskaźnik korygujący
#
J=∑
K+L
gdzie
− M E NOPG GJC QóS
3.
Oczyszczony (względny) wskaźnik sezonowości
;: = J ∗ ;:@
4.
Eliminacja wahań okresowych multiplikatywnych (wygładzanie wyrazów szeregu czasowego)
T = /;: , ∈ I:
II.
1.
Metoda addytywna
Surowy względny (relatywny) wskaźnik sezonowości (wahań okresowych)
1
( − ),
9:@ =
: −1
∈A:
2.
Wskaźnik korygujący
J = ∑#: 9:@,
#
3.
gdzie
= 1, 2, . . . ,
Oczyszczony (względny) wskaźnik sezonowości
9: = 9:@ − J = 9:@ − ∑#: 9:@ ,
#
4.
gdzie
= 1, 2, . . . ,
Eliminacja wahań okresowych addytywnych (wygładzanie wyrazów szeregu czasowego)
T = − 9: , ∈ I:
5