t - E-SGH

Wykład 6
Badanie dynamiki zjawisk
WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW
SZEREGU CZASOWEGO
• TREND
1. FUNKCJA TRENDU – METODA ANALITYCZNA
2. ŚREDNIE RUCHOME – METODA
WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO
• średnie ruchome zwykłe
• średnie ruchome scentrowane
Krzywa wieża w Pizie
t
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757
Szeregiem czasowym nazywamy zbiór wartości cechy w
uporządkowanych
chronologicznie
różnych
momentach
(przedziałach) czasu.
Oznaczając przez t t  1,..., n  momenty (przedziały) czasu, w
których obserwowano wartości pewnej zmiennej, a przez yt
wyniki obserwacji, szereg czasowy zapisujemy jako zbiór {y t;
t=1,...n}
lata
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Eksport
78 233,9
94 239,7
120 634,7
156 122,1
161 040,1
201 907,8
210 919,1
231 535,0
280 887,6
346 630,8
364 657,6
427 145,5
Eksport towarów i usług w Polsce w mln zł
w latach 1995-2006
Eksport w Polsce w latach 1995-2006 (mln zł)
450 000,0
400 000,0
350 000,0
300 000,0
250 000,0
200 000,0
150 000,0
100 000,0
50 000,0
0,0
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Eksport
2002
2003
2004
2005
2006
2007
SKŁADNIKI SZEREGU CZASOWEGO
tendencja rozwojowa (trend) - ogólny kierunek zmian zjawiska w
czasie będący wynikiem systematycznych, jednokierunkowych zmian
(spadek lub wzrost) poziomu badanego zjawiska
wahania okresowe - rytmiczne wahania poziomu badanego zjawiska o
określonym cyklu (okresie przebiegu) (regularne odchylenia wartości cechy
od trendu)
wahania koniunkturalne - systemowe wahania poziomu badanego
zjawiska obserwowane w dłuższych od roku okresach
wahania przypadkowe - nieregularne, nieprzewidywalne zarówno co
do kierunku jak i siły zmiany poziomu badanego zjawiska
METODA ANALITYCZNA
• Modele tendencji rozwojowej stosujemy do
prognozowania
na
podstawie
szeregów
czasowych, w których występują trend oraz
wahania przypadkowe.
• Rolę zmiennej objaśniającej odgrywa zmienna
czasowa. Nie jest ona bezpośrednią przyczyną
zmian zachodzących w wartościach zmiennej
prognozowanej, ale syntetyzuje wpływ bliżej
nie znanych czynników, stwarza możliwość
opisu tych zmian w sposób ilościowy.
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW –
METODA ANALITYCZNA
Postać liniowego modelu tendencji rozwojowej
Y  t   
t
( t  1, 2,...,n)
t
E ( )  0
t
D ( )  
2
2
t
cov( ,  )  E ( ,  )  0
s
t
s
t
dla s  t
MNK
Zakładając, że do opisu tendencji rozwojowej (trendu)
stosujemy funkcję liniową dobieramy tak wartości
współczynników równania linii prostej, aby jej wykres
możliwie dobrze "pasował" do punktów reprezentujących
na wykresie poszczególne obserwacje z próby:
n 1
S    yt   t t   2  min
t 0
ˆ 
n yt  t   yt  t
n t   t 
2
ˆ  yt  ˆt
2
n
1
t  t
n t 1
Eksport w Polsce w latach 1995-2006 (w mln zł)
450 000,0
400 000,0
350 000,0
300 000,0
250 000,0
200 000,0
150 000,0
100 000,0
50 000,0
0,0
1
MNK
2
3
4
5
Eksport
6
7
8
9
10
11
Liniowy (Eksport)
yt  30412,88t  25145,74
R² = 0,9629
12
Prognoza (predykcja)
Żeby użyć modelu do budowy prognoz trzeba
założyć:
a) stabilność relacji strukturalnych w czasie =
postać analityczna modelu i wartość ocen jego
parametrów nie ulegną zmianie w przedziale czasu,
dla którego wyznacza się prognozę,
b) stabilność rozkładu składnika losowego
(umożliwia ocenę błędu ex ante prognozy).
Predykcja dla 2009 (t=15)
yˆ  30412,88  15  25145,74  481339
p
t
Średni błąd predykcji
 
S Yˆ  S
tp
1 t  t 
1 

n  t  t 
2
p
e
n
i 1
2
i
1 (15  6,5)
 19176 1  
 24169
12
143
2
Predykcja na podstawie trendu
Przedział ufności dla 2009 (t=15)
stopnie swobody v = n – 2 => v=10,
współczynnik ufności
1-α=0,90
P (Yˆ  t S (Yˆ )  Y  Yˆ  t S (Yˆ ))  1  
p
t
p
, n 2
p
t
437532,94 <
t
Yt
p
p
t
p
, n 2
< 525144,94
t
średnie ruchome zwykłe - oblicza się z nieparzystej
liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów szeregu, tak
aby uzyskany wynik móc przyporządkować
całkowitej wartości t znajdującej się w środku
uwzględnionego w obliczeniach przedziału
czasowego:
EksportEksport
w Polsce
latachw1995-2006
(mln zł)
ww
Polsce
latach 1995-2006
450 000,0
400 000,0
350 000,0
300 000,0
250 000,0
200 000,0
150 000,0
100 000,0
50 000,0
0,0
1
2
3
4
5
Eksport
6
7
8
9
średnie
Eksportruchome 3-okresowe
10
11
12
TREND
EksportEksport
w Polsce
latachw1995-2006
(mln zł)
ww
Polsce
latach 1995-2006
TrendTrendśrednie
średnie
ruchome
ruchome
3-3-okresowe
i 5-okresowe
450
450000
000,0
400
400000
000,0
350
350000
000,0
300
300000
000,0
250
250000
000,0
200
200000
000,0
150
150000
000,0
100
100000
000,0
5050000
000,0
0,0
0
1
2
3
4
5
średnie ruchome 3-okresowe
6
7
8
9
10
średnie ruchome 5-okresowe
średnie ruchome
Eksport3-okresowe
11
12
TREND
średnie ruchome scentrowane - oblicza się z
parzystej liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów
szeregu, uwzględniając połowę wartości pierwszego
wyrazu z danego cyklu wahań, następnie wszystkie
pozostałe wyrazy składające się na pełny cykl wahań
oraz połowy wartości pierwszego wyrazu z
następnego cyklu wahań:
q 1

1 1
1
 y t  q   yt  r  y t  q 
k yt 
2q  2
2

r   q 1
t  q  1, q  2,..., n  q 
gdzie:
d
q  , przy czym d jest liczbą podokresów w cyklu wahań
2
2000-2006(w(mln
zł)
Produkt krajowy brutto w Polsce w latach 2001-2006
tys zł)
310,0
290,0
270,0
250,0
230,0
210,0
190,0
170,0
20
00
20 I
00
-II
I
20
01
20 I
01
-II
I
20
02
20 I
02
-II
I
20
03
20 I
03
-II
I
20
04
20 I
04
-II
I
20
05
20 I
05
-II
I
20
06
20 I
06
-II
I
150,0
PKB
czterookresowym cyklu wahań
310,0
Produkt krajowy brutto w Polsce w latach 20002006 (mln zł); trend – średnie ruchome
TREND
290,0
270,0
250,0
230,0
210,0
190,0
170,0
150,0
średnie ruchome
WSKAŹNIKI WAHAŃ OKRESOWYCH DLA
SZEREGU CZASOWEGO Z TRENDEM
dla sezonowości
addytywnej:
amplituda wahań w
kolejnych okresach
nie będzie rosła
wraz ze wzrostem
średniego poziomu
(nie będzie z nim
dodatnio
skorelowana)
yt = Tt + St + et
dla sezonowości
multiplikatywnej:
amplituda wahań w
kolejnych okresach
będzie rosła wraz ze
wzrostem średniego
poziomu (będzie z nim
dodatnio skorelowana)
yt = Tt • Ot • et
WSKAŹNIKI WAHAŃ OKRESOWYCH DLA
SZEREGU CZASOWEGO Z TRENDEM
d
WAHANIA OKRESOWE ADDYTYWNE
S
i
i 1
0
25,0
Indywidualne wskaźniki okresowości PKB w latach 2000(wzł)
mln zł)
2006 (w tys
20,0
15,0
10,0
Indywidualne
wskaźniki
okresowości w
jednostkach
t
absolutnych
y
5,0
0,0
-5,0
-10,0
-15,0
-20,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Indywidualne wskaźniki okresowości
Wahania okresowe w jednostkach absolutnych
1
S  y  y 
n
'
i
i
tN i
t
t
(i=1,2,…,d)
 yt 
kwartały
I
II
III
IV
suma
S'i
-11,992
-4,132
-3,449
19,219
-0,354
Si
-11,903
-4,044
-3,360
19,307
0,000
d
S
i
0
i 1
Skorygowane wahania okresowe (suma odchyleń okresowych w
obrębie cyklu wahań równa zeru)
1 d '
k   Si
d i 1
Si  S  k
'
i
i  1,2,..., d 
i  1,2,..., d 
WAHANIA OKRESOWE
MULTIPLIKATYWNE
Turyści zagraniczni w Krakowie w latach
2001-2006
300000
250000
200000
150000
100000
50000
0
turyści zagraniczni
4 okr. śr. ruch. (turyści zagraniczni)
d
 0i  d
i 1
Indywidualne wskaźniki okresowości
1,600
1,400
1,200
1,000
Indywidualne
wskaźniki
okresowości w
jednostkach
względnych
t
y
yt
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
Indywidualne wskaźniki okresowości
yt
1
0i 
- surowy wskaźnik wahań okresowych

ni  1 tN i yt
kwartały
I
II
III
IV
suma
k
d
d
 0i
i 1
0i  0i  k
O'i
Oi
0,527
0,530
1,210
1,217
1,503
1,512
0,737
0,742
3,977
4,000
- wskaźnik korygujący
d
 0i  d
i 1
ELIMINACJA WAHAŃ SEZONOWYCH Z
SZEREGU CZASOWEGO
Wahania okresowe addytywne
~
yt  yt  Si
;
t  Ni
PKB w Polsce w latach 2001-2006 (w tys zł)
310,00
290,00
270,00
250,00
230,00
210,00
190,00
170,00
PKB
szeregoczyszczony
oczyszczonyz zwahań
wahań okresowych
szereg
2006-III
2006-IV
2006-II
2006-I
2005-IV
2005-II
2005-III
2005-I
2004-IV
2004-III
2004-I
2004-II
2003-IV
2003-III
2003-II
2003-I
2002-IV
2002-III
2002-II
2002-I
2001-IV
2001-III
2001-II
2001-I
2000-III
2000-IV
2000-II
2000-I
150,00
ELIMINACJA WAHAŃ SEZONOWYCH Z
SZEREGU CZASOWEGO
Wahania okresowe multiplikatywne
~
yt  yt / 0i
;
t  Ni
Turyści zagraniczni w Krakowie w latach 2001-2006
300000
250000
200000
150000
100000
50000
0
turyści zagraniczni
Szeregoczyszczony
oczyszczonyzzwahań
wahań
szereg
okresowych
ADDYTYWNY, LINIOWY MODEL
TENDENCJI ROZWOJOWEJ PRZY
UWZGLĘDNIENIU
WAHAŃ OKRESOWYCH
Yt  t    1Xt1   2 Xt 2   3 Xt3   4 Xt 4 t
X ti  i  1,...,4 
gdzie
są
zmiennymi
reprezentującymi poszczególne podokresy cyklu:

X ti  

 t  1,2,..., n ,
zero-jedynkowymi
1, dla obserwacji dotyczących i-tego kwartału,
0, dla obserwacji dotyczących pozostałych kwartałów.
ANALIZA WAHAŃ OKRESOWYCH
WSKAŹNIKI WAHAŃ OKRESOWYCH DLA
SZEREGU CZASOWEGO BEZ TRENDU
Turyści krajowi w Krakowie w latach 2001-2004 (w tys)
140
130
120
110
100
90
80
70
-I
20 I
01
-I
20 II
01
-IV
20
02
-I
20
02
-I
20 I
02
-I
20 II
02
-IV
20
03
-I
20
03
-I
20 I
03
-I
20 II
03
-IV
20
04
-I
20
04
-II
20
04
-I
20 II
04
-IV
20
01
20
01
-I
60
turyści krajowi
Liniowy (turyści krajowi)
kwartały średnie
I
81
II
126,5
III
103,5
IV
92,5
ogólna
100,9
=100,9 tys.
średnia liczba turystów krajowych w
Krakowie na kwartał w latach 2001-2004
względny wskaźnik wahań okresowych:
yi
0i  ;
y
i  1,2,..., d
kwartały
I
II
III
IV
suma
Oi
0,803
1,254
1,026
0,917
4,000
Wartość wyrażenia  0i  1  100% mówi, o ile procent wartości
zjawiska obserwowane w i-tym podokresie cyklu są, na skutek wahań
okresowych, przeciętnie wyższe (znak +) lub niższe (znak -) od
średniego zjawiska określonego przez trend.
absolutny wskaźnik wahań okresowych
S i  yi  y
i  1,2,..., d 
kwartały
I
II
III
IV
suma
Si
-19,875
25,625
2,625
-8,375
0,000