8. Rachunek całkowy

8. Rachunek całkowy: pojęcie całki nieoznaczonej, własności całki nieoznaczonej, metody
całkowania: całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie, pojęcie całki
oznaczonej, interpretacja geometryczna całki oznaczonej, własności całki oznaczonej,
obliczanie pól ograniczonych krzywymi, całki niewłaściwe. Przykłady wykorzystania
rachunku całkowego w ekonomii.










f  x dx  F ( x)  c
dx  x  c
x 2 dx 
x3
c
3
sin xdx   cos x  c
1
cos 2 x
1
x2 1
dx  tgx  c
dx  arctgx  c
x2
c
2
xdx 
1
dx  ln x  c
x
cos xdx  sin x  c
1
sin 2 x
dx  ctgx  c
x  5  t 
cos(
x

5
)
dx




 dx  dt 
 cos tdt  sin t  C 
sin( x  5)  C
3  2x  t


1  
dx  
 2dx  dt  dx   2 dt 
1
1 5
4 
 t    2 dt   10 t  C 
1
 (3  2 x) 5  C
10
 (3  2 x)
4
 f ( x)  cos x F ( x)  sin x 
 x cos xdx   g ( x)  x g ' ( x)  1  
 f ( x)  e x
x
xe
dx



 g ( x)  x
F ( x)  e x 

g ' ( x)  1 
x  sin x   sin xdx  x  sin x  cos x  C
x  e x   e x dx  e x ( x  1)  C
Zadanie 1. (pojęcie całki nieoznaczonej, własności całki nieoznaczonej, metody całkowania:
całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie) Rozwiąż poniższe całki nieoznaczone:
1
a)

b)

xe
c)

sin x cos x dx
d)

sin x ecos x dx
2x  3
x2
dx
dx
e)

ex sin x dx
f)

(5x2 – 6x + 3 –
g)

x
dx
1 x2
2
5
+ 2 )dx
x
x
h)

(x2 + 4)5 x dx
m)

x2 ex dx
i)

x x dx
n)

ex cos x dx

o)

cos x
j)
k)

dx
p)

l)

3x  1 dx
q)

3
x
dx
x
x
x2
1  sin x
1
x5
dx
dx
(2x + 1)3 dx
Zadanie 2. Rozwiąż poniższe całki oznaczone (pojęcie całki nieoznaczonej)
10
a)

x e  x dx
2
0
8
b)

cos x · esin x dx
6
3
c)

x cos x dx
1
Zadanie 3. (interpretacja geometryczna całki oznaczonej) Oblicz pole zbioru ograniczonego
krzywymi o równaniach:
a)
i
b)
i
c)
i
i
,
Zadanie 4. (interpretacja ekonomiczna całki oznaczonej) Jeżeli funkcja
w przedziale
, to całka
opisuje koszty krańcowe
oznacza przyrost kosztów w przedziale
. Podobną
interpretację otrzymamy dla innych wielkości, jak: zysk, wielkość produkcji, cena itd.
a) Badania wykazały, że liczba ryb w stawie wzrasta w ciągu
miesięcy z prędkością
sztuk na miesiąc. O ile wzrośnie liczba ryb w ciągu roku?
b)
Badania wykazały, że sprzedaż kurtek w okresie jesienno-zimowym wzrasta w ciągu
miesięcy z prędkością
sztuk na miesiąc. O ile wzrośnie sprzedaż od września do
stycznia?
Zadanie 5. (całki niewłaściwe) Sprawdzić, czy istnieje całka niewłaściwa i obliczyć ją:
a)
c)
b)
d)