Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania
1
Suma A ∪ B składa się z wszystkich elementów, które należą do
zbioru A lub do zbioru B:
(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).
Część wspólna (przekrój) A ∩ B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).
Różnica A \ B składa się z wszystkich elementów, które należą
do zbioru A, ale nie należą do zbioru B:
(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B).
2
Przykład zastosowania diagramów Venne’a.
Zadanie. Załóżmy, że prawdziwe są następujące stwierdzenia:
(1) wśród ludzi posiadających telewizory są tacy, którzy nie są
malarzami,
(2) ludzie, którzy codziennie pływają w basenie, a nie są malarzami, nie mają telewizorów.
Czy wynika stąd, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie:
(3) nie wszyscy posiadacze telewizorów pływają codziennie w
basenie?
3
Inkluzja zbiorów
Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy
A ⊂ B, jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B,
czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie
(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B).
Przykłady:
{0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1],
N1 ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
4
Własności:
1) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.
2) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.
3) Jeżeli A ⊂ C i B ⊂ C, to A ∪ B ⊂ C.
4) Jeżeli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C.
Zadanie. Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą
następujące równoważności:
A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B.
5
Zbiór pusty to zbiór posiadający 0 elementów, oznaczamy go
symbolem ∅.
Zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze:
∅ ⊂ A.
Jest tylko jeden zbiór pusty:
(∅1 ⊂ ∅2) ∧ (∅2 ⊂ ∅1) ⇒ (∅1 = ∅2).
6
Algebra podzbiorów danego zbioru
Przez X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru X
oznaczamy symbolem 2X , na przykład:
jeśli X = {a, b}, to 2X = {∅, {a}, {b}, {a, b}},
jeśli X = {1, 2, 3}, to
2X = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Twierdzenie. Jeśli zbiór X ma n elementów, to zbiór 2X ma
2n elementów.
Jeśli mamy ustalony zbiór X i rozważamy tylko jego podzbiory,
to zbiór X nazywamy przestrzenią lub uniwersum.
7
Dopełnieniem zbioru A (w przestrzeni X) nazywamy zbiór A0 =
X \ A. Dla każdego elementu x ∈ X prawdziwe jest zdanie
x ∈ A0 ⇔∼ (x ∈ A).
Zachodzą następujące zależności:
A ∩ A0 = ∅, A ∪ A0 = X, (A0)0 = A,
∅0 = X, X 0 = ∅.
8
Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów:
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0, (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0.
Podobne zależności zachodzą dla większej liczby zbiorów, na
przykład:
(A ∪ B ∪ C)0 = A0 ∩ B 0 ∩ C 0,
(A ∩ B ∩ C ∩ D)0 = A0 ∪ B 0 ∪ C 0 ∪ D0.
9
Iloczyn kartezjański zbiorów
Rozważmy dwa zbiory A i B. Z dowolnych elementów a ∈ A i
b ∈ B możemy utworzyć parę (a, b). Zbiór wszystkich takich par
oznaczamy symbolem A×B i nazywamy iloczynem kartezjańskim
zbiorów A i B:
A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B},
przy czym
(a, b) = (a0, b0) ⇔ (a = a0) ∧ (b = b0).
Uwaga. Jeśli zbiory A i B są skończone i zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A × B ma m · n
elementów.
10
Kwadratem kartezjańskim zbioru A nazywamy zbiór A2 = A × A.
Przykład. R2 = R×R – płaszczyzna (z układem współrzędnych),
[0, 3) × (1, 2] ⊂ R2,
[0, 3) × (1, 2] = {(x, y); x ∈ [0, 3), y ∈ (1, 2]}.
11
Analogicznie określamy iloczyn kartezjański większej liczby zbiorów, na przykład
A × B × C = {(a, b, c); a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C},
przy czym
(a, b, c) = (a0, b0, c0) ⇔ (a = a0) ∧ (b = b0) ∧ (c = c0).
Zbiór
An = |A × A ×
{z . . . × A} =
n
= {(a1, a2, . . . , an); a1, a2, . . . , an ∈ A}
nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A, na przykład R3 to
przestrzeń trójwymiarowa (z układem współrzędnych) i ogólnie
Rn to przestrzeń n-wymiarowa.
12
Funkcje
„Jeżeli mamy dwa zbiory X i Y , i każdemu elementowi zbioru X
przyporządkujemy jeden i tylko jeden element zbioru Y , to takie
przyporządkowanie nazywamy funkcją.”
f : X → Y , X – dziedzina funkcji f , Y – przeciwdziedzina funkcji f .
13
Przykłady:
• f : Z → Z, f (n) = n + 1,
• gi : R → R, g1(x) = ax + b, g2(x) = sin x, g3(x) = 2x,
g4(x) = anxn + . . . + a1x + a0,
• E(x) = [x], np. E : R → R lub E : R → Z,
• f : N1 × N1 → N1, f (m, n) = NWD(m, n),
14
• g : R3 → R, g(x, y, z) = xy + yz + zx,
• h : R → R2, h(t) = (cos t, sin t),
• X – zbiór, IdX : X → X, IdX (x) = x,
• T – zbiór trójkątów, P : T → R, P (ABC) – pole trójkąta ABC,
• ciąg a1, a2, a3, . . . elementów zbioru A to funkcja
a : N1 → A, a(n) = an.
15
Zbiorem wartości funkcji f : X → Y nazywamy zbiór
f (X) = {f (x); x ∈ X} = {y ∈ Y : ∃x∈X y = f (x)}.
Przykłady:
• f : R → R, f (x) = xn, gdzie n ∈ N1,
(
f (R) =
[0, +∞), jeśli n jest parzyste,
R,
jeśli n jest nieparzyste.
• g : R → R, g(x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R,
(
g(R) =
R,
jeśli a 6= 0,
{b}, jeśli a = 0.
16
• E : R → R, f (x) = [x], E(R) = Z
• h : R → R2, h(t) = (cos t, sin t), h(R) =?
Uwaga. Zbiór wartości jest podzbiorem przeciwdziedziny:
f (X) ⊂ Y,
nie musi być równy całej przeciwdziedzinie!
17
Definicja. Funkcję f : X → Y nazywamy różnowartościową lub
injekcją, jeśli różnym elementom zbioru X przyporządkowuje różne elementy zbioru Y :
∀x1,x2∈X x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
Warunek równoważny:
∀x1,x2∈X f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
18
Przykłady injekcji:
• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,
• g : [− π2 , π2 ] → R, g(x) = sin x,
• dowolna funkcja rosnąca f : R → R.
Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R → R, f (x) = xn jest injekcją?
19
Definicja. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją „na” lub surjekcją, jeśli każdy element zbioru Y jest przyporządkowany jakiemuś
elementowi zbioru X, czyli
∀y∈Y ∃x∈X f (x) = y.
Funkcja jest „na”, gdy jej przeciwdziedzina jest zbiorem wartości:
f (X) = Y .
20
Przykłady surjekcji:
• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,
• f : R → [−1, 1], f (x) = sin x,
• f : R → Z, f (x) = [x].
Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R → R, f (x) = xn jest surjekcją?
21
Definicja. Funkcję f : X → Y nazywamy wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją, jeśli jest różnowartościowa i „na” (czyli jest injekcją i surjekcją).
Przykłady bijekcji:
• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,
• f : R \ {0} → R \ {0}, f (x) = 1
x,
• f : [− π2 , π2 ] → [−1, 1], f (x) = sin x,
• f : R → R+, f (x) = ax, gdzie a > 0 i a 6= 1.
22
Rozważmy funkcje f : X → Y i g : Y → Z. Dla x ∈ X mamy
y = f (x) ∈ Y , więc mamy również g(y) = g(f (x)) ∈ Z. W ten
sposób określamy złożenie funkcji f i g:
g ◦ f : X → Z, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ X.
Przykład: f, g : R → R, f (x) = x + 1, g(x) = x2,
f (g(x)) = x2 + 1, g(f (x)) = (x + 1)2.
23
Funkcja f : X → Y jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy każdy
element y ∈ Y jest przyporządkowany dokładnie jednemu elementowi x ∈ X. Wówczas istnieje funkcja g : Y → X taka, że
g(y) = x ⇔ y = f (x) dla x ∈ X, y ∈ Y.
Funkcja g spełnia warunki:
∀x∈X g(f (x)) = x i ∀y∈Y f (g(y)) = y,
czyli
g ◦ f = IdX i f ◦ g = IdY .
Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy
symbolem f −1.
24
Przykłady funkcji odwrotnych:
• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,
f −1 : R → R, f −1(x) = x−b
a ,
• g : [0, +∞) → [0, +∞), g(x) = xn, gdzie n ∈ N, n > 2
√
g −1 : [0, +∞) → [0, +∞), g −1(x) = n x,
• h : R → (0, +∞), h(x) = ax, gdzie a > 0, a 6= 1,
h−1 : (0, +∞) → R, h(x) = loga(x).
25
Rozważmy funkcję f : X → Y . Dla dowolnego zbioru A ⊂ X określamy jego obraz:
f (A) = {f (x); x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x∈A f (x) = y}.
Dla dowolnego zbioru B ⊂ Y określamy jego przeciwobraz:
f −1(B) = {x ∈ X; f (x) ∈ B}.
26
Przykłady:
• f : R → R, f (x) = x2 + x + 1,
−1 (( 3 , 1)) = (−1, − 1 ) ∪ (− 1 , 0)
f ([−1, 2]) = [ 3
,
7],
f
4
4
2
2
• g : R → R, g(x) = sin 3x,
g((0, π3 )) = (0, 1], g −1([−1, 0)) =
4π ) ∪ . . . =
)
∪
(π,
= . . . ∪ (− π3 , 0) ∪ ( π3 , 2π
3
3
S
(2k−1)π 2kπ
(
, 3 )
k∈Z
3
• E : R → R, E(x) = [x],
√ √
√ √
−1
E((− 2, 2)) = {−2, −1, 0, 1}, E ((− 2, 2)) = [−1, 2).
27
Zadanie. Rozważmy funkcję f : Z × Z → Z, f (x, y) = xy. Znajdź
obraz zbioru
{1, 10, 100, 1000} × {1, 10, 100, 1000}
oraz przeciwobraz zbioru {1, 2, 3}.
28