pobierz

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.
RÓWNANIA PŁASZCZYZN
Fakt (równanie normalne płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny  przechodzącej przez punkt P0  ( x0 , y0 , z0 ) o wektorze wodzącym
r0  [ x0 , y0 , z0 ] i prostopadłej do wektora n  [ A, B, C ]  0 ma postać
 : (r  r0 ) n  0,
gdzie r  [ x, y, z] jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor n  [ A, B, C ]  0
nazywamy wektorem normalnym do płaszczyzny.
W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny  przyjmuje postać:
 : A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0.
Powyższe zależności nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny.
Fakt (równanie ogólne płaszczyzny)
Każde równanie postaci
 : Ax  By  Cz  D  0,
gdzie A  B  C  0 , przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny
n  [ A, B, C ] i przecina oś OZ w punkcie z  
D
, o ile C  0.
C
Przykład
Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek odcinka AB , gdzie
A  (3,2, 1), B  (5,0,7) i prostopadłej do tego odcinka.
1
Fakt (równanie parametryczne płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny  przechodzącej przez punkt P0  ( x0 , y0 , z0 ) o wektorze wodzącym
r0  [ x0 , y0 , z0 ] i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach u  [a1, b1, c1 ] i v  [a2 , b2 , c2 ] ma
postać
 : r  r0  su  tv , gdzie s, t 
lub inaczej
 :[ x, y, z]  [ x0 , y0 , z0 ]  s[a1, b1, c1 ]  t[a2 , b2 , c2 ], gdzie s, t 
lub
 x  x0  s a1  t a2

 :  y  y0  s b1  t b2 , gdzie s, t  .
 z  z  sc tc
0
1
2

Powyższe zależności nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.
Przykład
Napisać równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych i
równoległej do wektorów u  [1, 2,3], v  [0, 1, 2].
Fakt (równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty)
Równanie płaszczyzny  przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty
P1  ( x1, y1, z1 ), P2  ( x2 , y2 , z2 ), P3  ( x3 , y3 , z3 ) ma postać
x
x
: 1
x2
x3
y
y1
y2
y3
z
z1
z2
z3
1
1
 0.
1
1
Fakt (równanie odcinkowe płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny  odcinającej na osiach OX, OY, OZ układu współrzędnych odpowiednio
odcinki (zorientowane) a, b, c przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty a, b, c  0 ma
postać
x
a
: 
y z
 1
b c
2
Powyższą zależność nazywany równaniem odcinkowym płaszczyzny.
Przykład
Znaleźć równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P  (1,2,3) i odcina na osiach
układu odcinki jednakowej
RÓWNANIA PROSTYCH
Fakt (równanie parametryczne prostej)
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0  ( x0 , y0 , z0 ) o wektorze wodzącym
r0  [ x0 , y0 , z0 ] i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku v  [a, b, c] ma postać
l : r  r0  tv , gdzie l : r  r0  tv ,
lub po rozpisaniu
l :[ x, y, z]  [ x0 , y0 , z0 ]  t[a, b, c], gdzie t 
lub
 x  x0  t a

 :  y  y0  t b , gdzie t  .
z  z tc
0

3
Fakt (równanie kierunkowe prostej)
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0  ( x0 , y0 , z0 ) i wyznaczonej przez niezerowy
wektor kierunku v  [a, b, c] ma postać
l:
x  x0 y  y0 z  z0


.
a
b
c
Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem kierunkowym.
Przykład
Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt P  (1,0,3) i
równoległej do wektora v  [2,  1,5]
Definicja (równanie krawędziowe prostej)
Prosta l , która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn
1 : A1x  B1 y  C1z  D1  0 oraz  2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 , będziemy zapisywać w postaci
 A x  B1 y  C1 z  D1  0
l: 1
.
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
Ten sposób zapisu nazywamy jej równaniem krawędziowym.
4
Fakt (o wektorze kierunkowym prostej w postaci kierunkowej)
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
ma postać
A
x

B
y

C
z

D

0
 2
2
2
2
Wektor kierunkowy prostej l : 
v  [ A1, B1, C1 ]  [ A2 , B2 , C2 ].
Przykład
 6x  2 y  z  9  0
zapisać w postaci parametrycznej
3 x  2 y  2 z  12  0
Prostą l : 
Definicja (rzutu punktu na płaszczyznę i na prostą)
Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę  nazywamy punkt P ' tej płaszczyzny
spełniający warunek
P P'  .
Podobnie rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt P ' tej prostej spełniający
warunek
P P '  l.
5
Rzut ukośny punktu.
Fakt (odległość punktu od płaszczyzny)
Odległość punktu P0  ( x0 , y0 , z0 ) od płaszczyzny  : Ax  By  Cz  D  0 wyraża się wzorem
d ( P0 ,  ) 
Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
.
Fakt (odległość płaszczyzn równoległych)
Odległość między płaszczyznami równoległymi  1 i  2 o równaniach 1 : Ax  By  Cz  D1  0,
 2 : Ax  By  Cz  D2  0 wyraża się wzorem
d (1 ,  2 ) 
D1  D2
A2  B 2  C 2
.
Przykład
Obliczyć odległość:
a) Punktu P  (5,  1,6) od płaszczyzny  :3x  4 y  12 z  12  0;
b) płaszczyzn równoległych 1 : x  y  2 z  5  0,  2 :  2 x  2 y  4 z  8  0.
Fakt (wzór do obliczania kąta nachylenia prostej do płaszczyzny)
Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny  o wektorze normalnym n
wyraża się wzorem
6
(l ,  )  arcsin
n v
.
n v
Przykład
Obliczyć kąt nachylenia prostej l :
x 1 y z  2
do płaszczyzny  :2 x  y  z  0. :
 
2
1
2
Fakt (wzór do obliczania kąta między prostymi)
Kąt między prostymi l1 , l2 o wektorach kierunkowych v1 i v2 odpowiednio wyraża się wzorem
(l1 , l2 )  arccos
v1 v2
.
v1 v2
Przykład
 x  2t
 x  1  3s


Obliczyć kąt między prostymi l1 :  y  1  t , t  , l2 :  y  2  s .
 z t
 z  3


Fakt (wzór do obliczania kąta między płaszczyznami)
Kąt między płaszczyznami 1 i  2 o wektorach normalnych odpowiednio n1 i n2 wyraża się
wzorem
7
(1 ,  2 )  arccos
n1 n2
.
n1 n2
Przykład
Obliczyć kąt między płaszczyznami 1 : x  2 y  z  1  0,  2 : x  2 y  z  3  0.
8