Rok I Temat 6 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Płaszczyzna 2. Prosta

Rok I
Temat 6
GEOMETRIA ANALITYCZNA
1. Płaszczyzna
2. Prosta
Płaszczyzna
Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) i prostopadłej do
→
wektora niezerowego n = [ A, B, C]
A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C( z − z 0 ) = 0
π:
Równanie ogólne płaszczyzny π
Ax + By + Cz + D = 0
π:
(A
2
)
+ B2 + C 2 > 0
x y z
+ + = 1.
a b c
Równanie odcinkowe płaszczyzny
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dane trzy punkty nie leżące na jednej prostej
P0 ( x0 , y0 , z 0 ),
P1 (x1 , y1 , z1 ),
P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) – punkty leżące na płaszczyźnie
x
x0
y
y0
z 1
z0 1
x1
x2
y1
y2
z1 1
z2 1
=0
Kąt między płaszczyznami π1 , π 2 :
π1:
A1 x
→
,
+ B1 y + C1 z + D1 = 0
n1 = [ A1 , B1 , C1 ],
π2:
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
→
n 2 = [ A2 , B2 , C2 ]
– wektory normalne
(prostopadłe) odpowiednio do płaszczyzn π1 , π 2 .
ϕ = k ( π1 , π 2 ) = k ( n1 , n2 )
→
→
n 1⋅ n 2
cos ϕ =
→
→
=
n1 ⋅ n 2
A1 A2 + B1 B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22
Warunek prostopadłości płaszczyzn
→
→
π1⊥π 2 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0
Warunek równoległości płaszczyzn
→ →
A1 B1 C1
=
=
A2 B2 C2
π1 π 2 ⇔ n1 n2 ⇔
Jeżeli w liczniku jest zero, to przyjmujemy w mianowniku również zero.
Odległość punktu P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) od płaszczyzny π:
Ax + By + Cz + D = 0
d = d ( P0 , π) =
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A2 + B 2 + C 2
.
Prosta w przestrzeni trójwymiarowej
 x = x 0 + ta x

l:  y = y 0 + ta y t ∈ R,

 z = z 0 + ta z
Równania parametryczne prostej
→
[
gdzie P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ l , a = a x , a y , a z
]
→
l , t ∈ R a (niezerowy wektor kierunkowy prostej l ).
Równanie kanoniczne prostej
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
ax
ay
az
→
[
]
→
[
Kąt ϕ między prostymi l1, l2 o wektorach kierunkowych a = a x , a y , a z , b = bx , b y , bz
 x = x 0 + ta x

l1:  y = y 0 + ta y

 z = z 0 + ta z
t ∈R
 x = x1 + ubx

l2 :  y = y1 + ub y

 z = z1 + ubz
u ∈R
→ →
a ⋅b
cos ϕ =
→
→
a⋅b
=
a x bx + a y b y + a z bz
a x2 + a 2y + a z2 ⋅ bx2 + b y2 + bz2
→
.
→
Warunek prostopadłości prostych l1, l2: l1 ⊥ l2 ⇔ a ⊥ b ⇔ a x bx + a y b y + a z bz = 0 .
→ →
Warunek równoległości prostych l1, l2: l1 l 2 ⇔ a b ⇔
a x a y az
=
=
bx b y bz
Warunek komplanarności prostych l1, l2 (proste l1, l2 leżą w jednej płaszczyźnie):
]
 → → →
 a × b  P0 P1 =


gdzie P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ l1 ,
ax
bx
x1 − x 0
ay
by
y1 − y 0
az
bz = 0
z1 − z 0
P1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ l2 .
→
→
a× P0 P1
Odległość punktu P1 ( x1 , y1 , z1 ) od prostej l: d = d (P1 ,l ) =
→
a
Odległość prostych skośnych l1, l2: d = d (l1 ,l 2 ) =
→ → →
 a× b  P0 P1


→
→
.
a× b
Przykłady
1. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty
A(2,0,1), B(−3,1,2), C (4,2,−3) .
Rozwiązanie
π : A( x − xo ) + B ( y − yo ) + C ( z − z o ) = 0 , gdzie Po ( xo , y o , z o ) ∈ π i π = [ A, B, C ] , n ⊥ π .
Znajdujemy wektor n = ABx AC .
Wyznaczamy wektory AB, AC .
AB = [−3 − 2,1 − 0, 2 − 1] = [−5,1,1] ,
AC = [4 − 2, 2 − 0, − 3 − 1] = [2, 2, − 4] ,
i
j k
n = ABx AC = − 5 1 1 = −6i − 18 j − 12k .
2 2 −4
Wyznaczamy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(2, 0,1) i prostopadłej do
wektora n = [−6, − 18, − 12]
π : − 6( x − 2) − 18( y − 0) − 12( z − 1) = 0 .
Ostatecznie π : x + 3 y + 2 z − 4 = 0
2. Wyznaczyć równanie prostej l przechodzącej przez punkty P1 (0, 2, − 3) i P2 (1, 0, 5) .
Znaleźć odległość punktu P3 (−2, 3,1) od wyznaczonej prostej.
Rozwiązanie
a) Wyznaczamy równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P1 i
równoległej do wektora a = P1 P2 .
x = t

a = P1 P2 = [1, − 2, 8] , l :  y = 2 − 2t , t ∈ R .
 z = −3 + 8t

x y−2 z+3
l: =
=
.
1
8
−2
Równanie kanoniczne (kierunkowe) prostej l
b) Odległość punktu P3 od prostej l wyznaczamy ze wzoru:
d = d ( P3 , l ) =
P1 P3 = [−2,1, 4],
d=
a x P1 P3
,
a
i
j k
a x P1 P3 = 1 − 2 8 = −16i − 20 j − 3k ,
−2 1 4
16 2 + 20 2 + 32
2
2
1 + 2 +8
2
=
665
.
69
3. Obliczyć odległość prostych skośnych l1 i l 2 :
 x = −3 + 4t
x − 4 y +1 z + 7

l1 :  y = 6 − 3t , l 2 :
=
=
.
8
3
3
−
 z = 3 + 2t

Rozwiązanie
Odległość prostych skośnych l1, l2:
d = d (l1 , l 2 ) =
 → → →
 a × b  P0 P1


→
→
=
a×b
P0 (−3, 6, 3) ∈ l1 , P1 (4, − 1, − 7) ∈ l 2
ax
bx
x1 − x 0
ay
by
y1 − y 0
az
bz
z1 − z 0
→
→
→
i
ax
bx
j
ay
by
k
az
bz
a = [4, − 3, 2], a || l1 ;
.
b = [8, − 3, 3],
P0 P1 = [7, − 7, − 10]
i
j k
a x b = 4 − 3 2 = −3i + 4 j + 12k ,
8 −3 3
4 −3 2
(a x b) P0 P1 = 8 − 3 3 = −169 ,
7 − 7 − 10
b || l 2 .
d = d (l1 , l 2 ) =
− 169
32 + 4 2 + 12 2
=
169 169
=
= 13 .
169 13
Zadania
1. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(2,1, − 2) i prostopadłej do
wektora n = [2, − 4, 6] .
2. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P1 (0, 0,1), P2 (5, 0, 0), P3 (1,1,1) .
 x = 3t

3. Obliczyć kąt między prostą l :  y = 2t a płaszczyzną 3 x − 5 y − z + 2 = 0 .
z = 1 − t

4. Obliczyć odległość między prostymi l1 i l 2 :
x −1 y + 1 z − 2
x +1 y −1 z + 2
=
=
=
=
l1 :
, l2 :
.
2
1
3
4
2
6
 x = −3 + 6t

5. Obliczyć odległość punktu P0 (1, − 1, − 2) od prostej l :  y = −2 + 4t .
 z = 8 − 4t

Odpowiedzi
1. x − 2 y + 3 z + 3 = 0 ; 2. x − y + 5 z − 5 = 0 ; 3. prosta jest równoległa do płaszczyzny;
4. 10 ; 5.7.
Lp.
1
2
3
Literatura
Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.
Supremum, 2006.
Rozdział
II § 4, 5, 6
XIV