I Rok LOGISTYKI, LISTA 3 Pochodna funkcji 1. Obliczyc pochodne
Transkrypt
I Rok LOGISTYKI, LISTA 3 Pochodna funkcji 1. Obliczyc pochodne
I Rok LOGISTYKI, LISTA 3 Pochodna funkcji 1. Obliczyć pochodne funkcji: √ x2 + 1 , 1) y = x cos x+2, 2) y = (x −1) cos x, 3) y = (1+e )(sin x+ x), 4) y = 2 x −1 √ √ 3 sin x − x cos x x3 sinh x x− 4x 5) y = , 6) y = , 7) y = x3 ln x − , 8) y = , x+1 cos x + x sin x 3 cosh x √ arcsin x arctg2x 5 3 √ 9) y = , 12) y = x · arctg x, , 10) y = (x − 5x) , 11) y = ex x q √ e2x 13) y = 3 sin( 3x + 5), 14) y = 1 + 2tgx, 15) y = , 16) y = e2x , sin x √ e2x 17) y = e x+1 , 18) y = sin2 (cos 3x), 19) y = ln(cosh x), 20) y = . 1 + sinh2 x 3 3 x 2. Wyznaczyć pochodna, n-tego rzedu funkcji (wyznaczyć wzór): , a) y = x7 , b) y = ln x, c) y = sin x, d) y = e2x e) y = xex . 3. Napisać równania stycznych i normalnych do wykresów wskazanych funkcji we wskazanych punktach. Wykonać rysunek. a) f (x) = 4 − x2 , (−1, f (−1)); b) f (x) = ln 2x, c) f (x) = √ 3 x, (−1, f (−1)); d) f (x) = sin 2x, 1 , f (1) . 2 π π ,f 6 6 . 4. Wyznaczyć punkt, w którym styczna do paraboli f (x) = x2 jest a) równolegla do prostej y = −4x − 5, b) prostopadla do prostej 2x − y + 5 = 0. 5. Wykorzystujac różniczki zupelnej obliczyć przybliżona, wartość wyrażeń: , pojecie , a) q 3 8, 02, b) e0,15 ; c) ln 1, 015. 6. Wyznaczyć ekstrema i przedzialy monotoniczności danych funkcji: x2 , 1−x x2 8 d) f (x) = + 2 2 x ln x g) f (x) = √ . x a) f (x) = 4x 1 − x + x2 , c) f (x) = , x2 + 4 1 + x + x2 √ e) f (x) = −x2 x2 + 2, f ) f (x) = x − ln(1 + x2 ), b) f (x) = 7. Wyznaczyć najwieksz a, i najmniejsza, wartość funkcji na przedziale: , √ a) f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x − 8, h−3; 6i, b) f (x) = x − x, h0; 5i √ 1 c) f (x) = 1 − 2x, h−4; 0i d) f (x) = x2 e x h1, 2i. 8. Wyznaczyć przedzialy wypuklości i wkles wykresów , lości oraz punkty przegiecia , nastepuj acych funkcji: , , a) y = ln(x2 − 4), e) y = x , ln x 1 b) y = 3x5 − 10x4 − 30x3 − 2x, c) y = xe x , d) y = x , 4 − x2 f ) y = ln2 x + ln x. 9. Stosujac , regule, de l’Hospitala obliczyć granice funkcji: 1) x→∞ lim ln (ex + 1) , x 5) lim+ x2 ln x, x→0 2) lim x→0 x − sin x , x + sin x 1 6) lim x(e x − 1), x→∞ 3) lim x→0 1 − cos x , + e−x − 2 ex 1 7) lim x2 e x2 , x→0 tgx , x→ 2 tg3x 1 1 − 8) lim+ . x→0 x ex − 1 4) limπ 10. Zbadać przebieg zmienności funkcji: x3 2x3 2x − 1 , 2) f (x) = , 3) f (x) = , (x − 1)2 3 − x2 (x − 1)2 x4 4) f (x) = 3 , 5) f (x) = x3 e−x , 6) f (x) = x − ln(x + 1), x −1 √ √ 1 7) f (x) = x 1 − x2 , 8) f (x) = xe− x 9) f (x) = ln (x + x2 + 1), √ x 10) f (x) = (x + 1) 3 x − 1, 11) f (x) = ln cos x, 12) f (x) = . ln x 1) f (x) = 11. Spośród wszystkich prostokatów, które można wpisać w trójkat , , równoboczny a boku a wybrać ten, który ma najwieksze pole. , 12. Liczbe, 36 rozlożyć na dwa czynniki tak, aby suma ich kwadratów byla najmniejsza.