MATEMATYKA lista zadan nr 10 1. Wyznaczyc pochodna funkcji f

MATEMATYKA
lista zadań nr 10
1. Wyznaczyć pochodna̧ funkcji f , korzystaja̧c z defincji pochodnej
a) f (x) = 3x2 − 2x,
c) f (x) = 2 −
b) f (x) = sin 5x,
√
x,
d) f (x) =
1
.
2x − 3
2. Obliczyć pochodna̧ funkcji
a) f (x) = x2 sin x,
b) f (x) =
x2 − 3
e) f (x) = 2
,
x +3
h) f (x) =
√
3
√
c) f (x) = tg x,
2x
,
x+3
f) f (x) = (1 +
√
!
1
x) · √ − 1 ,
x
√
√
√
4
6
5
x2 − x3 ·
x4 + x5 ,
√
k) f (x) = arcsin 1 − 3x,
d) f (x) = sin2 x+sin x2 ,
g) f (x) =
s
x2
i) f (x) = ln
,
1 − x2
arcsin x
l) f (x) = √
,
1 − x2
ex
,
sin x + cos x
j) f (x) = ln
1+x
,
1−x
√
m) f (x) = arctg x.
3. Wyznaczyć przedzialy monotoniczności funkcji
√
a) f (x) = x· 1 − x2 ,
b) f (x) = x−ln(x2 +1),
e) f (x) = cos x−x,
f) f (x) =
c) f (x) = arctg x−x,
d) f (x) = x−ex ,
√
g) f (x) = ln(x+ 1 + x2 ),
x
,
ln x
2
h) f (x) = e−x .
4. Obliczyć granice, korzystaja̧c z reguly de l’Hospitala
a) lim
x→0
2x − arcsin x
,
2x + arctg x
b) lim
x→0
ln(2 + x) − ln 2
d) lim
,
x→0
x
1
g) x→∞
lim x x ,
h) lim xsin 2x ,
x→0
tg x − sin x
,
x3
e) lim
x→0
c) lim
x→π/4
1
1
− x
,
x e −1
1
i) lim (6 − x) x−5 ,
x→5
cos x − sin x
,
cos 2x
1
f) lim x · e x − 1 ,
x→∞
1
j) lim (1 + sin x) sin x .
x→0
5. Uzasadnić, że funkcja nie ma ekstremum
a) f (x) = x3 + x,
b) f (x) = cos x + 3x,
c) f (x) = arctg x + 2x,
d) f (x) =
√
2x + 1.