f(x)

B. Szemberg
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Zadanie Zbadać przebieg zmienności nastepuj
acych
funkcji:
֒
֒
2x
1 + x2
f (x) = arctg
i
g(x) = arcsin
2x
,
1 + x2
a nastepnie
naszkicować ich wykresy.
֒
f (x) = arctg
2x
1 + x2
Rysunek pomocniczy:
y=arctan(x)
2
1.5
y 1
0.5
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
x
3
4
5
–0.5
–1
–1.5
–2
• Dziedzina:
Df = R, ponieważ Darctg = R;
• Symetryczność:
f jest nieparzysta, tzn. symetryczna wzgledem
poczatku
ukladu wspólrzednych,
ponieważ
֒
֒
֒
arctg jest funkcja֒ nieparzysta:
֒
2x
2x
2(−x)
↓
= arctg −
= −arctg
= −f (x);
f (−x) = arctg
1 + (−x)2
1 + x2
1 + x2
•
Granice funkcji f na końcach dziedziny:
2x
2x
arctg jest ciag
֒ ly
lim arctg
=
arctg
lim
= arctg (0) = 0;
x→±∞
x→±∞ 1 + x2
1 + x2
• Asymptoty:
y = 0 – asymptota pozioma w ±∞ (wynika to z poprzedniego punktu);
• Miejsce zerowe: x = 0, ponieważ
2x
f (x) = arctg
=0
1 + x2
dalej:
2x
f (x) = arctg
>0
1 + x2
2x
f (x) = arctg
<0
1 + x2
• Pierwsza pochodna:
1
′
f (x) =
1+
Df ′ = R,
f ′ (x) = 0
′
f (x) > 0
′
f (x) < 0
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
2x
1+x2
2 ·
⇐⇒
⇐⇒
2x
=0
1 + x2
2x
>0
1 + x2
2x
<0
1 + x2
2 1 + x2 − 2x · 2x
x2 − 1 = (x + 1) · (x − 1) = 0
2
x − 1 = (x + 1) · (x − 1) < 0
2
⇐⇒
x − 1 = (x + 1) · (x − 1) > 0
⇐⇒
x = 0;
⇐⇒
x > 0;
⇐⇒
x < 0;
x2 − 1
;
x4 + 6x2 + 1
(1 + x2 )
= −2 ·
⇐⇒
x = −1 lub x = 1,
2
⇐⇒
⇐⇒
x ∈ (−1, 1),
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞);
Monotoniczność funkcji:
f jest rosnaca
w (−1, 1),
֒
f jest malejaca
w (−∞, −1) i (1, ∞),
֒
−2
f przyjmuje w x = −1 minimum lokalne f (−1) = arctg 1+1
= arctg (−1) = − π4 ,
2
f przyjmuje w x = 1 maksimum lokalne f (1) = arctg 1+1
= arctg (1) =
π
4;
2
• Druga pochodna:
′′
f (x) = −2
2x x4 + 6x2 + 1 − 4x3 + 12x · x2 − 1
2
(x4 + 6x2 + 1)
= 4
x x4 − 2x2 − 7
2
(x4 + 6x2 + 1)
;
Df ′′ = R,
f ′′ (x) = 0
f ′′ (x) > 0
f ′′ (x) < 0
x x4 − 2x2 − 7 = 0 ⇐⇒
√ √ ⇐⇒
x x2 − 1 − 2 2 · x2 − 1 + 2 2 = 0 ⇐⇒
√
p
p
√ √ x2 −1+2 2 >0
⇐⇒
x x + 1 + 2 2 · x − 1 + 2 2 = 0 ⇐⇒
p
p
√
√
⇐⇒
x = 0 lub x = − 1 + 2 2 lub x = 1 + 2 2 ,
p
p
√ √ ⇐⇒ x x + 1 + 2 2 · x − 1 + 2 2 > 0 ⇐⇒
p
p
√
√
1 + 2 2 , +∞ ,
⇐⇒ x ∈ − 1 + 2 2 , 0 ∪
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Krzywizna:
p
p
√ √ x x + 1 + 2 2 · x − 1 + 2 2 < 0 ⇐⇒
p
√ p
√ x ∈ −∞, − 1 + 2 2 ∪ 0, 1 + 2 2 ;
p
p
√
√
f jest wypukla w − 1 + 2 2 , 0 i
1 + 2 2 , +∞ ,
p
√ p
√ f jest wkles
i 0, 1 + 2 2 ,
֒ la w −∞, − 1 + 2 2
p
p
√
√
i x = 1 + 2 2 ≈ 1,95 punkty przegiecia
o wartościach f (0) = 0,
f ma w x = 0, x = − 1 + 2 2 ≈ −1,95
֒
p
p
√
√
f − 1 + 2 2 ≈ −0,68 i f
1 + 2 2 ≈ 0,68;
• Szkic:
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
–10 –9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1 0
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
3
2x
1 + x2
g(x) = arcsin
Rysunek pomocniczy:
y=arcsin(x)
1.5
1
y
0.5
–1
–0.5
0.5x
1
–0.5
–1
–1.5
• Dziedzina:
Dg = R, ponieważ Darcsin = [−1, 1] i
−1 ≤
2x
≤ 1
1 + x2
dla każdego x ∈ R;
• Symetryczność:
g jest nieparzysta, tzn. symetryczna wzgledem
poczatku
ukladu wspólrzednych,
ponieważ
֒
֒
֒
arcsin jest nieparzysty:
2(−x)
2x
2x
↓
=
arcsin
−
= − arcsin
= −g(x);
g(−x) = arcsin
2
2
1 + (−x)
1+x
1 + x2
• Granice funkcji g na końcach dziedziny:
2x
lim arcsin
x→±∞
1 + x2
arcsin jest ciag
֒ ly
=
2x
arcsin
lim
x→±∞ 1 + x2
= arcsin(0) = 0;
• Asymptoty:
y = 0 – asymptota pozioma w ±∞ (wynika to z poprzedniego punktu);
• Miejsce zerowe: x = 0, ponieważ
g(x) = arcsin
2x
=0
1 + x2
⇐⇒
2x
=0
1 + x2
⇐⇒
x = 0;
g(x) = arcsin
2x
>0
1 + x2
⇐⇒
2x
>0
1 + x2
⇐⇒
x > 0;
g(x) = arcsin
2x
<0
1 + x2
⇐⇒
2x
<0
1 + x2
⇐⇒
x < 0;
Dalej:
• Pierwsza pochodna:
′
g (x) = r
1−
Dg′ = R \ {−1, 1} i
′
g (x) =
1
2x
1+x2
(
2 ·
−2 ·
2·
2 1 + x2 − 2x · 2x
1
x2 +1
1
x2 +1
(1 +
2
x2 )
dla
dla
= −2 ·
x2 − 1
;
(x2 + 1) · |x2 − 1|
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞),
x ∈ (−1, 1);
g ′ (x) 6= 0 dla każdego x ∈ Dg′ ,
g ′ (x) > 0 dla x ∈ (−1, 1),
g ′ (x) < 0 dla x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞);
Monotoniczność:
g jest rosnaca
w (−1, 1),
֒
g jest malejaca
(−∞, −1) w (1, ∞),
֒
−2
g przyjmuje w x = −1 lokalne minimum g(−1) = arcsin 1+1
= arcsin(−1) = − π2 ,
2
g przyjmuje w x = 1 lokalne maksimum g(1) = arcsin 1+1
= arcsin(1) =
π
2;
4
• Druga pochodna:
′′
g (x) =
(
4·
−4 ·
x
(x2 +1)2
x
(x2 +1)2
dla x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞),
dla x ∈ (−1, 1);
Dg′′ = R \ {−1, 1},
g ′′ (x) = 0 ⇐⇒ x = 0
g ′′ (x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 0) ∪ (1 + ∞),
g ′′ (x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1);
Krzywizna:
g jest wypukla w (−1, 0) i (1 + ∞),
g jest wkles
֒ la w (−∞, −1) i (0, 1),
g ma w x = 0, x = −1 i x = 1 punkty przegiecia
w wartościach g(0) = 0, g(−1) = − π2 i g(1) =
֒
π
2;
• Szkic:
2
1.5
y 1
0.5
–10 –9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1 0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
–0.5
–1
–1.5
–2
Prosze֒ porównać wykresy funkcji f i g i zastanowić sie֒ nad wplywem drugiej pochodnej na ich wyglad.
֒
5
Zadanie Zbadać przebieg zmienności funkcji:
1
h(x) = (x − 2) · e− x
a nastepnie
naszkicować jej wykres.
֒
• Dziedzina:
Dh = R \ {0};
• Symetryczność:
h nie jest ani parzysta ani nieparzysta;
1
• Miejsce zerowe: x = 2, ponieważ e− x 6= 0 dla każdego x ∈ Df ;
h(x) > 0 ⇐⇒ x − 2 > 0 ⇐⇒ x > 2,
h(x) < 0 ⇐⇒ x − 2 < 0 ⇐⇒ x < 2;
• Granice funkcji h na końcach dziedziny:
1
lim (x − 2) · e− x = ±∞,
x→±∞
1
ponieważ lim e− x = 1;
x→±∞
1
lim+ (x − 2) · e− x = 0,
x→0
1
ponieważ lim+ e− x = 0;
x→0
1
lim (x − 2) · e− x = −∞,
x→0−
1
ponieważ lim− e− x = ∞;
x→0
• Asymptoty:
x = 0 – asymptota pionowa lewostronna (wynika to z punktu poprzedniego);
y = x − 3 – asymptota ukośna w ±∞, ponieważ
1
2
h(x)
lim
= lim
1−
· e− x = 1
x→±∞ x
x→±∞
x
i
lim (h(x) − x) =
x→±∞
=
lim
x→±∞
1
1
x e− x − 1 − 2e− x =
 1

e− x − 1
1
lim −
− 2e− x  = −3;
x→±∞
− x1
• Pierwsza pochodna:
h′ (x) =
Dh′ = R \ {0},
h′ (x) = 0 ⇐⇒
h′ (x) > 0 ⇐⇒
h′ (x) < 0 ⇐⇒
x2 + x − 2 − 1
· e x,
x2
x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1) = 0
x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1) > 0
x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1) < 0
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
x = −2 lub x = 1,
x ∈ (−∞, −2) ∪ (1, ∞),
x ∈ (−2, 0) ∪ (0, 1);
Monotoniczność:
h jest rosnaca
w (−∞, −2) i (1, ∞),
֒
h jest malejaca
w (−2, 0) i w (0, 1),
֒
√
h przyjmuje w x = −2 maksimum lokalne h(−2) = −4 · e,
h przyjmuje w x = 1 minimum lokalne h(1) = − e1 ;
• Druga pochodna:
h′′ (x) =
Dh′′ = R \ {0},
h′′ (x) = 0 ⇐⇒ 5x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 25 ,
h′′ (x) > 0 ⇐⇒ 5x − 2 > 0 ⇐⇒ x > 25 ,
h′′ (x) < 0 ⇐⇒ 5x − 2 < 0 ⇐⇒ x <
2
5
i x 6= 0;
5x − 2 − 1
· e x,
x4
6
Krzywizna:
h jest wypukla w
2
5, ∞
,
2
h jest wkles
֒ la w (−∞, 0) i w 0, 5 ,
h ma w x =
2
5
punkt przegiecia
o wartości h
֒
• Szkic:
2
5
5
= − 58 · e− 2 .
4
2
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
x
4
5
6
–2
–4
y –6
–8
–10
–12
Legend
f(x)=(x–2)exp(–1/x)
y=x–3 (Asymptote)
7
8