CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną

CAŁKI NIEOZNACZONE
Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli
F 0 (x) = f (x) dla każdego x ∈ I.
Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są − cos x, − cos x+1, − cos x−100.
Twierdzenie 1 (podstawowe o funkcjach pierwotnych) Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy
1. funkcja G(x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I dla
dowolnej stałej C ∈ R.
2. każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F (x) + D,
gdzie D ∈ R.
Twierdzenie 2 (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.
Definicja 2 Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
{f (x) + C : C ∈ R}.
R
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez f (x) dx.
Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.
W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jako pojedynczą funkcję
pierwotną. Również działania na całkach będą działaniami na funkcjach reprezentujących te całki. Na przykład zauważmy własności:
Z
0
f (x) dx = f (x),
Z
f 0 (x) dx = f (x) + C.
1
Wzory podstawowe
Z
xn dx =
1
dx = ln |x| + C
x
Z
Z
xn+1
+ C, n 6= −1
n+1
sin x dx = − cos x + C
Z
cos dx = sin x + C
dx
= tg x + C
cos2 x
Z
dx
= − ctg x + C
sin2 x
Z
ax
ax dx =
+C
ln a
Z
Z
ex dx = ex + C
dx
= arc tg x + C
1 + x2
Z
dx
√
= arc sin x + C
1 − x2
Z
Z
sinh x dx = cosh x + C
Z
cosh x dx = sinh x + C
dx
= tgh x + C
cosh2 x
Z
dx
= − ctgh x + C
sinh2 x
Z
Ponadto mamy wzór
Z
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C.
f (x)
Wszystkie powyższe wzory można sprawdzić obliczając pochodną prawej strony równości.
2
Również następne twierdzenie jest konsekwencją własności pochodnych funkcji.
Twierdzenie 3 Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to
1.
R
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx,
R
R
2.
R
(f (x) − g(x)) dx = f (x) dx − g(x) dx,
3.
R
(cf (x)) dx = c f (x) dx,
R
R
R
Twierdzenie 4 (o całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcja t = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) <
b dla x ∈ (α, β), to
Z
Z
f (ϕ(x)) ϕ0 (x) dx =
f (t) dt.
Twierdzenie 5 (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne, to
Z
u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) −
Z
v(x)u0 (x) dx.
Przypomnijmy, że v 0 (x)dx = dv, u0 (x)dx = du (różniczki). Zatem wzór na całkowanie
przez części można zapisać krócej
Z
u dv = uv −
3
Z
v du.
Wzory rekurencyjne
1.
Z
1
n−1Z
sinn x dx = − cos x sinn−1 x +
sinn−2 x dx,
n
n
n ­ 2,
n−1Z
1
sin x cosn−1 x +
cosn−2 x dx,
n
n
n ­ 2,
2.
Z
cosn x dx =
3.
x n ax
n Z n−1 x
x a dx =
−
x a dx,
ln a
ln a
Z
4.
Z
n x
n ­ 1,
dx
dx
x
2n − 3 Z
=
+
,
2
n
2
n−1
(1 + x )
2(n − 1)(1 + x )
2n − 2 (1 + x2 )n−1
n ­ 2,
5.
Z
dx
x
2n − 3 Z
dx
=
+
,
2
2
n
2
2
2
n−1
2
2
(a + x )
2(n − 1)a (a + x )
(2n − 2)a
(a + x2 )n−1
Wzory dodatkowe
1.
Z
x2
2.
1
x
dx
= arc tg + C
2
+a
a
a
Z
x − a
1
dx
+C
=
ln
x 2 − a2
2a x + a Z
a + x
dx
1
+C
=
ln 2
2
a −x
2a
a − x
3.
4.
Z
5.
Z √
Z
Z √
√
dx
x
= arc sin + C
2
a
−x
a2
a2 − x 2 =
6.
7.
√
a2
x x√ 2
arc sin +
a − x2 + C
2
a a
√
dx
=
ln
|x
+
x2 + a| + C
x2 + a
x2 + a dx =
√
a
x√ 2
ln |x + x2 + a| +
x +a+C
2
2
4
n ­ 2,
Całkowanie funkcji wymiernych
Definicja 3 Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcję postaci
P (x)
, gdzie P (x), Q(x) są wielomianami. Jeżeli deg P < deg Q, to funkcję wymierną
Q(x)
nazywamy właściwą (lub ułamkiem właściwym).
Jeżeli deg P ­ deg Q, to można wykonać dzielenie. Otrzymamy iloraz S(x) i resztę R(x),
tj.:
R(x)
P (x)
= S(x) +
.
Q(x)
Q(x)
Zatem funkcje wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i
ułamka właściwego.
Definicja 4 Funkcję wymierną postaci
A
,
(x + a)n
n ∈ N, a, A ∈ R
nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję
(x2
Bx + C
,
+ px + q)n
n ∈ N, p, q, B, C ∈ R, ∆ = p2 − 4q < 0
nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Twierdzenie 6 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste) Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych. Jeżeli mianownik funkcji jest postaci
Q(x) = a(x−x1 )k1 (x−x2 )k2 . . . (x−xr )kr (x2 +p1 x+q1 )l1 (x2 +p2 x+q2 )l2 . . . (x2 +ps x+qs )ls ,
to czynnikowi (x − xi )ki odpowiada suma ki ułamków prostych postaci
A2
Ak i
A1
+
+ ···
,
2
x − xi (x − xi )
(x − xi )ki
a czynnikowi (x2 + pj x + qj )lj odpowiada suma lj ułamków prostych postaci
Bl x + Clj
B1 x + C1
B2 x + C2
+ 2
+ ··· + 2 j
.
2
+ pj x + qj (x + pj x + qj )
(x + pj x + qj )lj
x2
Z powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowanie funkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamków prostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma
problemu:
1. dla n = 1:
Z
2. dla n > 1:
Z
A
= A ln(x + a) + C;
x+a
A
1
=
A
+ C;
(x + a)n
(1 − n)(x + a)1−n
5
Ułamki drugiego rodzaju są trudniejsze. Dla n = 1 należy:
1. wydzielić w liczniku pochodną mianownika: Bx + C =
B
(2x
2
+ p) + (C −
Bp
);
2
2. rozłożyć na sumę ułamków:
B
(2x + p)
C − Bp
Bx + C
2
2
= 2
+ 2
;
2
x + px + q
x + px + q x + px + q
3. do pierwszego ułamka zastosować wzór
R
f 0 (x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + C;
4. w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej: (x + p2 )2 −
stępnie skorzystać ze wzoru
Z
x+
dx
1
= arc tg
p 2
2
(x + 2 ) + a
a
a
p
2
s
+ C,
−
gdzie a =
∆
4
a na-
∆
4
dx.
Przykład x23x−1
−2x+5
Ułamek drugiego rodzaju, gdzie n > 1, całkujemy podobnie:
R
1. wydzielamy w liczniku pochodną mianownika: Bx + C =
B
(2x
2
+ p) + (C −
Bp
);
2
2. rozkładamy na sumę ułamków:
B
(2x + p)
C − Bp
Bx + C
2
2
=
+
;
(x2 + px + q)n
(x2 + px + q)n (x2 + px + q)n
3. pierwszy ułamek całkujemy przez podstawienie x2 + px + q = t;
4. w drugim ułamku licznik sprowadzamy do postaci kanonicznej: (x + p2 )2 −
następnie korzystamy ze wzoru rekurencyjnego
Z
dx
x
2n − 3 Z
dx
=
+
,
2
2
n
2
2
2
n−1
2
2
(a + x )
2(n − 1)a (a + x )
(2n − 2)a
(a + x2 )n−1
6
∆
4
a
s
gdzie a =
−
∆
4