Lista 2

Lista 2
Prowadzący: mgr Marcin Spryszyński
www: http://www-users.mat.uni.torun.pl/ ∼spryszyn
e-mail: [email protected]
Zadanie. 1 Oblicz
(a)
lim
x→+∞
1−
3
2x
√
4x
,
lim+ arccos(ex − 1),
(b)
x→0
(c)
lim+ (sin(x))
x ln(ex −1)−1
ln(ex −1)
x→0
,
lim + cos(sin(x2 ))cos(x) .
x→( π2 )
(d)
Zadanie. 2 Znajdź równania wszystkich asymptot funkcji
1
· arcctg(x).
x+2
f (x) = x +
Zadanie. 3 Wyznacz wzór na pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R. Zbadaj granicę
tego wyrażenia przy n → +∞.
1
Zadanie. 4 Zdefiniuj wyrażenie 1−x
. Stwórz z niego funkcję g i oblicz g (2009) (5), gdzie g (n) (x) oznacza
n-krotne złożenie funkcji g w punkcie x.
Zadanie. 5 Zdefiniuj funkcję f : R → R daną wzorem
f (x) =
 1


x+1









2






x ∈ (−∞, −1)
+3
x = −1
ex
(x+1)2 (x−3)2









5








−2
x=3
log13 (x − 3) −
x ∈ (−1, 3)
3
2
x ∈ (3, +∞)
(a) Oblicz f − 11
, f (5).
13
(b) Znajdź punkty nieciągłości tej funkcji.
(c) Narysuj wykres funkcji f uwzględniając nieciągłości.
(d) Oblicz granice lewo-, prawostronne tej funkcji w punktach nieciągłości.
Zadanie. 6 Zdefiniuj funkcję
ex + ey + ez
f (x, y, z) = √ 2
,
x + y2 + z2
a następnie oblicz
(a)
∂ 3f
(3, 1, 2)
∂x∂y∂z
(b)
∂ 3f
(x, y, z)
∂x3
1
(b)
∂ 4f
(0, 0, 1).
∂x2 ∂y∂z
Zadanie. 7 Wykaż, że funkcja określona wzorem
√
f (x, y) = e
x2 +y 2
spełnia poniższe równanie różniczkowe cząstkowe
∂u
∂x
!2
∂u
+
∂y
!2
= u2 .
Narysuj wykres tej funkcji na zbiorze [−4, 4] × [−4, 4] (polecenie: plot3d).
Wskazówka: komenda is(wyr_logiczne) sprawdza, czy wyr_logiczne jest prawdziwe, czy fałszywe!
Zadanie. 8 Oblicz
Z
x4 − 5x + 1
(a)
dx
x3 − x2 + x − 1
Z
(b)
1
dx
7 sin(x) − 5 cos(x)
(c)
Z
ex sin(x) sin(7x)dx
Zadanie. 9 Narysuj na jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji x → f (x), x →
gdzie
Z x
sin(t)
dt.
f (x) =
t
−∞
Grubość linii wykresu ustaw na 2.
df
(x),
dx
x→
d2 f
(x),
dx2
Zadanie. 10 Rozwiń funkcje w szereg Taylora, w podanym punkcie oraz narysuj wykres funkcji w podanym
otoczeniu
2
(a) f (x) = e−x sin(x) + cos(x), x0 = 0, x ∈ [−3, 3] (Uwaga: wprowadź ograniczenia na osi OY ),
(b) g(x, y) = sin(x2 + y 2 ), (x0 , y0 ) = (0, 0), (x, y) ∈ [−3, 3] × [−3, 3].
Zadanie. 11 Dana jest funkcja f : R → R
(
f (x) =
0
x ∈ (−∞, 0)
4 −2x
C ·x e
x ∈ [0, +∞)
(a) Wyznacz wartość C, tak aby funkcja f była gęstością pewnej zmiennej losowej X,
(b) Wyznacz EX oraz D2 X,
(c) Oblicz P(1 < X ¬ 5),
(d) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X, narysuj jej wykres i na jej podstawie oblicz P(1 < X ¬ 5).
Porównaj wyniki.
Zadanie. 12 Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) jest
(
F (x, y) =
1 − e−x − e−y − e−x−y x > 0, y > 0
0
w pozostałych przypadkach
Znajdź gęstość prawdopodobieństwa f (x, y).
Zadanie. 13 Gęstością prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) jest
1 − x2 +y2
f (x, y) =
e 2 .
2π
(a) Oblicz P(X > 1).
(b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że zmienna (X, Y ) przyjmie wartość z wnętrza okręgu x2 + y 2 = 1.
Zadanie. 14 Wyznacz długość łuku
y 2 = x6 ,
0 ¬ x ¬ 13.
Zadanie. 15 Wyznacz objętość bryły powstałej przez obrót funkcji f (x) = sin(x), x ∈ [0, π] względem osi
OX.
2