Lista 4
Transkrypt
Lista 4
Lista 4 Funkcje wielu zmiennych Zadanie 1 Wyznacz dziedziny podanych funkcji: r y y−2 x2 y p a) f (x, y) = , c) f (x, y) = , b) f (x, y) = , x − y2 x+1 4 − x2 − y 2 d) f (x, y) = ln( x2 + y 2 − 9 ). 16 − x2 − y 2 Zadanie 2 Naszkicuj wykres funkcji zadanej wzorem: p p a) f (x, y) = 1 − x2 + y 2 ; b) f (x, y) = 3 + 2x − x2 − y 2 ; c) f (x, y) = sin y; d) f (x, y) = 1 − |x|. Zadanie 3 Oblicz granice funkcji: a) sin(x4 − y 4 ) ; b) (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim 1 − cos(x2 + y 2 ) ; c) (x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )2 lim xy 2 ; (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim . Zadanie 4 Dla funkcji ( f (x, y) = x2 y x4 +y 2 dla (x, y) 6= (0, 0) dla (x, y) = (0, 0) 0 1. pokaż, że dla dowolnego wektora (a, b) 6= (0, 0) mamy lim f (ta, tb) = 0, t→0 2. znajdź taki ciąg punktów ((xn , yn ))n∈N , taki że lim f (xn , yn ) 6= 0. n→∞ Zadanie 5 Niech ( f (x, y) = sin(xy) x dla x 6= 0 i y ∈ R dla x = 0 i y ∈ R. 0 1. Pokaż, że funkcja jest ciągła w punkcie (0, 0), 2. czy funkcja jest ciągła w każdym punkcie płaszczyzny? Zadanie 6 Korzystając z definicji oblicz pochodne cząstowe pierwszego rzędu dla zadanych funkcji: a) f (x, y) = p x2 w punkcie (0, 1); b) f (x, y) = x6 + y 6 w punkcie (0, 0); y c) f (x, y, z) = x2 + z w punkcie (0, 1, 2). y Zadanie 7 Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla zadanych funkcji: a) x2 + y 2 1 − xy ; b) arctg ; c) xyz ; d) cos(x sin(y cos z)). xy x+y Zadanie 8 Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu dla zadanych funkcji; a) cos(x2 + y 2 ); b) yexy ; x c) y ln ; y 1 d) ln(x + y 2 + z 3 + 1). Zadanie 9 Wyznacz równanie płaszyzny stycznej do powierzchni wykresu funkcji w zadanym punkcie: p a) f (x, y) = x2 y + 1 w punkcie (1, 3, f (1, 3)); b) f (x, y) = ex+2y w punkcie (1, −3, f (1, −3)); √ √ arcsin x 1 3 1 3 c) f (x, y) = w punkcie − , ,f − , ; d) f (x, y) = xy w punkcie (2, 4, f (2, 4)); arc cos y 2 2 2 2 Zadanie 10 Na wykresie funkcji f (x, y) = arctg xy wyznacz punkty w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do płaszczyzny zadanej wzorem x + y − z = 5. Zadanie 11 Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = x2 + y 2 , która jest prostopadła do prostej x = t l: y = t, t ∈ R z = 2t . Zadanie 12 Korzystając z definicji wyznacz pochodne kierunkowe √ p 1. f (x, y) = x2 + y 2 , x0 = (0, 0) oraz v̄ = ( 23 , 21 ), 2. f (x, y) = √ 3 ∂f (x0 ): ∂v̄ √ 2 2 , ), 2 2 √ xy, x0 = (1, 0) oraz v̄ = ( 3 4 12 3. f (x, y, z) = x2 + yz, x0 = (0, 0, 0) oraz v̄ = ( 13 , 13 , 13 ). Zadanie 13 Wyznacz pochodne kierunkowe ∂f (x0 ): ∂v̄ √ p 1. f (x, y) = x2 + y 2 , x0 = (−3, 4) oraz v̄ = ( 23 , 12 ), 2. f (x, y) = x − y2 x + y, x0 = (1, 1) oraz v̄ = ( 35 , − 54 ), 3. f (x, y, z) = exyz , x0 = (−1, 1, 1) oraz v̄ = ( 21 , − 43 , √ 3 ). 4 Zadanie 14 Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x2 + 2 ln(xy) w punkcie (− 21 , −1) w kierunku wersora v̄ tworzącego kąt α z dodatnią osią OX. Dla jakiego kąta α pochodna ta ma wartość równą 0 a dla jakiego przyjmuje wartość największą? √ Zadanie 15 Wyznacz wszystkie wersory v̄, dla których funkcja f (x, y) = ex (x+y 2 ) w punkcie (0, 2) ma pochodną kierunkową równą 0. Robert Rałowski 2 .