Zestaw - całki wielokrotne

Zestaw - całki wielokrotne
Całki podwójne
Zadanie 1. Obliczyć całkę podwójną z danej funkcji po danym prostokącie:
a) f (x, y) = x + 3y, P = [−1, 2] × [0, 1];
b) f (x, y) = (x − y)2 , P = [0, 1] × [0, 2];
c) f (x, y) = sin x + cos y, P = [−π, π2 ] × [0, π].
Zadanie 2. Obliczyć całkę podwójną z funkcji o rozdzielonych zmiennych po prostokącie:
a) f (x, y) = xy, P = [−1, 2] × [−1, 1];
b) f (x, y) = ex−y , P = [0, 2] × [0, 1];
c) f (x, y) = sin x cos y, P = [0, π] × [−π, 0].
Zadanie 3. Obliczyć całkę podwójną z danej funkcji po obszarze jak na rysunku:
a) f (x, y) =
xy
2 ,
b) f (x, y) = e2x+3y ,
c) f (x, y) = x,
Zadanie 4. Obliczyć całkę podwójną z danej funkcji po obszarze ograniczonym krzywymi:
a) f (x, y) = xy, D : y = x, y = x2 ;
b) f (x, y) = x − y, D : y = x2 − 1, y = 2x2 − 2;
c) f (x, y) = 2x, D : x = y 3 , x = y.
Zadanie 5. Korzystając ze współrzędnych biegunowych obliczyć całkę podwójną z danej
funkcji po obszarze jak na rysunku:
a) f (x, y) = x + 1,
b) f (x, y) = ex
1
2 +y 2
,
c) f (x, y) =
√
x2 + y 2 ,
Zadanie 6. Wykorzystując odpowiedni wzór całkowy obliczyć pole powierzchni obszaru:
a)
b)
c)
Całki potrójne
Zadanie 7. Obliczyć całkę potrójną z danej funkcji po danym prostopadłościanie:
a) f (x, y, z) = x − 2y − 3z, P = [−1, 2] × [0, 1] × [−1, 2];
b) f (x, y, z) = xy + xz + yz, P = [−1, 1] × [−2, 2] × [0, 1];
c) f (x, y, z) = sin x + cos y + ez , P = [−π, π] × [0, π] × [0, 1].
Zadanie 8. Obliczyć całkę potrójną z funkcji o rozdzielonych zmiennych po prostopadłościanie:
a) f (x, y, z) = 2yzx, P = [1, 2] × [1, 3] × [1, 4];
b) f (x, y, z) = ex+2y+3z , P = [0, ln 2] × [0, ln 3] × [0, ln 4];
c) f (x, y, z) = ex sin z, P = [0, π] × [0, π] × [0, π].
Zadanie 9. Obliczyć całkę potrójną z danej funkcji po obszarze jak na rysunku:
a) f (x, y, z) = xz,
b) f (x, y, z) = ex+y+z ,
c) f (x, y, z) = z,
Zadanie 10. Obliczyć całkę potrójną z danej funkcji po obszarze w przestrzeni ograniczonym powierzchniami:
a) f (x, y, z) = x, U : z = 1, z = x2 + y 2 ;
b) f (x, y, z) = y, U : x = 0, y = 0, z = 0, z = −x2 − y 2 + 1;
c) f (x, y, z) = x + y + z, U : y = 0, z = −1, z = 1, y = 1 − x2 .
2
Zadanie 11. Korzystając ze współrzędnych walcowych obliczyć całkę potrójną z danej
funkcji po danym obszarze:
a) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z, U : 1 6 x2 + y 2 6 4, −1 6 z 6 1;
b) f (x, y, z) = z 2 , U : x2 + y 2 6 1, 0 6 z 6 1, x > 0
c) f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 , U : x2 + y 2 6 4, −1 6 z 6 0, y 6 0.
Zadanie 12. Korzystając ze współrzędnych sferycznych obliczyć całkę potrójną z danej
funkcji po danym obszarze:
a) f (x, y, z) = x, U : 1 6 x2 + y 2 + z 2 6 4;
b) f (x, y, z) = y, U : x2 + y 2 + z 2 6 1, z > 0;
c) f (x, y, z) = z, U : x2 + y 2 + z 2 6 4, x 6 0.
Zadanie 13. Wykorzystując odpowiedni wzór całkowy obliczyć objętość obszaru:
a) półkula o promieniu 2;
b) półwalec o promieniu 1 i wysokości 3;
c) U : 4 6 x2 + y 2 + z 2 6 9, x > 0.
3