Analiza Matematyczna II Wydział Fizyki UJ, rok I Zestaw 9

Analiza Matematyczna II
Wydział Fizyki UJ, rok I
Zestaw 9 - całki krzywoliniowe, twierdzenie Greena
1. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane wzdłuż łuku L:
R
(a) (x2 + 2xy)dx + y 2 dy, gdzie L to odcinek od punktu (0, 0) do
L
punktu (2, 2),
R
(b) (x2 + 2xy)dx + (y 2 − xy)dy, gdzie L to łamana ABC( A= (0, 0),
L
B= (1, 0), C=(2, 2) ),
R
(c) ydx + (x + y)dy, gdzie L to łuk cykloidy o równaniu x = a(t −
L
sin t), y = a(1 − cos t) od punktu (0, 0) do punktu (2aπ, 0),
R
(d) x2 dx + ydy, gdzie L jest częścią okręgu zawartą w pierwszej
L
ćwiartce między punktami (0, R) i (R, 0).
R
2. Obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną (xy − 1)dx + x2 ydy po
L
następujących liniach łączących punkt A = (1, 0) i B = (0, 2):
(a) po prostej 2x + y = 2,
(b) po łuku paraboli 4x + y 2 = 4,
(c) po łuku elipsy x = cos t, y = 2 sin t.
3. Obliczyć całki krzywoliniowe niezorientowane wzdłuż łuku L:
R
(a) (x + y)dl, gdzie L jest obwodem trójkąta o wierzchołkach (0, 0),
L
(1, 0), (0, 1),
R
(b) (x2 +y 2 )dl, gdzie L to krzywa o równaniu x(t) = a(cos t+t sin t),
L
y(t) = a(sin t − t cos t), 0 ≤ t ≤ 2π,
R
(c) ydl, gdzie L jest łukiem krzywej równaniu o y = x3 zawartym
L
między punktami (1, 1) i (2, 8).
R √
√
4. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną (4 3 x − 3 y)dl wziętą
L
od punktu E = (−1, 0) do punktu H = (0, 1):
(a) po prostej EH,
(b) po łuku asteroidy x = cos3 t, y = sin3 t.
5. Dane są punkty
R : A = (3, −6, 0) i B = (−2, 4, 5). Obliczyć całkę
krzywoliniową xy 2 dx + yz 2 dy − zx2 dz, gdy krzywą całkowania C jest:
C
(a) odcinek OB, gdzie O jest początkiem układu współrzędnych,
(b) łuk okręgu AB dany równaniami x2 + y 2 + z 2 = 45, 2x + y = 0.
Analiza Matematyczna II
Wydział Fizyki UJ, rok I
6. Sprawdzić, że wartość danych całek krzywoliniowych zorientowanych
nie zależy od drogi całkowania. Obliczyć je:
(1,2)
R
(a)
xy 2 dx + x2 ydy,
(−1,1)
(b)
(π,π)
R
sin x cos ydx + cos x sin ydy,
( π2 , π2 )
(c)
(2,3,4)
R
(x2 − 2yz)dx + (y 2 − 2xz)dy + (z 2 − 2xy)dz.
(1,1,1)
7. Obliczyć całki krzywoliniowe:
H
(a)
2xdx − (x + 2y)dy,
−L
(b)
H
y cos xdx + sin xdy
L
po obwodzie trójkąta o wierzchołkach A = (−1, 0), B = (0, 2) i
C = (2, 0).
8. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane korzystając z tw. Greena:
H
(a) (y − x2 )dx + (x + y 2 )dy po brzegu obszaru x2 + y 2 ≤ R2 , x ≥
0, y ≥ 0 zorientowanym dodatnio,
H
(b) (1 − x2 )ydx + x(1 + y 2 )dy po brzegu okręgu x2 + y 2 ≤ R2 .
9. Obliczyć całkę
Z
(4xy − 5y)dx + (2x2 − 5x + 3y 2 )dy,
γ
gdzie:
(a) γ : [0, 1] 3 t → (t, t2 ) ∈ R2 ,
(b) γ : [0, 2π] 3 t → (2 cos t, 4 sin t) ∈ R2 .