Zasada Fermata
Transkrypt
Zasada Fermata
Zasada Fermata Mariusz Adamski, Sebastian Michalik Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej 1. Definicja. Zasada Fermata orzeka, że: Promień świetlny poruszający się z punktu P do punktu Q podąża zawsze drogą, na której przebycie potrzeba lokalnie ekstremalnego czasu. Sformułował ją w roku 1650 francuski matematyk Pierre de Fermat. Zasada ta jest przypadkiem szczególnym zasady Maupertuis najmniejszego działania. Dla stałej częstości fali faza Z Z n̂dr̄ ϕ = k̄dr̄ = ω , u gdzie k̄ – wektor falowy, ω – częstość fali, n̂ – wersor w kierunku rozprzestrzeniania się czoła fali, u – prędkość fazowa. Iloczyn n̂dr̄ równy jest przemieszczeniu powierzchni stałej fazy w kierunku normalnym do tej powierzchni, więc (n̂dr̄)/u jest czasem dt, w którym to przemieszczenie zachodzi. Zgodnie z zasadą Maupertuis, którą faza powinna spełniać tak samo, jak działanie, czas ten powinien być ekstremalny. 2. Prawo odbicia. Na początku zauważmy, że w jednorodnym, translacyjnie niezmienniczym ośrodku, w którym prędkość światła jest stała, drogą najkrótszego czasu jest prosta. Będziemy zakładać, że droga od punktu P do zwierciadła, normalna oraz droga od zwierciadła do punktu Q są współpłaszczyznowe. Mamy: p l1 = a2 + x2 , p l2 = b2 + (d − x)2 . Zatem czas potrzebny na przebycie drogi p 1 p 2 l 1 + l2 = a + x2 + b2 + (d − x)2 (1) t= c c Warunkiem koniecznym ekstremum czasu jest zerowanie się pierwszej wariacji: ! 1 xδx −(d − x)δx √ p δt = + = 2 2 2 2 c a +x b + (d − x) d−x δx δx x − = (sin α − sin β) = c l1 l2 c Zatem dostajemy: sin α = sin β, ale ponieważ oba kąty są ostre, musi być: α = β, co jest znanym prawem odbicia. Pokażemy jeszcze, że droga odpowiadająca warunkowi α = β jest najmniejsza z możliwych. W tym celu policzymy drugą wariację wyrażenia (1): √ δx a2 + x2 − x √axδx 2 +x2 δx 2 δ t = + 2 2 c a +x p ! −δx b2 + (d − x)2 − (b − x) √−(d−x)δx b2 +(d−x)2 − = 2 2 b + (d − x) ! 2 2 2 δx a b = 32 + 32 > 0 c a2 + x2 b2 + (d − x)2 Zatem rzeczywiście mamy do czynienia z minimum czasu. Zauważmy następnie, że gdyby punkt O leżał w odległości δy od płaszczyzny rysunku, pod pierwiastkami w wyrażeniu (1) należałoby dodać czynniki δy 2 , co zwiększyłoby czas potrzebny na przebycie drogi. Założenie, że P O, OQ oraz normalna do powierzchni zwierciadła są współpłaszczyznowe było zatem słuszne. 3. Prawo załamania Snella. Załóżmy, że w ośrodku 1 światło porusza się z prędkością nc1 , a w ośrodku 2 z prędkością nc2 . Oczywiście, tak jak poprzednio p l1 = a2 + x2 , p l2 = b2 + (d − x)2 , zatem czas potrzebny na przebycie drogi p 1 p 2 n1 a + x2 + n2 b2 + (d − x)2 . t= c (2) Podobnie jak poprzednio, policzymy pierwszą wariację t: ! xδx −(d − x)δx 1 √ p n1 + n2 δt = = 2 2 2 2 c a +x b + (d − x) x d−x δx n1 − n2 = c l1 l2 W pobliżu toru o ekstremalnym czasie, δt powinno znikać, zatem: x d−x n1 = n2 l1 l2 n1 sin α = n2 sin β, co reprezentuje znane prawo załamania Snella. Literatura [1] Fizyka tom II - D. Halliday, R. Resnick [2] Fizyka teoretyczna - A. S. Kompaniejec