5. Granica ciągu
Transkrypt
5. Granica ciągu
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK” realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik 5. Granica ciągu Ćw. 5.1 Zbadaj monotoniczność ciągu (an ). Które z podanych ciągów są ograniczone? Które są zbieżne? 2n + 1 , n+1 n = n, 2 n2 + 2n + 1 = , n2 − 3 2n = , n! = (−1)n , 1. an = 2. an 3. an 4. an 5. an 6. an = n(−1) , (n + 1)! + n! 7. an = , (n + 1)! − n! 1+2+···+n n−1 − , 8. an = n2 n 2n+1 1 9. an = − . 2 n Ćw. 5.2 Na podstawie definicji pokaż, że 2n + 1 = 2, n→∞ n + 1 n 1 = 0, lim − n→∞ 5 n1 3 = 1, lim n→∞ 2 3n + 2 lim 6= 1, n→∞ n + 1 (−1)2n lim 6= −2, n→∞ 2n lim 2n − 7 = ∞, 1. lim 2. 3. 4. 5. 6. n→∞ 1 7. lim −n + 100 = −∞, n→∞ 8. lim log n = ∞, n→∞ 9. lim − ln(ln n) = −∞, n→∞ 10. lim 2n = ∞. n→∞ Ćw. 5.3 Oblicz granicę ciągu (an ). 4n − 3 , 6 − 5n (n − 1)(n + 3) 2. an = , 3n2 + 5 3 3 5n − 2 3. an = , 1 − 3n3 1. an = 2−5n+10n2 4. an = 3 3n+15 , 3n32 +5 1 2n +7 5. an = , 2 √ √ 1 + 2n2 − 1 + 4n2 , 6. an = n (n + 2)! + (n + 1)! 7. an = , (n + 2)! − (n + 1)! n+2 8. an = n n2 , 1 + 12 + 41 + · · · + 9. an = 1 + 13 + 91 + · · · + 1 2n 1 3n . Ćw. 5.4 Oblicz granicę ciągu (an ). 4n−1 − 5 , 22n − 7 3 · 22n+2 − 10 2. an = , 5 · 4n−1 + 3 2n+1 − 3n+2 , 3. an = 3n+2 −8n−1 4. an = n+1 . 7 1. an = Ćw. 5.5 Oblicz granicę ciągu (an ). √ √ 1. an = n + 2 − n, 2 2. an = n − √ n2 + 5n, √ 3. an = 3n − 10n6 + 6n − 15, √ 4. an = 5n2 + 2n6 − 3. Ćw. 5.6 Oblicz granicę ciągu (an ). 3n cos(n3 ) − , 2n 6n + 1 n sin(n!) , = 2 n +1 a cos(nπ) = , 2n 2n n n+1 n(−1)n = 2 ,− cos · 2 , 2n − 1 2n − 1 1 − 2n n + 1 1+2+···+n = cos(n!), n3 + 1 2 7 n . = 2+ 3n 1. an = 2. an 3. an 4. an 5. an 6. an Ćw. 5.7 Oblicz granicę ciągu (an ). n 2 1. an = 1 + , n −n+3 4 2. an = 1 − , n 2 n2 n +6 3. an = , n2 n2 2 n +2 , 4. an = n2 + 1 5. an = n (ln(n + 1) − ln n), ln 1 + n3 . 6. 1 n Ćw. 5.8 Oblicz granicę ciągu (an ). √ 1. an = n 3n + 2n , √ 2. an = n 10n + 9n + 8n , s n n 3 2 n 3. an = + , 3 4 3 4. an = √ n 2 · 3n + 4 · 7n . Ćw. 5.9 Oblicz granicę ciągu (an ). 1 1. an 2. an 3. an 4. an (2n) n (5n + 1) = , n+3 √ = n 3n + sin n, r n n (−1) = + 2n, n n 1 = 1+ 2 . n Ćw. 5.10 Oblicz granicę ciągu (an ). n2 , 3n 2n 2. an = , n! 2n · 32n . 3. an = n! 1. an = ŹRODŁO: • W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1. • Banaś J., Wędrychowicz S.: Zbiór zadań z analziy matematycznej. 4