Lista XIII. Całka krzywoliniowa skierowana

Katedra Matematyki
MATEMATYKA 2
rok ak. 2011/2012
Lista XIII. Całka krzywoliniowa skierowana
Obliczyć całki krzywoliniowe skierowane z danych pól wektorowych po wskazanych łukach:
13.1. F~ (x, y) = (2x + y, x2 − y), Γ : x = t, y = t2 , gdzie t ∈ [0, 1]
13.2. F~ (x, y) = (x + y, x − y), Γ : x = 2 cos t, y = 4 sin t, gdzie t ∈ [0, π4 ]
13.3. F~ (x, y) = (ey−x , xy), Γ : x = 2 + t, y = 3 − t, gdzie t ∈ [0, 1]
13.4. F~ (x, y, z) = (xy, yz, xz), Γ :, x = t, y = t2 , z = t3 gdzie t ∈ [0, 1]
13.5. F~ (x, y, z) = (y, z, x), Γ − odcinek AB, gdzieA = (1, −1, 2), B = (0, 2, 3)
Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
H
y dx − x dy, jeżeli Γ jest:
Γ
13.6. brzegiem trójkąta o wierzchołkach przebieganych w kolejności (2, 0), (1, 1), (0, 0) i (2, 0)
13.7. brzegiem kwadratu o wierzchołkach przebieganych w kolejności (1, 0), (1, 1), (0, 1), (0, 0) i (1, 0)
Obliczyć podane całki krzywoliniowe skierowane po wskazanych łukach zamkniętych zorientowanych
dodatnio:
H
13.8. y 2 dx − x2 dy, Γ − okrąg (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1
13.9.
Γ
H
xy dx + x2 dy, Γ − brzeg trójkąta o wierzchołkach A = (0, 0), B = (1, 2), C = (−1, 4)
ΓH
13.10.
x2 ydx + xy(y + 1)dy, Γ − okrąg x2 + y 2 + 2y = 0
Γ
Wykorzystując twierdzenie Greena obliczyć podane całki krzywoliniowe po łukach dodatnio zorientowanych względem swego wnętrza:
H
13.11. (1 − x2 )ydx + x(1 + y 2 )dy, Γ − okrąg x2 + y 2 = R2
HΓ
13.12. (x + y 2 )dx + (x2 + y 2 )dy, Γ − brzeg trójkąta o wierzchołkach A = (1, 1), B = (3, 2), C = (2, 5)
Γ
13.13.
13.14.
H
Γ
H
3xydx + 2xydy, Γ − brzeg prostokąta ograniczonego liniami x = −2, x = 4, y = 1, y = 2
xy 2 dx − x2 ydy, Γ − okrąg x2 + y 2 = 1
Γ
1